试证明两条线段互相垂直
2022-07-24王枭翔
王枭翔
【摘要】互相垂直是两直线或线段之间非常常见的位置关系，也是初中数学几何题中常见的考查内容.虽然证明难度较小，但其方法多样，对学生的思维能力具有一定要求.下面将利用等腰三角形的“三线合一”和勾股定理逆定理两种方法进行分析，希望达到以小见大的效果.
【关键词】互相垂直;初中数学;几何解题
1 例题呈现
如图1所示，有一个正方形ABCD，在AB、AD两边上分别有E、F两点，E将AB平分，F是AD的四等分点.连接EF、EC.求证：EF⊥CE
证法1 利用等腰三角形“三线合一”
证明 如图2所示，延长FE、CB相交于点G，连接FC.
因为四边形ABCD是正方形，
所以AD=DC=BC=AB.
设AD=4m，则AD=DC=BC=AB=4m，
因为E将AB平分，
所以AE=BE=2m.
因为F是AD的四等分点，
所以AF=14AD=14·4m=1m，
所以DF=4m-m=3m
在Rt△FDC中，由勾股定理得DF2+DC2=FC2，
即（3m）2+（4m）2=FC2 ，
所以FC=5m.
在△AEF和△BGE中，
∠A=∠B=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG（对顶角相等），
所以△AEF≌△BGE（ASA），
所以AF=GB=1m，EF=GE，
所以CG=4m+1m=5m，
所以△FGC是等腰三角形，且E是底边FG的中点或高，
所以EF⊥CE.
評析 构造三角形并证明该三角形是等腰三角形，然后说明这两条直线或线段构成了该三角形的底和高，接着根据“三线合一”证得这两条直线或线段之间互相垂直，是初中数学几何题中证明互相垂直的常用方法.能这样处理，主要是因为运用了等腰三角形“三线合一”的理论.
证法2 利用勾股定理逆定理
证明 如图3所示，连接CF.
因为四边形ABCD是正方形，
所以AD=DC=BC=AB.
因为E将AB平分，
所以AE=BE.
因为F是AD的四等分点，
所以AF=14AD，
设AD=4x，则AD=DC=BC=AB=4x，AE=BE=2x，AF=x，
因为DF=AD-AF，
所以DF=4x-x=3x.
在Rt△CDF中，根据勾股定理可得FC2=DC2+DF2，
即 FC2=（4x）2+（3x）2
因为FC>0，
所以FC=5x.
在Rt△AEF中，根据勾股定理可得EF2=AE2+AF2，
即 EF2=（2x）2+x2.
因为EF>0，
所以EF= 5x.
在Rt△BEC中，根据勾股定理可得EC2=BE2+BC2，
即 EC2=（2x）2+（4x）2
因为EC>0，
所以EC=2 5x.
因为在△EFC中，EF2+EC2=（ 5x）2+（2 5x）2=25x2，
FC2=（5x）2=25x2 ，
所以EF2+EC2=FC2，
所以△EFC是直角三角形，∠FEC=90°，
即EF⊥CE.
评析 在三角形中利用勾股定理逆定理证明该三角形是直角三角形，然后就证得这两条直线或线段之间是互相垂直的.这样做的理论基础是“勾股定理逆定理”.注意，在使用“勾股定理逆定理”之前，一定要明确该三角形尚未知是直角三角形，更要防止学生使用“勾股定理”证明三角形是直角三角形的错误现象发生.
2 总结反思
当然，想要证明两条直线或线段之间存在互相垂直的位置关系，除了以上两种方法之外，其实还有很多方法.
如本题图4所示，分别将EF、EC两条线段放入△AEF和△BEC中，然后证明△AEF∽△BEC.由于△AEF和△BEC都是直角三角形，所以就可以通过“三垂直”模型证得这两条直线或线段之间是互相垂直的.即在证明△AEF∽△BEC后，就可以得到∠AEF=∠BCE.∠BCE+∠BEC=90°，所以∠AEF+∠BEC=90°，即证得EF⊥CE.这样做的主要理论依据是“相似三角形”和“三垂直”.
再如，可将几何问题转化成函数模型.将几何问题代数化，用代数的方法解决数学问题，一直是数学解决问题的亮点所在.在有些问题中，可以将“这两条直线或线段之间是互相垂直的位置关系”，理解成同一坐标系中两互相垂直的直线，而这就可以通过K1·K2=-1实现.如图4所示，以E为原点建立平面直角坐标系.由于E是AB的中点，F是AD的四等分点，且线段EF所在直线是正比例函数，线段EC所在直线也是正比例函数，所以不妨设F（-2，-1），C（2，-4），然后可求出线段EF所在直线的解析式为y=12x，线段EC所在直线的解析式为y=-2x.此时不难看出，y=12x与y=-2x的斜率K分别为12和-2，且12×（-2）=-1.根据“k1·k2=-1时，两直线互相垂直”，可知EF⊥CE.
如何证明两条线段互相垂直，方法可谓多种多样.然而在解题的过程中，要想熟练做到依据题意快速准确地解题，离不开对相关数学基础知识的理解和掌握，只有熟练把握原理，才能真正做到学以致用，举一反三和触类旁通.
