MATLAB 在数学建模中的应用

周瀛

（长春建筑学院,吉林 长春 130604）

1 MATLAB 的功能和特点

MATLAB 是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，具有如下特点：

a.计算功能强大。

b.图形展示功能强大。MATLAB 强大的绘图功能使得数据的可视化变得非常简单。

c.工具箱功能强大。MATLAB 包含大量已编写程序，用户可直接进行计算、图示建模仿真及其他相关研究。

d.帮助功能完整。

2 数学建模的一般步骤

数学建模的过程大概可以分为以下几个步骤：

a.根据实际问题，明确建模目的，收集必要数据资料。

b.分析数据资料，提出若干符合实际背景的假设。

c.抽象并简化变量及参数间的关系，建立数学模型。

d.根据模型特点选取适当方法进行模型求解。

e.模型分析与检验，即用实际问题的实测数据验证模型是否可靠。

3 建模实例：道路交通流问题

为解决城市道路交通拥堵问题，提高预测道路交通流状态的准确性，交警部门提供了局部区域7 日内道路的互联网导航平台数据、浮动车数据以及交通卡口监测数据。根据所提供的数据进行以下问题的研究：

a.构建模型描述道路交通流实际状态，并比较分析说明模型特点。

b.构建指标用以直观描述路段的畅通程度，基于采集数据计算所有路段的畅通程度。

c.构建模型进行道路拥堵预测，在道路发生拥堵后的任何时间点，基于已获取的历史监测拥数据，可以进行道路堵变化的预测。

3.1 问题假设

3.1.1 每条道路都没有车辆出现故障或发生交通事故。

3.1.2 卡口数据、浮动车数据等实时数据在采集过程中不受极端天气影响。

3.1.3 车辆在单位小时内的运动为匀速运动。

3.1.4 各变量因素之间不存在间接影响。

3.2 模型的建立与求解

3.2.1 问题一

3.2.1.1 数据处理

第一，整理不同时间段各个路段的交通流量数据，并对缺失数据作出缺失处理；第二，将时间段进行划分，以1 小时为单位作为观测时长，将七天时间划分成168 个时间段；第三，结合卡口数据，统计各个道路单位时间内驶向不同方向的车辆数。

3.2.1.2 模型建立

交通流必须具备两个条件：一是在道路上，二是在运行中。本文认为在足够短的时间内交通流保持连续性不变。定义交通流量Q 的计算方法：

其中，T 为观测时长(小时)；N 为T 小时内通过的车辆数。

3.2.1.3 模型求解

城市道路基础设施状况是影响交通流量的因子，很大程度上决定了交通流量具有非线性和不确定性[4]，但人们出行行为具有总体规律性，一定程度上又决定了交通流量具有时空相似性。经过求解公式(1)，得到各条路段在不同时间段内的交通流量，利用MATLAB 绘制出每个路段七天的交通流量图如图1 所示（以路段一为例，其余各路段类似）：

图1 路段一交通流实际状态

通过分析发现，交通流量具有时间相似性，即同一地理位置或同一区域的人们出行时间具有规律性，例如各路段在通勤日或双休日具有相似的交通流特点，在同一天内达到流量高峰的时间段基本相同。

3.2.2 问题二

3.2.2.1 数据处理

基于问题一归纳整理出任一位置的实际交通流量，利用MATLAB 软件中的“max”函数统计出每条道路的最大交通流量。依据道路所占权重进行回归拟合，统计出通勤日与周末的车流量，进而衡量道路畅通程度。

3.2.2.2 模型建立

同一条件的道路同一时刻不同位置截面所通过的车辆数目不同，则这条道路任一位置的畅通程度[5]不同。路网中有n 条路段，i 时刻道路j 的畅通概率定义为道路在某一时刻交通状态等级处于可接受状态的路段畅通程度，计算方法如下：

其中，Q(i,j)为实际交通流量；为道路j的最大交通流量且=maxQ(i,j)；-Q(i,j)表示道路剩余交通流量。

为了使评价结果具有一致性，基于问题一所统计的数据，利用卡口数据进行平均交通流量(i,j)的回归拟合分析，如下：

其中，α (i,j)表示道路j第i 时刻交通流量所占权重值。通过隶属函数 μ建立起与畅通概率P(i,j)之间一对一的关系，公式如下：

用隶属函数 μ作为评价道路路段畅通程度的指标，将隶属度区间[0,1]划分为四个区间，每个区间对应一类评估词，划分结果见表1：

表1 拥堵程度表

3.2.2.3 模型求解

利用MATLAB 拟合出隶属度关于时间的函数图像，如图2（以路段一为例，其余各路段类似）：

对比表1，由图2 可以发现，该路段在通勤日的畅通程度如下：00:00～06:30 期间车辆来往较少，路段处于畅通状态；06:30～07:00 期间开始进入早高峰，路段变得非常拥堵；07:00～11:00 期间路段持续非常拥堵；11:00～13:00 期间车辆稍有减少，路段进入拥堵状态；13:00～21:00期间路段再次进入非常拥堵状态，21:00 以后路段逐渐由非常拥堵状态进入基本畅通状态。

图2 路段一畅通程度

3.2.3 问题三

3.2.3.1 数据处理

对道路网数据以及浮动车轨迹数据进行筛选与关联，剔除部分异常数据，将车速小于或等于某一特定值时作为判断为堵车时的速度，将速度为0 的数据全部筛选出来。在道路发生拥堵后的任一时间点，统计出同一时刻不同道路的当前车流量，进一步与最大交通流作比较，分析拥堵程度并预测拥堵变化。

3.2.3.2 模型建立

聚类分析可根据对象之间的相似程度将对象划分为几个类别，是一种非常重要和有效的无监督分类方法[6]。本文采用模糊聚类分析理论中的FCM 算法进行道路拥堵预测。考虑样本集X= {x1,x2,…,xn}，其中xi={xi1,xi2, …,xik}，将X 分为k个模糊子集，聚类结果由聚类中心矩阵C= {c1,c2, …,ck}及隶属度矩阵μ共同表示：

FCM 算法的数学描述为：

(1) 设定聚类数k、指数权重m 及停止阈值 ε；初始化聚类中心C(0)；设置计数器b=0。

(2) 计算模糊隶属度矩阵 μ(b)：

(3) 计算新的模糊聚类中心C(b+1)：

本文选择模糊综合评判方法实现对路网交通状态的实时评价，步骤如下：

并认为两者的关联度越高，指标x 属于类别j 的隶属度越高。

步骤2：计算模糊隶属度矩阵

步骤3：为路网畅通率和路网负荷裕度赋予权重W=(w1,w2)，对于不同的指标，如果交通管理者对其关注程度高，则赋予其较高的权值；否则，赋予较低的权值。

步骤4：计算综合评价矩阵B=W◦U，其中

步骤5：确定最终输出结果b*=max (b1,b2, …,b14)。

3.2.3.3 模型求解

采用K 均值聚类分析法，利用MATLAB[5]软件实现，经过对坐标和时间的两次聚类后，得到聚类结果。为了刻画不同路口在各个时间段的拥堵程度，用表示路口，时间段为t= {t0,t1, …,t23}，将同一时间段内的不同路口的交通流量最大值记为qmax(t,l)，最小值记为qmin(t,l)，不同路口在各个时间段的拥堵程度，记作ω(t,l)，关系式如下：

其中，q(t,l)为第l 个路口的第t 个时间段内的交通流量以其中一个路口L1为例，给出t1～t12交通拥堵程度表(其余类似)如表2。

表2 路口L1 交通拥堵程度

3.2.4 模型的分析检验

第一，模型的稳定性好。利用MATLAB 软件对处理后的数据进行画图分析，输出的图像能准确地看出实际交通流的变化特征，易发现其规律性；第二模型的层次性好，试用范围广，易于推广。利用MATLAB 软件对大数据进行K 均值聚类法，算法快速简单；第三，模型尚有不足之处，对缺失数据的处理方法有待改进，改进后可减小由于数据缺失造成的误差。

4 结论

通过上述模型的求解过程不难发现，MATLAB 强大的数值计算功能、图形展示功能及编程功能使其在解决数学建模问题时展现出其它软件无法比拟的优势。将MATLAB 应用于数学建模的过程中必将能够使数学模型更好地反映实际问题的本质属性。