静电屏蔽效应的理论与模拟研究

黄艳清，张定宗，王友文，伍法美

(衡阳师范学院 物理与电子工程学院，湖南 衡阳 421002)

在静电屏蔽效应中，当导体壳接地，壳内电荷不影响壳外电场[3]，这是由于导体壳接地，电势为零，无穷远处电势也为零，因此壳内电荷不能在导体壳表面产生感应电荷和感应电场,从而壳内电荷不影响壳外电场，利用唯一性定理也比较容易证明(φ壳=φ无穷远=0)[4].此外，无论导体壳是否接地，壳外电场变化不会影响壳内电场[3]，虽然由高斯定理在壳内任意做高斯面，壳外电荷不影响壳内高斯面上的总电场强度通量，但不能判断壳内任意位置的电场都不受壳外电荷的影响.利用唯一性定理的证明方法[1]，可以对该结论进行证明.文献[5]利用理论和数值方法，计算了点电荷在接地导体球表面激发的感应电荷，得到静电屏蔽的实质是源电荷与感应电荷在导体球内的合电场为零.静电屏蔽的物理原理与应用在文献[6,7]中展示，但只是进行了半定量和定性的分析.

本文对导体壳的静电屏蔽效应进行了严格的理论推导和证明，并利用数值模拟方法验证了静电屏蔽效应，并计算了外电场中接地金属壳感应电荷的分布.

1 物理模型

(1)

如计算区域没有电荷，则用拉普拉斯方程描述

∇2φ=0

(2)

如果电场具有面对称、轴对称或球对称，且给定边界条件和电荷分布，则可用理论方法在直角坐标、柱坐标或球坐标系下求得电势分布，从而得到静电场[8,9]. 实际情形中，电场往往不具有对称性，但容易获得边界条件，因此可用数值方法解方程式(1)和(2)得到电势的分布，从而求得电场分布.此外，实际中也可利用特殊的实验装置展示静电场分布，从而验证静电场的理论与模拟结果的正确性[10].

偏微分方程的通解一般包含无穷多解，需要根据边界条件确定特解. 静电势的偏微分方程式(1)和(2)，可以根据边界条件得到不同的特解，但这些特解仅相差一个常量，从而静电场唯一确定，这就是静电场的唯一性定理[1,2].下面利用唯一性定理，证明金属壳的静电屏蔽效应.

2 唯一性定理证明金属壳的静电屏蔽效应

静电屏蔽可利用高斯定理定性证明，但由电场的叠加原理，并不能直接证明壳内任意位置电场都不受壳外电荷的影响.下面利用静电场的唯一性定理，对接地金属壳壳内电荷不影响壳外电场、壳外电荷不影响壳内任意位置电场进行证明.

2.1 接地金属壳屏蔽壳内电场对壳外的影响

当金属壳接地后，壳内电荷或电场变化不影响壳外电场，可以利用唯一性定理证明此结论[4].当金属壳内电荷或电场发生变化，不会影响金属壳的电势，因为金属壳接地电势为零，利用式(1)和式(2)计算壳外电势，以无穷远处为外边界，金属壳为内边界，则内外边界的电势都为零，因此根据唯一性定理，边界条件确定后，电场也是唯一确定的.即无论壳内电荷或电场如何变化，不改变计算壳外电势的边界条件，从而无论壳内电荷或电场如何变化，都不影响壳外电场.

2.2 金属壳屏蔽壳外电场对壳内的影响

图1 导体壳(实线之间表示导体壳，q表示壳内电荷，q′表示壳外电荷，S′表示导体壳的内壁)

为了计算壳内电场，在导体壳里做虚线的闭合曲面S，曲面S以内区域为V，如图1所示.导体壳内表面S′和V′区域带电荷量分别为-q和q，这两个区域的静电势满足泊松方程[式(1)]，V内其他区域的静电势满足拉普拉斯方程[式(2)].静电场中导体壳为等势体，曲面S上的电势为常量，即

φ|S=常量

(3)

当外电荷q′或外电场发生变化时，这个常量也会发生变化，但这个常量变化不影响壳内电场，下面利用证明唯一性定理的方法进行证明[1,2].

假设外电场发生变化时，V内电势存在两个解φ′和φ″，这两个解在存在电荷的区域(S′和V′)满足

(4)

(5)

在V内没有电荷的区域满足拉普拉斯方程:

∇2φ′=0,∇2φ″=0

(6)

令

φ0=φ′-φ″

(7)

根据式(4)、式(5)、式(6)和式(7)，φ0在V内满足

∇2φ0=0

(8)

导体壳为等势体，φ′和φ″在导体壳上相差一个常量，因此

φ0|S=常量

(9)

式(9)中的常量不一定为零.根据式(8)和式(9)计算如下积分：

(10)

在导体壳中S面上φ0|S不一定为零，但导体壳为等势体，导体壳内电势处处相等，因此导体壳内电势的梯度为零∇φ0|S=0，因此式(10)左边为0.另外根据式(8)，在V内∇2φ0=0，所以在式(10)中右边第1项满足

∇φ0=0

(11)

式(11)意味着两个解φ′和φ″仅相差一个常量，即

φ′-φ″=常量

(12)

从而可得两种情形下电场不变(E=-∇φ′=-∇φ″)，即壳外电场改变不影响壳内任意位置的电场，金属壳的静电屏蔽效应得证.

3 数值模拟金属壳的静电屏蔽效应

静电屏蔽也可以利用数值模拟验证.理论证明静电屏蔽效应，利用了无穷远处电势为零的边界条件，但数值模拟不能取无穷远为边界，只能取有限边界处的电势为零.可以认为该边界为接地导体，不影响用数值方法验证静电屏蔽效应.

模拟中取较长(z方向)的均匀带电体和金属壳，使电势、电场与轴向(z方向)近似无关，从而数值计算电势与电场只需要取一个横截面(两端附近除外)，均匀带电体的横截面如图2(a)的F2和F4区域，其中电荷体密度为ρ0=1.91×10-8C/m3.F1和F3表示真空区域，F3边界表示导体壳，导体壳为等势体，因此F3边界的电势为常量.F1边界近似为无穷远处，或者表示接地金属壳，电势为零.另外，带电体F4所示的圆形区域半径5 cm，F1矩形区长为3 m，宽为2 m.

首先，模拟金属壳(F3边界)接地，壳内电荷或电场的变化不影响壳外电场.计算壳外电场，其静电势满足的方程：

(13)

∇2φ=0,F1区域

(14)

模拟基于国际单位制，ε0为真空中的介电常量，国际单位制下其数值为8.85×10-12F/m.此外，壳外电场的模拟，不包括壳内区域(F3).模拟结果如图2(b)所示，无论壳内电荷如何变化，壳(F3边界)由于接地电势总为零，即图2(b)中的内边界条件不变，因此壳外电势不因壳内电场变化而变化.

模拟中均匀带电体(F2和F4)、金属壳(F3边界)和真空区的分布

为金属壳接地后壳外电势的分布

其次，金属壳(F3边界)不接地，数值证明壳内电场不受壳外电场的影响.当计算壳内电场时，金属壳作为边界，计算区域为F3.外电场改变，金属壳电势会发生变化，但金属壳为等势体，电势改变只相差一个常量.电势在均匀带电区域(F4)满足式(13)，非带电区域用式(14)模拟，模拟结果如图3所示.图3(a)金属壳(F3边界)电势为零，即边界电势为零，图3(b)金属壳电势为100 V.由于边界条件改变，情形2的电势整体高于情形1，但是电场不发生变化，如图3(c)所示.因此，壳外电场发生变化，使壳边界电势改变一个常量，导致壳内电势整体发生变化，但壳内电场不变.

图3 (a)和(b)为F3边界电势分别为0 V和100 V的模拟结果，(c)为这2种情形在y=0的电场

4 静电屏蔽中金属壳的感应电荷分布

为了研究静电屏蔽中金属壳对电场的影响，以及接地金属壳感应电荷的分布，数值计算金属壳外的电势和电场分布，模拟结果如图4所示.其中带电体仍然为图2(a)中的F2区域，该区域电荷分布均匀且电荷体密度仍为ρ0=1.91×10-8C/m3，金属壳接地电势为零，外边界近似为无穷远处，电势也为零.为了研究接地金属壳对电场的影响，添加未加金属壳的情形，如图4(a)所示.

均匀带电体的总电场E分布，边界电势为零

6 总结

本文利用唯一性定理，以及证明唯一性定理的方法，对静电屏蔽效应进行了严格的理论证明，尤其是壳外电荷(无论金属壳是否接地)对壳内局域电场没有影响的证明. 此外，利用数值模拟对静电屏蔽效应进行了验证：1) 金属壳接地，壳外电场由壳外电荷、金属壳电势和无穷远处电势决定，无论壳内电荷如何变化，金属壳接地电势始终为零，从而不影响壳外电场；2) 无论金属壳是否接地，壳外电荷的变化，可能会改变金属壳的电势，但不会改变金属壳壳内任意位置的电场.

此外，数值模拟清晰的展示金属壳尖端靠近带电体时，会形成很强的局域电场，靠的越近，该局域电场越大，且比原电场大很多. 另外金属壳表面电场垂直金属表面，金属壳表面的感应电荷可通过该感应电场得到(En=σ/ε0),感应电场越强，感应电荷越多，因此靠近带电体的金属尖端会聚集大量的感应电荷.

总之，本文得到的数值模拟结果与理论一致，为深入理解静电场性质、唯一性定理和静电屏蔽效应提供参考.