数学问题几何化初探

陈海燕

【摘要】初中数学中的不少代数问题都能够借助几何图形解决，将数学问题转换成几何图形，能够充分发挥直观几何图形对抽象代数问题的支撑作用，培养学生分析问题能力、提升解决问题能力.

【关键词】数学问题;构造图形法;代数问题

数学中的不少代数问题均可借助几何图形解决.如果纯粹利用代数方法解决数学问题，存在计算过程复杂等问题，但可以巧妙地将其转换成几何问题来解决.将有明显意义的代数题目通过构造几何图形，转换成几何题目加以研究，能够获得意想不到的解题方法，这种解题的方法称之为构造图形法.

代数问题几何化的关键是引导学生观察代数题目、分析题目性质，找出关键点，再将代数问题与几何图形进行联系，充分发挥想象能力，找出代数题目和几何图形的结合点，构建符合题意的几何图形.借助于创造的几何图形，将代数题目中的多个数量关系直观化，将抽象概念形象化，能够减少若干不必要的或无价值的计算.通过巧妙转化，能够极大地提高解题效率.构造图形解题方法是多样的，包括但不限于构造直角三角形、直角梯形、等边三角形、矩形、正方形等几何图形.

1 构造几何图形简化复杂计算

例1 计算19961997×19971996-19961996×19971997.

解 经过观察：该因式类似于矩形的面积差.因而可以引导学生进行联想，构造两个矩形，即矩形ABCD和矩形ECHF.这样题目就变成了求：小矩形ABHG与小矩形EDGF面积的差（两个小矩形的宽都是1）.

即原式=S矩形ABHG-S矩形EDGF=19971996×1-19961996×1=10000.即为所求.

通过构造几何图形，成功简化了复杂的计算.

2 构造几何图形证明等式

例2 x，y，z均为正整数，且x2+y2=z2，x2=zx2-r2.

求证：xy=rz.

分析 因为x2+y2=z2的条件，联想到直角三角形的勾股定理，以x、y、z为边构造直角三角形进行解题.本题就迎刃而解了.

证明

因为 x2+y2=z2，

所以 以x、y、z为边构造Rt△ABC（如图2所示），

使BC=x，AC=y，AB=z.

过点C作CD⊥AB于D，

所以△ABC∽△CBD.所以BC2=AB·BD，即x2=zx2-r2，

又因为x2=zx2-CD2，则CD=r.

所以S△ABC=12xy=12rz，

所以xy=rz即为所证.

3 构造几何图形求三角形的面积

例3 求以m2+1、m2+4、4m2+1为三边的三角形的面积.

解 构造矩形ABCD，如图3，使AB=2m，AD=2，E、F分别是AD、AB的中点.EF=m2+1，EC=4m2+1，FC=m2+4，△EFC的三边分别为m2+1、m2+4、4m2+1，S△EFC=S矩形ABCD-S△AFE-S△FBC-S△EDC=4m-0.5m-m-m=1.5m.即为所求.

4 构造几何图形巧求取值范围

例4 已知x、y、z均为正实数，且x2+y2-z2=0，求zx+y的取值范围.

解 注意到x2+y2-z2=0，可构造直角梯形ABCD（如图4），点E在BC上且

EC=AB=x，BE=CD=y，AE=ED=z，

则△AED为等腰直角三角形，且AD=2z.由于x+y>z，所以zx+y<1;又由于BC≤AD，

即x+y≤2z，得zx+y≥22.所以22≤zx+y<1.

当x=y时，不等式中的等号成立.

5 构造几何图形证明不等式

例5 已知a、b、c、x、y、z、k均为正实数，且a+x=b+y=c+z=k.

求證：ay+bz+cx

证明 根据本题给出的条件，结合a+x=b+y=c+z=k，

构造正方形，做边长为k的正方形ABCD，再从中找出三个小矩形，边长分别为a、y、c、x、b、z，则各对应矩形的面积分别是ay、bz和cx.

所以S阴影=ay+bz+cx

6 构造几何图形比较数的大小

例6 比较5+10+13与62的大小关系

解 如图6，构设一个正方形，它的边长为6，根据勾股定理易得：AB=5，BC=13，CD=10，AD=62，由线段的公理“两点之间，线段最短”，易得AB+BC+CD>AD，

即5+10+13>62.

总之，数学以缜密的思维向人们展示它的美丽.培根曾说过：“数学是思维的体操”.“代数题目几何化”就是展示数学美丽的一种方式，本质上是将抽象的、难懂的代数题目和形象、直观的几何图形紧密地结合起来，进行数学思维的连接和转化.几何图形的特点是能够直观形象的地展示图形，用几何图形将代数题目的关键点表达出来，即把抽象的问题具体化，把复杂的问题简单化，通过对几何图形的处理，能够充分发挥出直观几何图形对抽象代数问题的支撑作用，培养学生分析问题能力，提升解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣，从而开阔的学生的思路、拓宽的学生的思维、增强的学生的动手能力，使学生能爱上数学，为学好数学奠定坚实的基础.