经历知识生成 培养数学抽象

李鑫华 段赛花

【摘 要】 随着新课程改革的持续推进，核心素养逐步成为当前教育教学的重心内容，教师在课堂教学中不仅要维护学生的主体地位，更要促进学生各项素养的同步发展，以具备当前素质教育要求的品格与能力.本文针对高中数学教学展开研究，探析在“双曲线的标准方程”课程教学中培育学生数学抽象思维的教学思路与方案设计，并通过教学反思提出教学过程中的优势与不足，进一步提升教师的教学水平.

【关键词】 数学抽象;教学设计;双曲线

《课程标准（2017 年版）》明确将数学定义为“研究空间形式和数量关系的科学”，数学抽象的对象是图形、数量及其关系，从现实世界的事物中总结出数学的规律、结构、概念、本质，并用数学语言对之表述，它是一种数学思维过程，也是一种非常重要的数学核心素养.课程标准明确了数学抽象的表现形式，即获得数学概念及规则，提出数学命题与模型，形成数学思想和方法，认识数学结构和体系.本文以“双曲线的标准方程”教学设计为例，提出相应路径，以期促进学生数学抽象素养的提升.

1 学情分析

“双曲线的标准方程”一课面向高二学生，从方法掌握方面分析，学生已经具备了高中阶段数学学习的基本能力，掌握了其中的规律要点，具有一定的空间想象、抽象概括以及推理运算等数学素养，但是学生在数学抽象方面的思维能力还略显浅薄，需要进一步引导与训练.

2 教材分析

“双曲线的标准方程”在苏教版高中数学选修2-1的第二章第三节，在此课前学生学习了椭圆相关的基础知识，而双曲线是学生学习的另一种圆锥曲线，基于学生对圆、椭圆等相关知识的了解，通过能力与理解迁移，可以帮助学生更轻松地掌握该课知识，获得数学抽象能力的进一步提升.

3 教学目标

本课的教学目标在于引导学生掌握并理解双曲线的定義、标准方程等内容，并能够熟练运用推导标准方程的方法，具有一定的数学审美能力.

4 教学过程

4.1 通过创设情景，获得数学概念

情境1 （利用多媒体播放图片）花瓶、北京摩天大楼、巴西利亚大教堂、法拉利主题公园.引导学生欣赏图片，并提出问题：这些图案中我们可以发现哪些几何图形呢？

学生：双曲线.

情境2 （利用多媒体展示PPT）已知某地有A、B、C三个监测站，A在B的正东方向，之间相距10km，而C在B的北偏西30°方向，之间距离为6km，而M为敌人堡垒，在某个时刻A收到了敌方的信号，6s后B和C两地同时收到该信号，假设该信号的传播速度为每秒一公里，那么请尝试确定敌方碉堡的位置.

针对上述情境问题，学生采取画图的方式尝试解决问题，假设AB在直线轴x上，取AB中点为原点设立坐标系，教师引导学生探寻M点位置的规律，并由教师引导提出当|MB-MA|为固定值时，M会形成怎样的曲线轨迹？利用几何画板演示其轨迹.

设计意图 高中生虽然处于逻辑思维发展迅速的阶段，但形象思维仍发挥着重要的作用，从具体形象的场景入手，有利于激发学生数学学习的兴趣和求知的动机.利用其他学科的资源设计数学问题，引导学生从大量的具体实例中抽取出一般的、概括性的知识，并让学生尝试用自己的语言去总结归纳共性的本质知识.学生通过亲自操作获得概念的过程，也是提高学生数学抽象素养的过程.

本环节通过两个情境完成教学导入过程，情境一利用含有双曲线的图片引导学生从生活中的美学设计中发现数学，进而引入本课课程;情境二则利用虚拟的情境，启发学生运用画图的方式将抽象的问题形象化，不仅为探究双曲线的标准方程奠定了基础，而且对学生的数学抽象素养有一定的培育作用.

4.2 应用建构理论，内化数学结构

活动1 （折纸）首先，准备一张A4纸，在上面确定两点分别为F1和F2，将F1作为圆心，以小于两点之间的距离为半径作一个圆，在圆上任意确定一点为P，通过折叠的方式，选择一个点P1和F2重合，并将折痕绘出，确定为l1（如图1）;

找到F1P1半径所在直线并再次进行折叠，该折痕与l1相交确定点M1.而后随机确定点P2，P3，P4，P5，P6……并重复上述操作过程，由此便发现折痕逐步形成了两条对称的曲线（如图2）.

由此引出双曲线概念，并要求学生思考得到双曲线的条件.

学生 ①在同一个平面内②存在一个动态的点③该动态变化的点距离两个固定点之间距离差的绝对值固定不变.

教师 根据上述条件，你能准确得出一个双曲线图像吗？

教师与学生共同展开研究，分别提出假设1|PF1-PF2|=F1F2和假设2|PF1-PF2|>F1F2，要求学生再次尝试，并发现假设1形成两条射线，假设2无法构成图形.由此得出完整的双曲线定义.

设计意图 本环节采取折纸游戏的方式展开活动，引导学生确定了双曲线这一抽象概念的具体形态与基本构成条件，并由此得出完整的定义.在该过程中，学生不仅具有浓厚的探索兴趣，而且还能将抽象的定义形象化，可以有效深化学生对数学抽象的理解.

活动2 （探究）

教师提问 根据上述所学内容不难发现，双曲线与椭圆之间具有一定的相似关系，你们可以结合椭圆标准方程的推导过程，提出双曲线标准方程的推导步骤吗？

学生 ①构建坐标系，F1F2为x轴上两点，且F1F2被y轴垂直平分.

②设点M（x，y）为双曲线上任意一点.

③根据等量关系列式：|MF1-MF2|=2a.

④代入等式：

（x+y）2+y2-（x-y）2+y2=2a（*）.

⑤化简.

化简过程相对较难，采取小组合作的方式.小组1通过等式两边分别做平方后进行化简;小组2则选择去掉绝对值符号，先转化为±2a，在化简过程中再选择等号两端平方处理.

设计意图 本环节采取思维迁移的方式展开，以椭圆方程的推导过程迁移到双曲线之上，并在遇到困难时引导学生展开合作，不仅提升了学生解决问题的能力，而且促进了思维的转化与推导能力.

4.3 构建数学模型，尝试模型应用

问题1 已知方程（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2），如何进一步化简？

学生 结合椭圆、双曲线定义可知：

2c>2a>0，

即：c>a>0，

所以：c2-a2>0，

设：c2-a2=b2（b>0），

代入后可得：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

设计意图 数学公式讲究简洁与对称，在推导标准方程的过程中，学生得出的结果相对复杂，这时就需要挖掘新的潜藏条件，进而实现公式的优化，这对学生的逻辑推理以及数据分析能力有着重要的辅助效果.

问题2 判断下列双曲线的焦点坐标，并计算其中的a，b，c值.

（1）x225-y216=1. （2）y225-x216=1.

（3）4x2-9y2=36. （4）4x2-9y2=-36.

学生 将方程化简为标准方程形式，进而得出所求内容.

问题3 如何根据双曲线方程判断焦点所在轴？

学生 同样将方程化为标准形式，系数为正的变量对应坐标轴为焦点所在轴.

设计意图 问题二主要考察学生对双曲线标准方程要素的掌握能力，问题三考察学生对标准方程与图形之间对应的特征关系，可以强化学生的数形结合思想，提升数学抽象思维.

4.4 基于深度学习，感悟数学思想

思考题 通过这节课你学会了什么？仔细说说你的收获.

设计意图 利用开放性的总结环节，引导不同层次的学生依次回答，由基础层学生开始，从双曲线的概念与定义、标准方程推导方式，逐步深化细化到优秀学生层次，提出方程化简的技巧、类比、数形结合等各种思想与要素，通过这样的过程，完善学生核心素养的综合发展.

5 教学反思

根据本课的教学设计过程，总结了三点教学经验：第一，要精心设计问题.在该课程教学的设计中，问题是每一个环节之间相互联系的关键要素，通过问题层层推进，不仅强化了学生的思维能力，而且从开始的观察、比较，到后来的发现问题、提出质疑，以及最后的分析并解决问题，学生的思维能力得到了快速成长，而且针对双曲线这一抽象概念的理解不断深化，这就是问题引导下的教学成果;第二，要促进学生的自主形成.在本课教学设计中，双曲线标准方程的推导过程主要由学生独立完成，既没有让教师给出答案，也没有过分限制学生的推导方式，仅仅通过问题引导与启发，帮助学生搭建起思维的骨架，进而通过“经历、发现、解答”的过程完成学习任务，实现数学抽象思维的升华;第三，要巧妙渗透数学思想.这是学生数学能力与素养表现的关键要素，在问题设计的过程中，需要融入迁移、对比、推理、数形结合等各种思想的运用环境，帮助学生面对抽象问题时找到关键要素，并得以有效解决.

对于数学抽象的培养，首先可以通过创设情景，获得数学概念.将数学知识与现实生活建立了关联，这种生动形象的情境创设，容易激发学生学习兴趣，使他们更自主地建立新旧知识之间的联系，唤起認知结构中原有相关的知识经验，或改变原有认知结构，以同化或顺应当前新知识，完成对事物本质属性即概念的清晰牢固的认知与构建.其次可以应用建构理论，内化数学结构.

教师要以学生为中心，采用“问题解决”的教学模式，具体程序为：①提出问题.引导学生自己去发现问题，进而提出有障碍性和探索性的问题.②分析问题.采用小组合作学习的方式，引导学生讨论交流，开展自主性探究活动.③解决问题.教师引导学生实地解决问题.最后是认知升华阶段.教师引导学生对问题解决的全过程进行总结分析提炼，形成新的认知结构.再者可以构建数学模型，尝试模型应用.在数学建模与应用的过程中，学生的数学抽象的能力不断得到提升.最后基于深度学习，感悟数学思想.

综上所述，在本课的教学设计中，以双曲线标准方程的形成过程为核心，引导学生在推导过程中不断深化数学思想，并真正具备数学抽象素养，能够在潜移默化中建立数学眼光与抽象认知，达到高效教学的目的.

参考文献：

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