数形结合，让数学运算更有深度

江苏常州市金坛西城实验小学（213200）王 瑾

数学是一门专门研究空间形式与数量关系的学科，它的表达方式有两种，就是“数”与“形”。而数形结合就是指根据“数”和“形”之间的内在联系，利用“形”来表示“数”以使“数”更加直观、具象，利用“数”来研究“形”，以使“形”更加精准、明确。能否熟练地在代数问题和几何问题中不断切换是解决数学问题的关键。

在计算教学中，教师要懂得合理运用数形结合思想，让学生的数学思维在循序渐进中更具抽象性、灵活性与创造性，更好地协调学生的抽象思维与形象思维，还要提供优化的方法，使学生更加直观、轻松地解决数学问题，加深对相关算理的理解，启发他们准确掌握数学规律，提升运算能力，提高数学思维水平与综合素养。

一、以形助数，自主探究领悟算理

在小学数学教材中，计算教学占了非常大的比重，要想让学生真正掌握算法的内涵，先让学生理解算理，但很多计算题的算理是隐藏的，对小学生来说是很难自主发现的。而实际教学中，教师往往重视反复练习算法，忽视学生对算理的理解，更别提让学生在充分理解和掌握算法和算理的基础上，将机械化的计算内容变为自主探究活动。这种重复式的练习及不明算理的计算带来的后果就是学生只会机械地模仿，难以达到数学教学的目的。因此，要想解决以上问题，教师不仅要加强学生对算理的理解，还要运用数形结合思想，让学生在直观的图形中进一步领悟算理，并于抽象中掌握算法，实现数学思维的深入发展和计算能力的有效提升。

例如，在教学“两位数除以一位数（首位不能整除）”这一课的内容时，有一个算式72÷3，学生在计算时发现被除数的十位数除以3后还余1。这时，教师为了促进学生对算理的理解，可以组织学生利用小棒进行摆一摆和分一分的探究活动，让学生通过实物来逐渐找到简便的摆法，从而更好地理解算理。学生在操作活动中很快就发现：要先将7捆小棒平均分成3份，这样一来每份就是2捆，而多余的1捆小棒则可以将其拆开与剩下的2根小棒合并在一起，再继续平均分成3份，这样一来每份就有4根小棒，最后将两次平均分的结果加起来，20+4=24，所以商就是24。这时，教师可以进一步引导学生使用竖式来进行计算，并启发学生认真思考：当十位除以3后余下的这1个十应该如何处理呢？学生在前面案例的启发下就自然得出“要将这1个十与个位数上的2合并起来再继续除以3”的结论，轻松解决了算理上的难点。教师根据学生的探究结果，在黑板上将竖式计算的整个过程写出来（如图1），并配合讲解与教具演示，将“数”与“形”完整地对应起来，进一步加深学生对算理的理解。

图1

数形结合思想就像是算理与算法之间的一条纽带，这条纽带连通了学生的思维，让学生充分理解算理的本质。学生利用学具或图片等直观物品，从形的方向进行思考，以形助数，通过操作、联想、对比、概括等思维发展的过程，逐渐在脑海中建立起清晰的表象，在深入理解算理，掌握算法的同时，获得了思维的进阶发展，有效提高了计算教学的效果。

二、以形思数，巧借模型优化算法

著名数学家华罗庚曾说：“人之可贵在于能创造性地思维。”只有具备了充满主动性与创造性的思维，才能真正窥探到事物的本质和发展规律，更好地创造出具有个性化、创新性的思维成果。小学生在计算学习的过程中，运用数形结合思想，能更好地激发创造性思维，想出多种算法，无形之中培养出发散性思维。通过对比、联想和推理来探究出最优化的算法，能促进学生计算能力的提升。

例如，在教学“解决问题的策略（转化）”这一课的内容时，教师引导学生探究“”的简便算法。有的学生是先通分，将异分母分数转化成同分母分数来进行简便计算；也有的学生发现了其中蕴含的规律，即最终结果的分母与算式中最后那个分数的分母相同，而分子则比分母小1。上述两种方法运用了代数知识，且涉及分数的计算，学生容易算错，所以不是最优解。还有的学生利用画图的方法，比如，画线段图、圆形图、正方形图等来获得算式结果（如图2）。最终，学生在经过对比之后，一致认为通过数形结合画出正方形图来计算是最简便、最直观形象的方法。

图2

随后，教师又依据教材内容让学生探索由1起始的连续奇数列的和“1+3+5+7+……”，让学生先自己尝试画一画，再进行求和，学生在边画图边思考中自主建构起连续奇数列之和的数学模型。有一部分学生利用了画正方形图的方式建构了相应的奇数列模型（如图3）。

图3

在第一个图形中，学生画了1个小正方形来表示1；第二个图形是在第一个图形的基础上增加了3个小正方形，组合成了边长为2的正方形，表示4；第三个图形又比第二个图形多了5个小正方形，组合成了边长为3的正方形，表示9；第四个图形比第三个图形多了7个小正方形，组合成了边长为4的正方形，表示16。以此类推，第五个图形、第六个图形……的正方形的边长分别应为5、6……，正方形分别表示25、36……，通过观察探究，学生发现了其中的规律，明白了要想快速得出“1+3+5+7+……”的结果，重点在于这个算式中加数的个数，它们的和等于加数个数的平方。正是通过画图的方式启发了学生的创造性思维，让学生逐渐建构起直观的数学模型，更容易找到最优算法，快速解决数学问题，有效提高了计算的速度和正确率，也促进了学生计算能力的发展。

三、以形悟数，呈现场景感悟定律

运算定律贯穿整个小学数学学习的始终，所以熟练掌握各种运算定律是能否准确运算的关键。在解决实际应用题时，加法和乘法的交换律是最简单也是最常用的运算定律，涉及一些复杂的计算题时，往往离不开加法和乘法的结合律及乘法分配律。交换律对于学生来讲一般不难掌握，但是他们常常会对乘法分配律和乘法结合律的概念产生混淆。比如，在计算“（5×3）×4”时，有部分学生会把算式变形成“5×4+3×4”或者“5×4×3×4”，这就是混淆乘法结合律和乘法分配律之后出现的错误。产生这种错误的根本原因就是他们并没有明白运算定律的实际意义，也没有从根本上去理解运算定律。而数形结合的优势在于可以将复杂抽象的数学问题通过一定的场景或者图形直观地表达出来。因此，教师可以充分利用数形结合的优势，帮助学生理解运算定律的本质，从而更好地掌握和运用各种运算定律。

以学习乘法分配律为例，探究如何运用数形结合思想来让学生准确掌握运算定律。乘法分配律的标准书写方式是“（a+b）×c=a×c+b×c”，这种带有字母的等式对于小学生来讲实在过于抽象，如果单单告诉他们“a，b，c可以代表不同的数字”，那么他们往往只会把不同的数字带进去而得到不同的等式，压根不知道运算定律的本质，也做不到掌握和运用的程度。教师可以设置一个“小方格种农作物”的情境来帮助学生理解。如图4，设定在浅色区域种植土豆，在深色区域种植白菜，问“一共种了多少块地”。学生从图中能直观看出如何列式子来解决问题，学生最容易想到的方法就是分别将土豆的种植块数和白菜的种植块数相加，列出算式“4×6+6×6”，并求出答案。

图4

在此基础上，教师还可以引导学生观察图形，得出不同的式子，他们很快便能观察到其实两种农作物种植的列数是一致的，唯一不同的是行数，那么在求解过程中并不需要把两种农作物分开计算，只需要计算出它们的总行数然后再乘以列数即可，得到“（4+6）×6”，最后的答案和第一个式子是一致的。教师可以引导学生思考“4×6+6×6是否等于（4+6）×6”，进而在形式上和乘法分配律靠拢，使得学生对于这种运算定律有了初步的认识。当然，仅凭这一个等式并不能得出乘法分配律的公式，还需要教师挖掘更多的事例。通过演练大量的数形结合的事例，学生才能掌握乘法分配律的本质，最终熟练运用运算定律，提升运算能力。

四、以数解形，精准计算解决问题

布鲁纳认为，在数学学习的过程中，深入掌握一些基础的数学思想方法，更便于对知识的理解和记忆。而数形结合思想就是其中之一，在教学中，大部分时候教师都是用“形”来诠释“数”的，虽然“形”有着很好的直观形象性，但也有不容易准确表达的缺点，这时就需要用“数”来准确翻译出“形”所表达的意思。而“数”具有抽象性的特征，能充分表达出问题的本质。因此，在解决某些问题时，我们也可以用“数”来辅助“形”。比如，利用一些数据来表示图形的大小，并通过对数进行运算得出更为准确的结果，加强学生对数形结合思想的认识和掌握，提高学生的数学综合素养。

例如，在学习完“长方形和正方形的周长与面积”这一内容后，教师可以在练习课上围绕“周长和面积”这两个概念设计一道练习题：桌子上有1根1cm长的小棒，如果用12根这样的小棒围出长方形或正方形，可以围出多少个，最大的面积应是多少？这道题是对“形”的研究，但如果只是这样，学生只能大约感受到周长一样的情况下，如图5的图形面积似乎要大于如图6的图形面积。

图5

图6

那么，如何才能让学生得出“当周长一样时，长和宽之间的差越小，围出的图形面积就越大”这个结论呢？很明显要想更加精确地进行说明，单靠“形”是无法做到的。因此，教师便进一步引导学生利用填表的方式（如表1），根据数的运算来解决问题。

表1 围成的图形的情况

学生在经过探究后发现：在满足要求的三类图形中，面积最大的是正方形。正是通过用“数”来辅助“形”的方式，让学生更加深刻地掌握了周长和面积这两者之间存在的关系，使问题获得了更加准确的解答，这也是数形结合思想的价值所在。

总之，数形结合是计算教学中不可或缺的一种思想方法和有效手段。它不仅能促进计算教学的实效性，还能发展和深化学生的数学思维。通过以形演数、以形助数、以形悟数、以形思数、以数解形等方式来挖掘计算中蕴含的原理和规律。理解各种运算定律的本质，让学生学会思考，寻找解决问题的更优思路，让思维向更高处迈进，让计算水平与数学素养获得有效的提升。