善思考，巧解题

黄成虎

【摘 要】 平面向量是近年高考数学必考知识点，不仅考查平面向量的几何意义、坐标运算、数量积以及与其他相关知识（往往涉及三角函数、解三角形等）在解题中的灵活、综合运用能力，而且也考查“数形结合数学”、“转化思想”等数学思想方法.基于此，本文着重对一道典型的数量积最大值问題进行多角度探究，旨在帮助同学们理清常用解题思维，强化对相关数学思想方法、知识的灵活运用能力，进一步提升数学核心素养.

【关键词】 数量积;几何意义;数形结合

本文给出一道平面向量问题的多解探究，旨在帮助同学们拓宽解题思路，沟通对相关数学思想方法、知识在解题中的灵活运用能力，提高分析、解决数量积最大值问题的技能技巧.

好题采撷 已知圆O的半径为1，P是圆O上一定点，A，B是圆O上的两个动点，且AB=1，求PA·PB的最大值.

试题分析 本题以学生熟悉的“圆”为载体，涉及一个“定点”和两个“动点”，难度中等.从数学知识点看，侧重考查平面向量中数量积的最大值，而且涉及平面向量与三角函数、解三角形等知识的综合运用;从数学思想方法看，侧重考查“数形结合思想”、“转化思想”等数学思想方法在解题中的灵活运用;从数学核心素养看，能够较好地培养学生的直观想象素养、数学运算素养以及逻辑推理素养.

多解探究 思路1 由于本题以“圆”为载体，所以借助平面向量的几何意义对数量积PA·PB变形时，可充分利用圆心“O”这一特殊点，有利于保证变形到位，从而便于借助图形的直观、明了性，准确分析最值情景.