利用几何直观探析计算教学的本质——以“异分母分数加减法”教学为例

安徽砀山县师范附属小学（235399）李晓宁

几何直观，主要是指利用图形描述和分析问题，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在数学教学中发挥着重要作用。特级教师吴正宪说过这样的一句话：“几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，突破数学理解上的难点。”在计算教学中如何充分发挥几何直观的作用，促理明法，探析计算教学的本质呢？笔者在教学北师大版教材五年级下册“异分母分数加减法”时，进行了如下尝试。

一、数线引入，拓展分数认识

师（出示图1）：在数线上你看到了哪个分数，表示什么意思？还能想到哪些分数？

图1

生1：

（结合学生思考，课件出示等数的图例）

师：在数线上，还可以找到许多分数，分数是一个大家庭，每个分数都有许多的形式。刚才找到的这些分数中谁当家？

生2（指图2）2个加3个是5个也就是58。

图2

……

（通过交流，学生懂得了“分数单位相同，分子直接相加减，分母不变”的算理）

师：看来，整数、小数、同分母分数加减法的算理是一样的，都是把相同的计数单位相加减。

【思考】小学数学的计算教学都是建立在学生对数本身意义的认识基础上的。学生对于分数的认识更体现在对其个体意义的理解上。在复习引入环节，先借助学生熟知的数线直观图表示，让学生找出和大小相等的分数；然后让学生观察这些分数，找出异同点；最后结合分数的基本性质对一类等值分数进行比较，“以形促数”深化学生对“分数大家庭”的理解。重点是让学生通过直观图形解释同分母分数相加减的算法，唤醒学生“分数单位相同的分数，分子能直接相加减”的计算经验，让学生的认知从具体到抽象，为后继的计算学习奠定扎实的认知基础。

二、借助直观图式，表达数量关系

（学生想象后，教师出示图3）

图3

师：请提出用加法解决的一步问题，并列出算式。

生1：种黄瓜和西红柿一共用了这块田的几分之几？算式是

生2：种豆角和辣椒一共用了这块田的几分之几？算式是。

……

【思考】教师出示信息后并没有马上让学生提出问题，而是让学生想象怎样用图来表示这些信息。借助几何直观图表示题目中各个量之间的关系，变“看不见”为“看得见”，使数量关系变得简洁明了，达到化繁为简的目的。学生在体会图形简洁美的同时能感悟数形结合的思想，在此基础上提出问题，可使学生的思维更灵活、开放。

三、多种方法表征，明白计算算理

生1（出示图4）：我先把纸对折，找到其中的画斜线；再对折，找到画斜线。从折痕处就可以看出原来的变成这样的结果就是

图4

生2（出示图5）：我先把圆形平均分成2份，表示黄瓜占然后把剩下的又平均分成2份，表示西红柿占这样半个圆和个圆合在一起就是3个也就是所以

图5

生3（出示图6）：我画的图大家能看明白吗？

图6

生4：这里的是什么意思？

生3：我在画的时候发现可变成所以。

师：听明白他的想法了吗？

生5：听明白了可以用表示，这样就变成同分母分数相加了。

生6（出示图7）：我画的是线段图，也能看出

图7

师：学会了异分母分数加法，你会减法吗？种黄瓜比种西红柿多用了这块地的几分之几？你会算吗？用手中的学具画一画，也可以用其他的方法来计算。

生1（出示图8）：请大家看看我画的图，能看懂吗？

图8

生1：我先把正方形的田平均分成2份，表示黄瓜占然后把的田又平均分成2份，表示西红柿占，半个田减去的田，还剩下，所以。我说的大家听明白了吗？

师：谁还有不一样的想法？

图9

【思考】怎样才能让学生真正理解的算理和算法呢？教学中，通过问题的引领，为学生探究新知提供多角度的思路，留给学生足够的探究空间，彰显了学生个性化的思维。通过折一折、画一画的直观操作活动，外显了学生的思维过程，培养了学生用“形”来刻画和解释异分母分数加减法算理的意识和能力。在学生借助折纸和画图直观表示结果后，教师通过追问“怎么用算式把转化成这个过程表示出来呢”，让学生通过观察、思考、交流等活动，借助丰富的图形表征把抽象的算理变得直观可见，有效沟通了直观运算和通分的联系，“异分母分数相加要先通分”的道理呼之欲出。在此过程中，学生积累了画图说明计算结果的经验，体会了转化思想在沟通新旧知识以及解决新问题中的作用。这样教学避免了直接生硬的给予，有效地实现了学生对新知的自主建构。

四、看图说理，助推思维发展

师（指图3）：仔细观察，你能算出黄瓜、西红柿、豆角和辣椒一共占了这块田的几分之几吗？

生1：

师：生1用了什么方法来计算？

生2：他用了通分的方法，即把异分母分数转化成同分母分数。

师：还有不同的算法吗？

生3：

师：这种算法很简洁，能结合图示说说你的想法吗？

生3：从图3中可以看出整块田就是一个整体1，其他的占了只要减去就可以算出黄瓜、西红柿、豆角和辣椒一共占了这块田的

师：真棒！借助直观图清楚地说明了计算的道理，把这么复杂的算式转化成简便的一步计算。看来图形是我们分析问题、解决问题的好帮手。

【思考】在拓展练习环节，教师将繁杂的数学问题转化成为可见、可画、可操作的生活情境，把抽象的数学知识合理地运用到生活当中，从而使学生能够结合情境列出算式。在计算时学生一般都会用通分的方法进行异分母分数加减，因此对于第二种方法，学生刚开始很难理解。这时，借助直观图就可说明只要用单位“1”减去剩下图形的大小就是所求的结果。教学中巧借“形”使本来抽象的算式变得直观而富有灵性，达到“一图抵百语”的效果。

综上，小学数学计算教学不能只重算法而轻算理。学生不仅要掌握算法，更要理解算理。在计算教学中合理利用几何直观进行教学，可让学生知其然，更知其所以然。因此，教师应增强利用几何直观进行教学的意识，特别在计算教学中要适时发挥直观教学的优势，丰富学习材料的呈现方式，提高学生的学习兴趣，让学生产生最直观的感受，拓展学生解决问题的思维，彰显计算教学的魅力。