矩形要点精读

韩宏帅

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

矩形定义的两个要素：

①是平行四边形;

②有一个角是直角.

即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

例1 如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形.

解 添加一个条件为：∠ABC=90°，理由如下：

因为四边形ABCD是平行四边形，

∠ABC=90°，

所以平行四边形ABCD是矩形.

矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质;

2.矩形的对角线相等;

3.矩形的四个角都是直角;

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等;从角看，矩形四个角都是直角;从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

例2 如图2，点E，F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE=DF，则四边形AECF是（）

（A）平行四边形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 由题意 AD∥BC，

所以∠ADB=∠CBD，

所以∠FDA=∠EBC，

又因为AD=BC，BE=DF，

所以△ADF≌△CBE（SAS），

所以AF=EC，

所以∠AFD=∠CEB，

所以AF∥EC，

所以四边形AECF为平行四边形，

故选（A）.

矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

例3 如图3，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.

（1）求证：四边形ACED是平行四边形;

（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形.

证明 （1）因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD∥BC，

且AD=BC.

因为点C是BE的中点，

所以BC=CE，

所以AD=CE，

因为AD∥CE，

所以四边形ACED是平行四边形;

（2）因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=DC，

因为AB=AE，

所以DC=AE，

因为四边形ACED是平行四边形，

所以四边形ACED矩形.

直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）直角三角形主要性质有：

①直角三角形两锐角互余;

②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用來解决有关线段倍分的问题.

例4 如图4，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的最小值是（）

（A） 3.（B） 4.

（C） 5.（D） 6.

解 如图，取BC的中点T，连接AT，ET.

因为∠ABC=90°，

所以∠ABD+∠CBD=90°，

因为∠ABD=∠BCE，

所以∠CBD+∠BCE=90°，

所以∠CEB=90°，

因为CT=TB=6，

所以ET=12BC=6，

AT=AB2+BT2

=82+62

=10，

因为AE≥AT-ET，

所以AE≥4，

所以AE的最小值为4，

故选（B）.