圆形或扇形薄板的横向振动问题(二)扇形薄板情形下偏微分方程的分离变量

吴崇试

(北京大学 物理学院，北京 100871)

前文[1]讨论了圆形薄板的横振动问题，分析了现有文献中有关圆心处的(自然)边界条件，指出了它们不能正确反映圆形薄板圆心处的真实物理状态，表现为它们会导致连续谱，甚至是复连续谱.基于这种分析，笔者提出了圆心处边界条件的新提法，由此能够唯一地确定圆形薄板横振动的本征频率，从数理方程的角度，比较理想地给出了圆形薄板横振动问题的完整提法.

作为前文的继续，本文将讨论扇形薄板的横向振动问题.和圆形薄板的相同之处是，有关圆心处边界条件的提法仍然适用，不同之处是周期条件不再适用，需要考虑沿扇形两条直边(半径)上的边界条件.后面的分析表明，这又与四阶偏微分方程的分离变量密切相关.

前文曾经提到，笔者针对文献[2-6]有关扇形薄板横振动问题的论文提出过质疑[7].质疑涉及两方面，即边界条件(包括周期条件不适用以及圆心处的边界条件)和四阶偏微分方程的分离变量问题.前者在前文中已有比较仔细的分析，不再赘述.关于后者，笔者曾误认为四阶偏微分方程在直角坐标系及平面极坐标系中均无法分离变量.其实，就矩形薄板的横振动问题而言，至少它的数学表述，在有些数学物理方程的教材[8]中已有涉及.受此启发，本文将介绍扇形薄板横振动问题中偏微分方程在平面极坐标下中的分离变量，同时也就明确了对于两条直边(θ=常量)上边界条件的限制.

1 本征值问题中四阶偏微分方程的分离变量

考虑张角为π/2的扇形薄板.假设沿圆弧r=a固定，而沿θ=0及π/2两条半径的边界条件待定，因此本征值问题为

(▽4-k4)w=0

(1)

w(r,θ)在θ=0,π/2两条半径上边界条件(待定)

(2)

w|r=0有界

(3)

▽2w|r=0有界

(4)

w(r,θ)|r=a=0

(5)

(6)

令u(r,θ)=R(r)Θ(θ)，代入式(1)，就得到

R1(r)Θ(4)(θ)+R2(r)Θ″(θ)+R3(r)Θ(θ)-k4R(r)Θ(θ)=0

(7)

其中R1(r)、R2(r)、R3(r)都只是r的函数：

(8)

(9)

(10)

因为R(r)和Θ(θ)都不恒为0，所以，两端同除以R1(r)Θ(θ)=r-4R(r)Θ(θ)，有

(11)

再对r求导，得

亦即

因为上式左端只是r的函数，与θ无关，而右端只是θ的函数，与r无关，此等式成立，必须等于既与θ无关、又与r无关的常数，记为λ，因而可以分离变量，得到

Θ″(θ)+λΘ(θ)=0

(12)

而且，将此式两端再微商两次，还进一步有

Θ(4)(θ)+λΘ″(θ)=0

(13)

以及

Θ(4)(θ)-λ2Θ(θ)=0

(14)

再将(12)和(14)式代入方程(1)，就能导出径向方程：

或者写成

(15)

2 两条直边(半径)上的边界条件

因为关于Θ(θ)的微分方程(12)是二阶方程，所以在直边上只需要各有一个一、二、三类形式的边界条件.例如两条直边固定，边界条件就是

w(r,θ)|θ=0=0,w(r,θ)|θ=π/2=0

(16)

这样，式(1)分离变量后，可以得到本征值问题：

因此，有

而径向方程则为

通解为

R(r)=c1J2m(kr)+c2N2m(kr)+c3I2m(kr)+c4K2m(kr)

按照前文的讨论，根据关于r的边界条件(3)、(4)，可以定出c2=c4=0，再由边界条件(5)、(6)，有

c1J2m(ka)+c3I2m(ka)=0,c1J′2m(ka)+c3I′2m(ka)=0

因此，根据

Rmi(r)=I2m(kmia)J2m(kmir)-J2m(kmia)I2m(kmir)

当然还可以出现第二类或第三类边界条件，或者两条直边上有不同形式的边界条件，也可以写出类似的结果.不再赘述.

3 求解本征值问题的先后次序问题

上面的方程(1)，加上边界条件(3)—(6)式以及(16)式，构成偏微分方程的本征值问题.将此本征值问题分离变量，就得到两个常微分方程的本征值问题，在实际操作中，其实还是有先后次序的，我们是先得到Θ(θ)满足的二阶常微分方程(12)，然后代回到方程(7)中，才能得到径向方程(15).表现在待定参量上，在方程(12)中有参量λ，而方程(15)中在形式上有两个参量，λ和k4.这样就决定了在求解本征值问题时，也有先后次序，必须先求解由方程(12)和相应的齐次边界条件构成的本征值问题，定出本征值λ，而后在径向方程(15)及相应的边界条件组成的本征值问题中，才只有一个待定参量(本征值)k4，求解本征值问题，才能定出k4.

其实，在数理方程中，我们已经遇到过这种求解次序的问题.对于偏微分方程的定解问题或本征值问题，只要空间变量不是一维的，分离变量后，总会得到不止一个常微分方程的本征值问题.在平面极坐标系、柱坐标系和球坐标系中，都存在这种现象.例如，在扇形区域(不妨假设张角仍为π/2)的热传导问题中，最简单的定解问题是

u|θ=0=0,u|θ=π/2=0

u|r=0有界,u|r=a=0

u|t=0=φ(r,θ)

令u(r,θ,t)=v(r,θ)T(t)，代入，分离变量，就得到偏微分方程的本征值问题：

▽2v+λv=0,

v|θ=0=0,v|θ=π/2=0

v|r=0有界,v|r=a=0

再令v(r,θ)=R(r)Θ(θ)，继续分离变量，就得到两个常微分方程的本征值问题：

Θ″(θ)+μΘ(θ)=0

Θ(0)=0,Θ(π/2)=0

和

R(0)有界，R(a)=0

在求解时，也必须先求解Θ(θ)，再求解R(r).这个次序不可颠倒.

对于扇形薄板的横振动问题，我们也遇到类似的情况.我们看到，如果在上面的讨论中，对于方程(11)改为对θ微商，则得到

亦即

因此也能得到

R2(r)+2μR1(r)=0

(17)

亦即

r2R″-rR′+(2+μ)R=0

(18)

这是欧拉型常微分方程，即使在r=0端加上有界条件[注意方程(18)的权函数是1/r3，所以应当要求R(r)/r3/2平方可积]，再在r=a端加上一、二、三类边界条件，此本征值问题也无解.这里表现形式不同，但同样说明，求解这两个本征值问题，存在先后次序的问题：必须先求解Θ(θ)，再求解R(r).

4 分析和讨论

以上讨论了扇形薄板的横振动问题，介绍了相关四阶偏微分方程的分离变量，在此基础上，发现在扇形的两条直边上，只需各给出一个边界条件，而在圆心及圆弧上各给出两个边界条件，就能毫不困难地定出扇形薄板的固有振动频率及相应的振动模式.作为示例，通过比较简单的边界条件，显示了方案的可行性.这里需要说明，以上的分析，纯粹是从数理方程的角度进行的.在弹性力学的实际问题中，还需要根据实际状况，列出相应的边界条件.

这里存在一个问题，即本征值问题中的偏微分方程(1)，是四阶方程，未知函数w(r,θ)，对于r和θ的偏导数，最高都是四阶，但在边界条件的数目上，却出现了不均等的情况，即对于θ为常量的两条边，只需要写出各自一个边界条件，而对于r为常量的圆心以及弧形边上，却需要给出各自两个边界条件.这是分离变量法的计算过程所导致的.而从纯粹数学的角度来看，在平面极坐标系中就存在这种不均等性，在几何结构上变量r和变量θ就是不均等的.

在扇形薄板的横振动问题中，经过分离变量，得到两个常微分方程的本征值问题，这两个本征值的求解次序，有先后之分.

还值得讨论一下扇形薄板两条直边θ=0和π/2上的边界条件.按照上面的分析，因为Θ(θ)满足的是二阶常微分方程，所以，在这两条直边只需要各加上一个边界条件，例如上面的边界条件(16).但是，从振动力学的角度来看，在边界上有所谓简支和固定等不同情形，在每条边界上均出现两个边界条件.例如要求θ=0的直边固定，有

Θ(0)=0,Θ′(0)=0

则不论在θ=π/2的直边上加上何种边界条件，此问题均无解，而如果要求边界简支，有

Θ(0)=0,Θ″(0)=0

则从微分方程来看，因为Θ″(θ)=-λΘ(θ)，所以这两个条件彼此相容，本质上还只是一个边界条件.现在的问题是，前者肯定无解.这是不是说，在扇形薄板的情形下，直边上只能出现边缘简支，而不可能出现边缘固定？

致谢：作者感谢和杨孔庆教授及宣本金教授进行的有益的讨论.