一种抛物型方程逆时反问题的修正拟边值正则化方法

罗 敏, 阮周生, 陈振兴, 胡 强

(东华理工大学 理学院, 江西 南昌 330013)

本文考虑如下问题：

(1)

其中：f(x,t)为源项，φ(x)为初值，-L是对称一致椭圆算子，定义为

(2)

习惯上,当源项f(x,t)与初始分布φ(x)已知时，把通过求解问题(1)得到u(x,t)的过程称为热传导正演问题；当φ(x)未知时，把通过终止时刻T的观测数据g(x)=u(x,T)反演初值φ(x)的过程称为热传导逆时反演问题.基于实际问题的考虑，本文研究带有噪声的观测数据gε(x) 以重构初值φ(x)，其中

(3)

针对抛物型方程逆时反问题，学者们采用不同的正则化方法进行了研究，如文献[1—9]分别采用截断法、Fourier正则化方法、Tikhonov正则化方法、拟逆法、变分迭代法、同伦摄动法及深度神经网络法等对逆时反问题进行了研究.文献[10]采用拟边值正则化方法求解了抛物型方程逆时反问题，利用Fourier展开法证明了正则化解的Hölder型收敛率.文献[11]基于拟边值正则化方法的思想，提出了一类求解逆时反问题的修正拟边值正则化方法，并给出了对应正则化解的收敛性结论.文献[12]构造了求解逆时反问题的2种修正拟边值方法，并设计出时间上可并行的直接反演算法.本文基于拟边值正则化方法的思想，构造一种新的修正拟边值正则化方法，并从滤子正则化角度说明该方法本质上为经典Tikhonov正则化方法，同时也证明了正则化解的先验与后验收敛率.

1 构造修正拟边值正则化问题

(4)

其中φk=〈φ(x),φk(x)〉,〈·,·〉代表L2内积.显然M为正定自伴算子,σk=e-λkT(k=1,…,∞)为M的奇异值.

构造观测数据g(x)对应的修正拟边值正则化问题：

其中α为正则化参数.由特征函数展开法可得到问题(5a)～(5f)形式上的解uα(x,t),vα(x,t)分别为

(6)

(7)

(8)

显然当α=0时，φ(x)=φ0(x),故

(9)

从滤子正则化角度考虑,正则化初值(8)对应的滤子函数为

(10)

由文献[13—14]知,在滤子正则化框架下利用经典Tikhonov正则化方法求解抛物型方程逆时反问题(1)和(3)时正则化解对应的滤子函数如(10)式所示,故利用拟边值正则化问题(5a)～(5f)反演初值本质上与Tikhonov正则化反演初值效果一致，即(5a)～(5f)对应的拟边值正则化方法本质为Tikhonov正则化方法.同理，可以得到观察数据带有误差时对应的正则化初值为

(11)

2 估计正则化解的收敛率

2.1 先验正则化参数选取策略下正则化解的收敛率估计

(12)

(13)

证明当初值φ(x)满足先验条件(12)时，显然有φ(x)∈H2(Ω),由文献[15]定理6知观测数据g(x)有意义.通过直接计算可得

(14)

(15)

根据三角不等式可得

(16)

2.2 后验正则化参数选取策略下正则化解的收敛率估计

在讨论先验正则化参数选择策略时，有界性E的大小并不容易得到，进而阻碍了先验正则化参数的选择.接下来根据Morozov偏差原则估计后验正则化参数选择策略下正则化解的收敛率.本文采用的Morozov偏差准则为

(17)

其中τ2>τ1>1为2个常数.

引理1ρ1(α),ρ2(α)均为(0,∞)上连续且严格递增的函数，并且

ρ2(α)≥ρ1(α).

证明直接计算得

显然结论成立.

接下来根据偏差准则(17)选取的正则化参数估计正则化解的收敛率.

(18)

(21)

(22)

其中C仅与τ1,τ2,E有关，故定理2得证.

3 反演算法

Vh={v:v∈C0(Ω),v|Δh∈P1(Δh),∀Δh∈Th}.

(23)

Uα,ε(x,T)+αVα,ε(x,T)=gε(x)，

(24)

(25)

反演算法：

Step 1 给定终止时刻测量数据Gε;

Step 3 选取初始正则化参数α0及常数r∈(0,1),利用几何级数下降法αk=α0rk选取满足偏差准则(17)的后验正则化参数α*;

4 数值算例

gε(xi)=g(xi)(1+εrand(i)),

其中g(xi)为精确数据或通过给定精确初值求解正问题所得的终止时刻值，rand(i)为一组在[-1,1]上服从均匀分布的随机数据，ε为相对误差水平.

算例1已知u(x,t)的精确解为e-9tsin 3x，φ(x)=sin 3x.取不同噪声水平ε，反演初始时刻的数值解(图1).

算例2已知φ(x)=sin(2x)+x2(π-x)3，此时难以得到方程的精确解.取不同噪声水平ε,反演初始时刻的数值解(图2).

图1 算例1初值反演结果

图2 算例2初值反演结果

算例3已知u(x,y,t)的精确解和初值分别为e-2π2tsin πxsin πy,φ(x,y,0)=sin πxsin πy.取不同噪声水平ε，初始时刻的精确解图像及精确解与反演解的误差曲面见图3～图4.

图3 算例3初值精确解

图4 算例3的误差曲面

图5 算例4初值精确解

由图1～图6可知，当取合适的正则化参数时，反演解能较好地逼近精确解，并且随着噪声水平的逐渐下降，正则化解越逼近问题的精确解，说明该正则化方法是稳定且有效的.

图6 算例4的误差曲面

5 结论

本文构造了一种修正的拟边值正则化方法求解抛物型方程逆时反问题.在初值函数源条件假设下，分别推导了正则化解的先验与后验误差收敛率，同时基于有限元插值及叠加原理构造了易于并行的反演算法.该算法具有可并行和可离线的特点，不需要在反演过程中反复求解正问题或伴随问题，因此具有反演速度较高的优点.本文提出的修正拟边值正则化方法只考虑了整数阶热传导方程逆时问题，对于该修正方法在分数阶热扩散方程反问题，特别是空间分数阶扩散方程相关反问题上的收敛性分析还未展开，我们将在后续的研究中考虑该方法用于分数阶扩散方程反问题的情形.