具有非线性自食的Lotka-Volterra竞争系统的全局稳定性和分支研究

刘楚蕾 ,许丽莉 ,雷朝铨*

（1.厦门大学 数学科学学院,福建 厦门,361005;2.宁德师范学院 数理学院,福建 宁德,352100）

在文献[1]的研究基础上，得知自食是一种普遍存在于自然界中的生活史特性，其看似违背常理，实则具有调控种群规模、调配食物资源以助于种群生存的积极作用[2-5].受文献[5-7]的启发，文献[1]提出了一类具有非线性自食的Lotka-Volterra竞争模型

其中：x(t),y(t)分别表示t时刻两个竞争种群的种群密度；r,b,m,n,α,β均为正常数，r,b分别表示x和y种群的内禀增长率，α,β分别为两种群各自的种内作用系数，m,n分别为两种群各自的种间作用系数；c为自食率；c1为自食利用率；d为半饱和参数；表示因自食导致的能量损失，c1x表示自食所带来的能量流入.文献[1]探讨了平衡点的存在性和局部稳定性问题，但对平衡点的全局稳定性和系统的分支现象没有进行研究，旨在对这两个问题进行探讨.

1 平衡点的存在性和局部稳定性

这里先叙述文献[1]中关于式(1)平衡点存在性和局部稳定性的相关结果.

2 平衡点的全局渐近稳定性和分支分析

在文献[1]的基础上，进一步讨论各个平衡点的全局稳定性，并给出一些平衡点全局渐近稳定的充分条件.

2.1 全局渐近稳定性

定理1在式(1)中，若满足以下条件之一：

则E1(x1,0)是全局渐近稳定的.

证明对于式(1)，设

考虑Dulac函数D(x,y)=x-1y-1，则

由Dulac判别法，式(1)在第一象限内不存在闭轨线，因此系统不含有极限环.

当条件1)、2)或3)成立时，由引理3，E1(x1,0)是局部渐近稳定的，而由引理2，E0(0,0)为不稳定结点，而由引理为鞍点，由引理1，系统此时不存在正平衡点，又因为系统并不存在极限环，可知在第一象限内的解均趋于边界平衡点E1(x1,0)，因此E1(x1,0)是全局渐近稳定的.

2.2 分支分析

3 结论

在文献[1]中提出了一类具有非线性自食的Lotka-Volterra 竞争系统，探讨了系统平衡点的存在性和局部稳定性，发现系统可能存在2个正的平衡点.

进一步通过构造适当的Lyapunov 函数以及借助Dulac 判据，给出了系统各个平衡点全局稳定的充分性条件；其后，证明了系统在适当的条件下可以发生鞍结点分支.

众所周知，经典的Lotka-Volterra 竞争系统不可能有鞍结点分支，正平衡点只有一个，这表明在考虑了非线性自食后，系统的动力学行为变得非常复杂.

后续将进一步提出具有阶段结构的非线性自食的竞争系统，并研究系统的动力学行为.