Banach代数中Fredholm型元及其谱理论*

2022-07-19孔莹莹蒋立宁

曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年3期

孔莹莹, 蒋立宁

(北京理工大学数学与统计学院,100081,北京市)

0 引言

1898年，弗雷德霍姆求解第二类型的Fredholm积分方程的研究工作，使得希尔伯特灵感突发，以积分方程为源头开始了泛函分析的多种研究. 希尔伯特在讨论特征值问题时首先使用“谱”这个术语，并且指出：“无穷多个变量的理论研究，当初完全是出于纯粹数学的兴趣，我甚至管这理论叫谱分析[1]”. Fredholm理论及其谱理论由此而生. Fredholm理论和谱理论作为泛函分析理论体系中重要的组成部分，广泛应用于偏微分方程、物理学、工程学、非线性科学和量子力学等领域. 例如：求振动的频率、判定系统的稳定性等均涉及到相应算子的谱分布问题，在量子力学中，能量算符是L2空间上的一个自伴算子，其特征值对应着该系统束缚态的能级，而光谱是某个算子的特征值分布[2].

设H是无限维复可分的Hilbert空间，记从H到H的有界线性算子的集合为B(H)，从H到H的紧算子集合为K(H)，则K(H)是C*-代数B(H)的理想，称取商所得的C*-代数为Calkin代数，并记为C(H)，故有正合列[3]：0→K(H)→B(H)→C(H)→0.

20世纪初期，Atkinson F V指出T∈B(H)是Fredholm算子当且仅当T模K(H)是可逆的[4]. Fredholm算子的公理化定义促进了Fredholm理论的迅速发展. 1987年，Harte H给出了Fredholm 算子的另一种刻画，指出T∈B(H) 为Fredholm 算子当且仅当T的值域是闭的，并且T的零空间的维数和值域的余维数都有限[5，6]. 与此同时，他也对特殊的Fredholm算子，即Weyl算子和Browder算子进行了研究. 对于这3种算子，国内外学者主要关注于算子的摄动、谱映射定理以及指标理论等[7,8].

随后，在1997年，Schmoeger C[9-11]将Fredholm算子进行推广，定义了广义Fredholm 算子，并讨论了Banach空间上的广义Fredholm算子的摄动理论. 几乎同时，Berkani M[12]也给出了Fredholm算子的另外一种推广，即拟Fredholm算子. 注意到一个算子T是Fredholm算子当且仅当T模K(H)是可逆的. 随后,众多学者对Fredholm算子进行推广，将其中的可逆性条件弱化为Drazin可逆等，来定义更“弱”的Fredholm算子. 例如：Berkani M[13]定义了B-Fredholm算子，即模F(H)是Drazin可逆的；进一步地，B-Weyl算子、B-Browder算子也被引入. 以上Fredholm算子、Weyl算子、B-Weyl算子等由Fredholm算子演变而来的统称为Fredholm型算子.

几乎同一时间，抽象的Fredholm理论也得到了发展. 1968年，Barnes B[14,15]定义了环中的拟Fredholm元和Fredholm元. 具体的，一个元素被称作是Fredholm元如果它模Socle是可逆的. 1982年，Barnes B A，Murphy G J，Smyth M[16,17]等学者通过Banach代数中最小幂等元和Barnes幂等元等工具，运用左正则表示的方法，讨论了本原Banach代数中的Fredholm元. 随着Fredholm算子及其谱理论的发展，近些年，关于Fredholm型元及其谱理论的研究出现了新的趋势，越来越多的学者将特殊的Banach代数B(H)推广到一般的Banach代数，来研究一般的Banach代数中的Fredholm理论. 例如：Mannle D和Schmoeger C[18]研究了半单Banach代数中的广义Fredholm理论. Berkani M给出了环和代数中的B-Fredholm理论[19]；进一步地，序Banach代数中的Fredholm理论也被考虑[20]. 除此之外，一些学者另辟蹊径，将Banach代数中的Fredholm理论进行推广，提出了依存于Banach代数同态的Fredholm理论及其谱理论，以及Fredholm族及其解析指标等[21,22]. 环或Banach代数中的Fredholm元、B-Fredholm元等由Fredholm元演变而来的元统称为Fredholm型元.

本文以Hilbert空间上的Fredholm算子及其谱理论为出发点，分两条脉络对Fredholm型元及其谱理论作出简要概述，一条脉络是对给定的Banach代数B(H)，讨论了Fredholm型算子及其谱理论；另一条脉络则是研究抽象的Fredholm理论，即研究Banach代数中的Fredholm型元. 此外，本文也给出了B-Fredholm元的分解定理，C*-代数的Weyl模的摄动，以及以谱为工具刻画了半单Banach代数的Socle等.

1 B(H)中的Fredholm理论

假设H为无限维复可分的Hilbert空间，令B(H)为H上的有界线性算子全体，F(H)为H上有限秩算子全体，K(H)为Hilbert空间H上的紧算子全体. 本节分别介绍B(H)中Fredholm算子及其谱理论，以及以Weyl、Browder、B-Fredholm、B-Weyl、B-Browder算子为代表的Fredholm型算子及其谱理论.

1.1 Fredholm算子及其谱理论

设T∈B(H)，记T的零空间N(T)的维数为n(T)，T的值域R(T) 的余维数为d(T). 假设T∈B(H)，对任意的x,y∈H，方程Tx=y可解当且仅当T为可逆算子. Fredholm算子也与方程的求解问题密切相关，若T是H上的Fredholm算子，对于给定的向量g∈H，方程Tf=g是否可解等价于g是否与有限维线性空间KerT*正交，最后，方程Tf=g的解空间是有限维仿射空间. 为了体系完整性，我们首先给出Fredholm算子的定义.

定义1.1[23]假设T∈B(H)，若n(T)<∞且R(T)是闭的，则称T为上半Fredholm 算子. 上半Fredholm算子的全体记为Φ+(H). 若d(T)<∞，则称T为下半Fredholm算子. 下半Fredholm算子的全体记为Φ-(H). 若T既是上半Fredholm算子又是下半Fredholm算子，则称T为Fredholm算子. 记Fredholm算子全体为Φ(H).

事实上，Fredholm算子本质上是由可逆算子性质“弱化”得到的一类算子,而 Atkinson[4]指出T∈Φ(H)当且仅当T模F(H)可逆. Atkinson对Fredholm算子的刻画在Fredholm算子理论体系中至关重要.

命题1.2[23]若T∈B(H)，则T∈Φ(H)当且仅当存在U1，U2∈B(H)，K1，K2∈F(H) 使得

U1T=I-K1,TU2=I-K2.

例1.3假设A∈B(l2)为右移算子A(x1,x2,…)=(0,x1,x2,…)，则容易验证n(A)=0，d(A)=1，故可知A为Fredholm算子.

根据文献[24]，若T,S∈Φ+(H)(Φ-(H),Φ(H))，则TS∈Φ+(H)(Φ-(H),Φ(H)).反之，如果ST为下半Fredholm算子，则S为下半Fredholm算子；如果ST为上半Fredholm算子，那么T为上半Fredholm算子. 可证Φ(H)为B(H)中的半群. 关于更多的Fredholm算子的性质可参考文献[23,24]. Fredholm算子的摄动与方程解的稳定性密切相关，接下来给出Fredholm算子的邻域摄动定理.

命题1.4[24，第519页]假设T∈B(H)，K∈K(H).

1)有Φ(H)+K(H)⊆Φ(H)成立；

2)若T∈Φ(H)，则∃ρ>0使得对所有的S∈B(H)且‖S‖<ρ时，有T+S∈Φ(H)；

3)若T∈Φ+(H)，则∃>0使得对所有的S∈B(H)且‖S‖<时，有T+S∈Φ+(H)且n(T+S)≤n(T)；

4)若T∈Φ-(H)，则∃>0使得对所有的S∈B(H)且‖S‖<时，有T+S∈Φ-(H)且d(T+S)≤d(T)；

5)若T∈Φ+(H)(T∈Φ-(H))，那么∃>0使得对所有的|λ|<，有n(λI+T)≤n(T)(d(λI+T)≤d(T))且n(λI-T)(d(λI-T))是一个常数.

借助Fredholm算子,定义T∈B(H)的本质谱为σe(T)={λ∈C:T-λI∉Φ(H)}.令ρe(T)=Cσe(T). 由文献[24]可知，σe(T)为C中的有界闭集. 令H(σ(T))为在σ(T)的开邻域上解析的所有复值函数全体，对任意的T∈B(H)，f∈H(σ(T))，谱映射定理成立，即σ(f(T))=f(σ(T))，其中σ(T)表示算子T的谱. 事实上，本质谱也满足谱映射定理.

命题1.5[24，定理3.113]若T∈B(H)，f∈H(σ(T))，则σe(f(T))=f(σe(T)).

依然考虑Banach代数B(H)，众多学者将Fredholm算子进行变型，一部分学者考虑了特殊的Fredholm算子及其性质，例如：Weyl算子、Browder算子等；另一些学者则将Fredholm算子进行推广，弱化为B-Fredholm算子，同时B-Weyl算子和B-Browder算子也被引入.

1.2 Fredholm型算子及其谱理论

本节主要介绍Weyl、Browder、B-Fredholm、B-Weyl、B-Browder算子等的演变脉络及其基本性质. 上述算子统称为Fredholm型算子. 首先介绍一类特殊的Fredholm算子，即Weyl算子.

定义1.6[24，第214页]设T∈B(H)，若T为半Fredholm算子，则T的指标定义为ind(T)=n(T)-d(T). 特别地，如果ind(T)=0，那么称T为Weyl算子.

设T,S∈B(l2)为如下定义,

T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…)，S(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…).

根据文献[24，定理A.30]，可知Weyl算子全体在紧算子的摄动下是不变的. 由文献[24，定理A.32]可知，假设T∈B(H)，若T为Weyl算子，则存在>0使得对任意满足‖S‖<的S∈B(H)，有T+S也是Weyl 算子. 与此同时，Aiena P 给出了Weyl算子的等价刻画，即T∈B(H)为Weyl算子当且仅当存在K∈F(H)和可逆算子S使得T=S+K为可逆算子.类似的，定义算子T∈B(H)的Weyl谱如下,

σw(T)={λ∈C:T-λI不为Weyl算子}.

令ρw(T)=Cσw(T). 然而，σw(T)并不满足谱映射定理.

命题1.8[24，定理3.115]设T∈B(H)，若f∈H(σ(T))，则σw(f(T))⊆f(σw(T)).

一般情况下,“σw(f(T))=f(σw(T))”不成立，可参考文献[24，例3.116]. 令T∈B(H)，若对任意的λ,μ∈ρ*(T)，ind(λI-T)和ind(μI-T)的符号是一致的，则称T有稳定符号指标. 由文献[24，定理3.119]可知，Weyl谱σw(T)满足谱映射定理当且仅当T在ρe(T)上有稳定符号指标.

将Weyl算子全体的范围继续缩小，有Browder算子的概念.

令T∈B(H)，使得N(Tn)=N(Tn+1)成立的最小的n∈，称为T的升标. 若n不存在，则称T有无限的升标；使得R(Tn)=R(Tn+1)成立的最小的n∈，称为T的降标. 若n不存在，则称T有无限的降标. 如果T为Fredholm算子并且有有限的升标和降标，则称T为Browder算子.

可以证明,Browder算子一定是Weyl算子，Weyl算子一定是Fredholm算子. 关于Browder算子的摄动定理如下.

命题1.9[24，定理3.40]令T∈B(H)，则下列叙述等价:

1)T为Browder算子;

2)存在幂等算子P∈F(H)和可逆算子S使得PS=SP且T=S+P.

设T∈B(H)，令σb(T)={λ∈C:T-λI不为Browder算子},称为T的Browder谱. 令ρb(T)=Cσb(T). 可证Browder 谱σb(T)为C中的非空有界闭集，且T的Browder谱也满足谱映射定理.

Fredholm型算子中还包括另外一部分，例如B-Fredholm算子，B-Weyl算子等，而这些则是对Fredholm算子进行推广，即将Fredholm算子进行“弱化". 注意到，Atkinson定理说明T∈B(H)为Fredholm算子当且仅当[T]≜T+F(H)在B(H)/F(H)中可逆，将“可逆"弱化为“Drazin可逆”，即是下面将要引入的B-Fredholm算子.

定义1.10[24，定义1.111]假设T∈B(H)，若对某个正整数n，有Tn(H)是闭的并且Tn是Fredholm算子，则称T为B-Fredholm算子，其中Tn≜T|Tn(H).

为了给出B-Fredholm算子的另一种刻画，回忆Drazin给出的Drazin可逆的定义.

定义1.11[24，定义1.121]令A是一个含有单位元e的代数，一个元素a∈A被称作是n阶Drazin可逆元如果存在一个元素b∈A使得anba=an,bab=b,ab=ba成立，元素b被称为a的Drazin逆.

由文献[24,定理1.126]可以发现，T∈B(H)为B-Fredholm算子当且仅当[T]≜T+F(H)为Drazin可逆的. 类似于Fredholm算子情形，关于B-Fredholm算子的摄动以及谱理论也被考虑.

定理1.12[24，定理1.126]假设T,S∈B(H)为B-Fredholm算子.

1)若TS=ST，则ST为B-Fredholm算子.

2)若K∈F(H)，则T+K为B-Fredholm算子.

3)存在0的邻域D(0,)使得对任意的λ∈D(0,){0}，有λI-T为Fredholm算子.

类比上述Fredholm算子及其谱理论中众多学者所关注的热点，B-Fredholm算子及其谱理论由此而生. 假设T∈B(H)为B-Fredholm算子，若n满足Tn≜T|Tn(H)为Fredholm算子，则将Tn的指标定义为T的指标，记为ind(T). 根据文献[24,定理1.112]可知,上述指标的定义是良定的，即不依存于整数n的选取. 定义B-Fredholm谱σBF(T)={λ∈:T-λI不为B-Fredholm算子}，同样可知，B-Fredholm谱也满足谱映射定理. 随后，一些学者研究了特殊的B-Fredholm算子，例如B-Weyl算子，B-Browder算子等. 具体的，指标为0的B-Fredholm算子被称为B-Weyl算子，Berkani M[25]指出如果0是算子T的谱中的孤立点，那么T是B-Weyl算子当且仅当T是Drazin可逆的.

在1997年，Schmoeger C[9-11]也将Fredholm算子进行推广，定义了广义Fredholm算子，并讨论了广义Fredholm算子的摄动定理；另一方面，通过代数中的广义可逆元，给出了广义Fredholm算子的等价刻画. 由Fredholm算子演变出的Fredholm型算子还有很多，例如拟Fredholm算子，半Fredholm算子，上半Weyl算子，半Browder算子等，关于它们的具体性质和彼此之间的关系可参考文献[12,23,24].

本节介绍了Fredholm型算子及其谱理论，与此同时，一些学者另辟蹊径，将代数B(H)进一步推广，研究了环，半单Banach代数，本原C*-代数等中的Fredholm理论.

2 Banach代数中的Fredholm理论

关于Banach代数中的Fredholm理论，按照从一般到特殊的方法进行概述. 首先介绍环中的Fredholm理论，其次讨论半单Banach代数，本原C*-代数等中的Fredholm理论. 最后，对近些年Fredholm理论发展的新趋势进行概述.

2.1 环中的Fredholm理论

令A是一个环,称A为半素环，若它没有非零的左(或右)幂零理想. 本小节总是假设A是一个半素环，从而确保其Socle的存在性. 这里环A的Socle指的是A中所有极小左理想的和，若A没有极小左理想，则定义其Socle为{0}.

Atkinson[4]给出Banach空间X上的Fredholm算子的刻画，即模X上的紧算子所构成的理想是可逆的. 事实上，Fredholm算子也可被描述为：模X上的有限秩算子全体所构成的理想F(X)是可逆的. 注意到F(X)是B(X)的Socle，其中B(X)指Banach空间X上的有界线性算子全体. 本小节基于这个观察，讨论半素环中的Fredholm 理论. 基本思路是，为将F(X)推广至环中，考虑环的Socle；为将秩1投影推广至环中，考虑环的极小幂等元；为将维数推广至环中，则需要引入理想的“阶”. 首先给出它们的定义.

定义2.1[15,第84页]设A为半素环，N为A中的右理想. 如果N可以写为有限个A中极小右理想的和，则称N有有限阶. 此时，N的阶则是使得满足极小右理想的和为N的最小的极小右理想的个数，记为θ(N).

若N为A中非零的右理想，且有有限阶m. 由文献[15]可知，N中极小幂等元的任意一个极大正交集包含m个元素，不妨设为{E1,E2,…Em}，那么N=eA，其中e=E1+E2+…+Em. 根据文献[23]，假设A是一个半素Banach代数，如果J为A中有限维左理想，则存在一个幂等元p∈Soc(A)使得Ap=J. 由此可以看出“阶”本质上是“维数”的一种推广. 在半素环中，Barnes B[15]讨论了Fredholm和拟Fredholm元，令u,v∈A，记u∘v=u+v-uv.

接下来介绍拟Fredholm元和Fredholm元及其指标理论.

定义2.2[15，定义2.4]假设A为半素环，且u∈A. 若存在v∈A使得

v∘u∈Soc(A)(u∘v∈Soc(A)),

则称u为左(右)拟Fredholm元；若u既是左拟Fredholm元又是右拟Fredholm元，则称u为拟Fredholm元. 若u模Soc(A)可逆，则称u为Fredholm元.

Barnes B给出了拟Fredholm元的刻画，具体地，u∈A为右拟Fredholm元当且仅当存在幂等元e∈Soc(A)使得(1-u)A=(1-e)A. 与此同时，Barnes B定义了拟Fredholm元的指标，并证明了指标具有连续性. 若B为A中的子集，令L[B]={a∈A:aB=0},R[B]={a∈A:Ba=0}.

定义2.3[15,定义3.1]假设u∈A是拟Fredholm元，定义

k(1-u)=Θ(L[(1-u)A])-Θ(R[A(1-u)]),

则称k(1-u)为1-u的指标.

类似于经典Fredholm理论中Fredholm算子乘积的指标的性质，拟Fredholm元也有类似的结论，即若u和v为A中的拟Fredholm元，那么v∘u也是拟Fredholm元并且k(1-v∘u)=k(1-v)+k(1-u). 特别地，当A是一个半素Banach代数，若{un},u为A中的拟Fredholm元，并且{un}收敛于u，那么k(1-un)收敛于k(1-u). 关于指标的进一步性质可参考文献[15].

Berkani M将环中的Fredholm元进一步推广，研究了环中的依赖于理想的B-Fredholm元.

定义2.4[19，性质2.4]假设A是一个半素环，J为A中的理想.元素a∈A被称为是模理想J的B-Fredholm元若π(a)在商代数A/J中是Drazin可逆的，其中π:A→A/J为典则映射.

类比B-Fredholm算子的摄动和谱映射定理，下面给出环中B-Fredholm元的摄动及谱映射定理.

命题2.5 设a1,a2∈A为模理想J的B-Fredholm元.

1) 若a1a2∈J且a2a1∈J，则a1+a2也是模理想J的B-Fredholm元.

2) 若a1a2=a2a1，则a1a2是模理想J的B-Fredholm元.

3) 若i∈J，则a1+i是模理想J的B-Fredholm元.

对于半素环中的Fredholm元，B-Fredholm元，广义Fredholm元之间的关系，Berkani M也给出了研究，具体地，一个元素a∈A为模理想J的B-Fredholm元当且仅当存在整数n∈*和c∈A 使得ancan-an∈J且e-anc-can为模J的Fredholm元，其中e为A中的单位. 令a∈A的B-Fredholm谱为：σBF(a)={λ∈:a-λe不为模J的B-Fredholm元}，根据文献[19]可知，σBF(a)也满足谱映射定理. 本质上关于环中的B-Fredholm元理论，Berkani M不仅仅是将Fredholm元进行“弱化”，定义了B-Fredholm元，同时也将Soc(A)推广到了一般的理想J，定义了依存于理想J的B-Fredholm元并讨论了它的性质.

进一步，Pearlman L D[26]研究了半单Banach代数中的Fredholm理论及广义Fredholm理论，给出了Riesz元和预解集的洞的刻画，特别地，证明了在半单非本原Banach代数中Weyl元不能分解为可逆元和代数基柱中的元素的和. 1982年，Barnes B A，Murphy G J，Smyth M等学者也讨论了半单Banach代数中的Fredholm理论，与此同时，诸多学者也作了相关的研究[16,17]. 下面对半单Banach代数中的Fredholm理论作简要概述.

2.2 半单Banach代数中的Fredholm理论

本节中总假设A是一个半单的Banach代数，e为其单位元，这意味着，Rad(A)={0}，其中Rad(A)指A的radical.一个元素q∈A被称作是极小幂等元，若qAq是一个可除代数并且q2=q. 令Min(A)指A中所有极小幂等元的全体，事实上，“极小幂等元”的概念本质上是B(X)中秩1投影的推广，极小幂等元与A中的极小理想密切相关. 假设R⊆A为右理想，则R为极小右理想当且仅当存在极小幂等元E0使得R=E0A. 类似的，关于极小左理想也有相关的结论. 记Soc(A)为A的Socle，由文献[18]可知，

Soc(A)={x∈A:Θ(xA)<∞},

其中Θ(xA)表示右理想xA的阶. 一个元素x∈A被称作相对正则的，若存在y∈A 使得xyx=x，其中y称作x的一个伪逆. 受到算子情形的启发，定义了Banach代数中元素的零度和亏数，也给出了Fredholm元的定义[18].

假设A为含有单位元e的半单Banach代数且x∈A，令

R(x)={a∈A:xa=0},L(x)={a∈A:ax=0},

定义x的零度为nul(x)=Θ(R(x))，亏数为def(x)=Θ(L(x)).

定义2.6[18]设x∈A，如果[x]≜x+Soc(A)在A/Soc(A)中可逆，那么称x为Fredholm元.

文献[18]证明了x∈A为Fredholm元当且仅当x相对正则并且nul(x)<∞,def(x)<∞，这也与特殊情形B(X)中的Fredholm算子的刻画是一致的. Fredholm元x的指标被定义为ind(x)=nul(x)-def(x). Fredholm元的摄动定理也与Fredholm算子的摄动定理有相通之处.

命题2.7[18,定理3.6]假设x,y∈A为Fredholm元，s∈Soc(A)，那么

1)xy为Fredholm元且ind(xy)=ind(x)+ind(y).

2)x+s为Fredholm元且ind(x+s)=ind(x).

3) 存在δ>0和α,β∈使得

(ⅰ)对所有A中满足‖u‖<δ的u，有x+u为Fredholm元且ind(x+u)=ind(x)，nul(x+u)≤nul(x)，def(x+u)≤def(x).

(ⅱ)对所有的λ∈且0<|λ|<δ，有nul(λe-x)=α≤nul(x)且def(λe-x)=β≤def(x).

若x为Fredholm元，称ind(x)=0的x为Weyl元. 分别定义元素a∈A的Fredholm谱和Weyl谱为

σess(a)={λ∈:a-λe不为Fredholm元};σw(a)={λ∈:a-λe不为Weyl元}.

令ρess(a)=σess(a);ρw(a)=σw(a).可证σess(a)和σw(a)都为有界闭集，σess(a)满足谱映射定理，然而σw(a)不满足谱映射定理，受到算子情形的启发，给出σw(a)满足谱映射定理的充要条件，即对任意的复系数多项式p，a∈A，p(σw(a))=σw(p(a))当且仅当对任意的λ,μ∈ρess(a)有ind(a-λe)ind(a-μe)≥0.

回顾对于T∈B(X)，α(T)和β(T)分别表示算子的升标和降标. 通过算子的升标和降标定义了半单Banach代数中的元素的升标和降标[27]，并引入了Browder元. 令a∈A，算子La:A→A被定义为

La(x)=ax(∀x∈A).

令pl(a)=α(La)，ql(a)=β(La)，称pl(a)，ql(a)分别为元素a的升标和降标.

定义2.8[27]假设a∈A. 若a为Fredholm元，并且pl(a)<∞，ql(a)<∞，则称a为Browder元.

接下来给出Browder元的等价刻画定理及其证明.

定理2.9假设A为含单位元e的半单Banach代数, 则x∈A为Browder元当且仅当它是半Fredholm元并且0∈isoσ(x)∪ρ(x).

证明假设x∈A为Browder元，则它是Fredholm元，故它为广义Fredholm元，由Browder元的定义，可知pl(x)<∞，ql(x)<∞. 根据文献[18，定理7.7]，存在>0使得对任意的0<|λ|<，有

pl(λe-x)=nul(λe-x)=0且ql(λe-x)=def(λe-x)=0，

即0∈isoσ(x)∪ρ(x).

另一方面，若0∈ρ(x)，则x可逆，显然x为Browder元. 下面只须证,若0∈isoσ(x)且x为半Fredholm元，则x为Browder元. 反证，若pl(x)=∞，由文献[18,定理7.7]可知，存在>0使得对任意的0<|λ|<，有nul(λe-x)>0，这与0∈isoσ(x)矛盾. 同理可证ql(x)<∞. 假设x为半Fredholm元，则nul(x)<∞. 由Fredholm元的邻域摄动定理，可知ind(x)=0，因此def(x)<∞，故x为Fredholm元. 这意味着x为Browder元.

作为Fredholm元的另一种变型，Mannle D和Schmoeger C[18]也定义了半单Banach代数中的广义Fredholm元.

定义2.10设A为含单位元e的半单Banach代数. 若x∈A相对正则并且存在x的伪逆y使得e-xy-yx为Fredholm元,则称x是广义Fredholm元.

事实上，x∈A 为广义Fredholm元当且仅当存在y∈A使得[x][y][x]=[x]且[e]-[x][y]-[y][x]可逆，即[x] 为广义可逆元，其中[x]表示等价类x+Soc(A). 关于广义Fredholm元也有类似的摄动定理.

命题2.11[18，定理5.1]设x∈A为广义Fredholm元，则

1)存在δ>0使得对所有的0<|λ|<δ，有λe-x为Fredholm元；

2)若s∈Soc(A)，则x+s为广义Fredholm元.

文献[18]定义了广义Fredholm谱，并研究了广义Fredholm元与Fredholm元的关系，相关半单Banach代数中的Fredholm理论可参考文献[18]. 在算子情形，Schechter 证明了文献[6]若T为Weyl算子，则存在有限秩算子U使得T+U为可逆算子. 很自然的，若想发展抽象的Fredholm理论，则需要考虑在一般的半单Banach代数中，上述Weyl算子的分解性质是否可以得到对应Weyl元的分解呢？Pearlman D给出了反例，即，证明在一个非本原的半单Banach代数中上述分解不存在. 但是对于本原Banach代数,可以得到Weyl元的分解性质. 与此同时，诸多学者发展了本原Banach代数中的Fredholm理论. 其中Barnes B A，Murphy G J，Smyth M等学者讨论了本原Banach代数中的Fredholm理论，使用的主要技巧则是通过左正则表示.

具体的，若A为本原Banach代数，令p为A中的极小幂等元，如果a∈A为Fredholm元，则左乘算子La为Fredholm算子，其中La为La:x∈Ap→ax∈Ap. 但是文献[16]给出反例说明了反之不成立. 这也揭示了对一般的本原Banach代数，左正则表示的性质存在缺点. 因此，一些学者考虑了什么样的代数可以使得a为Fredholm元当且仅当La为Fredholm算子. 此时发现，若A为本原C*-代数，左正则表示有更好的性质，即为一个等距的忠实的不可约*表示，并且可以证明，a为Fredholm元当且仅当左乘算子La为Fredholm算子. 于是，本原C*-代数中的Fredholm理论由此而生，接下来我们具体给出本原C*-代数中的Fredholm型元及其相关的性质.

2.3 本原C*-代数中的Fredholm理论

一个代数被称作是本原的，若{0}为代数中的本原理想. 显然，本原代数一定是半单的. 在本节中若无特殊说明总假设A为含有单位元1的本原Banach代数，并假设A的Socle非零，则A一定存在极小幂等元[16]，故令p为A中的极小幂等元，对a∈A，记La为左乘算子La:y→ay(∀y∈Ap). 假设x∈A，若存在y∈A 使得xy-1,yx-1∈Soc(A)，则称x为Fredholm元. 由文献[16] 可知，当x为Fredholm元时，La为Fredholm算子，但是反之不成立. 记k(h(Soc(A)))为包含Soc(A)的本原理想的交. 下面对本原Banach代数中的Fredholm元给出其摄动定理.

定义2.12[16，F.2.7]若x∈A为Fredholm元，定义x的零度，亏数和指标分别为nul(x)=n(Lx)，def(x)=d(Lx)，ind(x)=ind(Lx).

本节中算子的指标和元素的指标，由于是不同的对象，读者容易区分，故统一用“ind”来表示.

定义2.12[16,F.2.9]设A为含有单位元的本原Banach代数，且x为Fredholm元.

1)若u∈k(h(Soc(A)))，则ind(x)=ind(x+u).

Berkani M给出了B-Fredholm元及其指标的定义，并研究了B-Weyl元的分解. 若x∈A，并且[x]≜x+Soc(A)在A/Soc(A)中Drazin可逆，则称x为B-Fredholm元. 下面给出B-Fredholm元的指标的定义.

定义2.14[19，定义3.2]设A为本原Banach代数. 若a∈A为B-Fredholm元，则a的指标被定义为

i(a)=τ(aa0-a0a)=τ([a,a0]),

其中[a0]为[a]的Drazin逆，τ(a)表示元素a的迹.

根据文献[28，定理2.3]可知，B-Fredholm元的指标的定义是良定的，即不依存[a]的Drazin逆的选取. 若i(a)=0，则称a为B-Weyl元. Berkani M指出若a∈A为B-Fredholm元，则La为B-Fredholm算子，但反之不成立. 由文献[16，定理F.4.3]可证，若A 为本原C*-代数，则a∈A为Fredholm(B-Fredholm)元当且仅当La为Fredholm(B-Fredholm)算子. 受此启发，研究了本原C*-代数中B-Fredholm元的一些性质及其谱理论. 特别地，证明了B-Fredholm元可以分解为Fredholm元和幂零元的和，下面给出简要证明.

命题2.15 假设A为含有单位元的本原C*-代数并且Γ(AN)⊇N(Ap)，其中Γ表示A上的左正则表示，AN(N(Ap))分别表示A(Ap)上的所有幂零元(幂零算子)的集合. 若a∈A为B-Fredholm元，则存在Fredholm元b，幂零元c使得a=b+c.

证明若a∈A为B-Fredholm元，则La为B-Fredholm算子. 结合文献[12]，存在Fredholm算子S∈B(Ap)和幂零算子F∈B(Ap) 使得La=S+F.这也就意味着存在幂零元c∈A 使得Lc=F，因此，S=La-c. 故a-c为Fredholm元，令b=a-c，则b为Fredholm元，c为幂零元并且满足a=b+c.

注2.16 设A为本原C*-代数，若a∈A，元素a的B-Fredholm谱被定义为：σBF(a)={λ∈C:a-λe不为B-Fredholm 元}. 回顾B(H)表示无限维复Hilbert空间H上的有界线性算子全体. 令Φg表示H上的广义Fredholm算子全体，Φ表示H上的Fredholm算子全体，注意到

F(H)={T∈B(H):T+S∈Φg(∀S∈Φg)}.

记BF(A)，Ns(A)分别为A中的B-Fredholm元的全体和Soc(A)中幂零元的全体. 作为一个直接的推广，通过B-Fredholm元给出了本原C* 代数的Socle的刻画. 具体的，假设A为一含有单位元的本原C*-代数并且满足Γ(Ns(A))⊇N(Ap)，则

Soc(A)={x∈A:x+y∈BF(A)(∀y∈BF(A))}=

{x∈A:σBF(x+y)=σBF(y)(∀y∈A)},

其中Γ为A上的左正则表示，N(Ap)为Ap上的幂零算子全体.

2.4 依存于Banach代数同态的Fredholm理论

随着Banach代数中的Fredholm、Weyl、Browder、B-Fredholm等理论的日渐完善，一些学者另辟蹊径，关于Fredholm理论发展的新趋势逐渐出现，例如Benjamin R和Mouton S[20]研究了序Banach代数中的Fredholm理论，还有一些学者研究了依存于Banach代数同态的Fredholm理论.

我们知道，在经典的Fredholm理论中，设T∈B(X)，则T为Fredholm算子当且仅当π(T)=T+F(X)在商代数B(X)/F(X)中可逆，其中π为典则同态. 受到此启发，Robin Harte将同态π推广到两个Banach代数A和B之间的任意一个同态T，定义依存于同态T的Fredholm型元，并研究了它们的谱性质.

本小节总是假设A，B为含有单位元的Banach代数，T:A→B为A到B的有界同态并且T(1A)=1B，其中1A,1B分别为A和B中的单位元，记A-1，B-1分别为A和B中的可逆元全体. 容易验证T(A-1)⊆B-1.

下面介绍依存于同态的Fredholm元的定义.

定义2.17[22]设T:A→B为Banach代数A和B之间的同态且a∈A.

1) 若T(a)∈B-1，则称a为Fredholm元.

2) 若a∈A-1+T-1(0)，即a可以写为一个可逆元和ker(T)中元素的和，则称a为Weyl元.

3) 若a∈A-1⊕T-1(0)={b+c:b∈A-1,c∈T-1(0),bc=cb}，则称a为Browder元.

显然，可逆元⟹Browder元⟹Weyl元⟹Fredholm元. 称a∈A为几乎处处可逆元若存在δ>0使得对任意的0<|s|<δ，有a-s可逆. 称同态T:A→B有Riesz性质若T(c)=0,0≠s∈C⟹c-s几乎处处可逆.

Robin Harte对于特殊的同态，刻画了A中的Browder元. 具体的，对任意的同态T:A→B，每个几乎处处可逆的Fredholm元是Browder元. 反之，若T还满足Riesz性质，则Browder元也是几乎处处可逆Fredholm元. 同样的，类似于经典的Fredholm 谱理论，文献[22]也发展了依存于同态T的Fredholm元的谱理论. 称σB(T(a))为a∈A的依存于同态T的Fredholm谱；Weyl谱被定义为WT(a)={s∈:a-s不为Weyl元}；Browder 谱被定义为{s∈:a-s不为Browder元}，根据文献[22]，Fredholm谱满足谱映射定理，然而，Weyl谱和Browder谱并不满足谱映射定理.

命题2.18[22,定理2]设a∈A，f:U→为在包含σA(a)的邻域U上解析的函数，则存在如下包含关系.

2.5 序Banach代数中的Fredholm理论

若无特殊说明,本小节中的Banach代数A,B都是含有单位元1的复Banach代数. Banach代数A的子集C被称为代数锥，若C包含A的单位元并且在加法，乘法，正的数乘运算下封闭. 注意到代数锥C可以诱导A上的一个序关系″≤″如下：对任意的a,b∈A，a≤b当且仅当b-a∈C. 具有由代数锥C所诱导的偏序的Banach代数A称为序Banach代数，记作(A,C).A-1表示A中所有可逆元的全体，若T:A→B为Banach代数同态，记N(T)为T的零空间. 文献[20]定义了序Banach代数中的上Weyl元和上Browder元，并研究了其谱映射定理.

定义2.19[20，定义2.0.2]令(A,C)为序Banach代数，T:A→B为Banach代数同态，元素a∈A被称为

1)上Weyl元,若存在b∈A-1和c∈C∩N(T)使得a=b+c.

2)上Browder元,若存在b∈A-1和c∈C∩N(T)使得bc=cb，a=b+c.

可逆元⟹上Browder元⟹上Weyl元⟹Weyl 元⟹Fredholm元，

其中Fredholm、Weyl、Browder为第3.4节中定义的依存于同态T的Fredholm、Weyl、Browder元. 对于上Weyl元和上Browder元，也有对应的摄动定理.

定理2.20[20，性质3.2.12]设(A,C)为序Banach代数，T:A→B为Banach代数同态,并且a∈A.

3 Fredholm理论的提升

关于Banach代数中的Fredholm理论，近两年出现了比较新颖的思考切入点. 2020年，Berkani M定义了Fredholm族，并考虑了其解析指标及其相关性质，进而Mohammed Berkani在2021年研究了连续Fredholm理论，正则性和半正则性. 作者在博士论文中探讨了C*-代数中A 的Fredholm A-模和Weyl A-模及其摄动[34].

本节主要介绍Banach代数中两种提升Fredholm理论的方法. 一种是利用“升维”的思想，介绍Fredholm族及其研究现状；另一种则是以指标为切入点，利用K理论，给出C*- 代数A的Fredholm A-模和Weyl A-模及其摄动.

3.1 Fredholm族

令B(H)为无限维可分Hilbert空间H上的有界线性算子全体，K(H)，F(H)分别为B(H)中的紧算子全体和有限秩算子全体. 若T∈B(H),记N(T),R(T)分别为T的零空间和值域. 记fdim(H)为H的有限维子空间全体构成的集合,fcod(H)为H的有有限余维的子空间全体. 在fdim(H)×fcod(H)上可以定义如下等价关系:

其中dim(codim)表示线性空间的维数(余维数). 令

Ψ:[fdim(H)×fcod(H)]/R→,

定义映射ΨX:[[fdim(H)×fcod(H)]/R]Xc→nc为其中记nc表示拓扑空间X的连通分支的势，并且本节中总假设X至多有可列个连通分支.

定义3.1[21，定义2.1]Fredholm族T:X→Fred(H)的解析指标为ind(T)=ΨX(q(T)).

命题3.2[21，性质2.5]设S，T∈C(X,Fred(H)).

1)若K为紧族，则T+K为Fredholm 族并且ind(T)=ind(T+K).

2)ST为Fredholm族且ind(ST)=ind(S)+ind(T)，其中ST被定义为(ST)x=SxTx.

定义3.3[21，定义2.9]令S,T∈C(X,Fred(H))，称S和T是Fredholm同伦的，若存在映射Φ:[0,1]×X→B(H)使得对任意的(t,x)∈[0,1]×X，有Φ(0,x)=Sx，Φ(1,x)=Tx且Φ(t,x)为Fredholm算子.

Berkani M证明了若S,T为C(X,Fred(H))中两个Fredholm同伦的Fredholm族，则ind(T)=ind(S).除此之外，文献[21]也证明了Fredholm 族的解析指标是连续的，并且为局部常值的. 随后，它定义了相关的Fredholm 族谱并研究了Weyl型定理. 2021 年，Berkani M将C(X,B(H))推广为C(X,B(X))，其中X为无限维的Banach空间，讨论了C(X,B(X))中的Fredholm 族，正则和半正则性.

在经典的Fredholm理论中，注意到指标是定义在B(H)中的Fredholm算子全体上的取值属于的连续映射，此时将B(H)推广为一般的C*-代数A,推广至加法群K0(A)，即为下节将要介绍的FredholmA-模和WeylA-模.

3.2 FredholmA-模

本节中总假设A为含单位元的C*-代数，K0(A)表示A的K0群，K0(A)表示A的K0同调群.

定义3.4[3]设A为含单位元的C*-代数. FredholmA-模是指(H,ρ,F)，其中

1)H为Hilbert 空间,

2)ρ:A→B(H)是*表示(连续*代数同态),

3) 有界算子F：H→H满足条件：∀a∈A，ρ(a)F-Fρ(a)，ρ(a)(FF*-I)，ρ(a)(F*F-I)均为H上的紧算子.

特别的，如果对任意a∈A，有ρ(a)F=Fρ(a)，ρ(a)FF*=ρ(a)，ρ(a)F*F=ρ(a),则称Fredholm模(H,ρ,F)为退化Fredholm模.

对于FredholmA-模,可以定义K0同调群. 首先定义加法，

(H,ρ,F)⊕(H′,ρ′,F′)=(H⊕H′,ρ⊕ρ′,F⊕F′).

称FredholmA-模(H′,ρ′,F′)酉等价于FredholmA-模(H,ρ,F)，若有酉同构U:H′→H使得ρ′=U*ρU及F′=U*FU. 设有连续映射F:[0,1]→B(H) 使得所有(H,ρ,F(t))为FredholmA- 模，则称(H,ρ,F(0))算子同伦于(H,ρ,F(1)). 若记x为FredholmA-模，则设[x]={Fredholm A-模y:y～x}，由所有A上的FredholmT-模等价类[x]所构成的集合K0(A)以⊕为加法成为交换群，称为K0同调群.

取P∈Mn(A)，若(H,ρ,F)为FredholmT-模，则可证

为Fredholm算子，其中ρn:Mn(A)→B(H⊕H⊕…⊕H). 另外，对偶映射φ:K0(A)×K0(A)→被定义为([P],[H,ρ,F])→ind(T). 若以上所定义的算子T的指标为0，则称(H,ρ,F) 为关于K0(A)的Weyl A-模.