基于子域模型的高温超导绕组电机磁场解析计算

2022-07-15常勇包广清何婷

电机与控制学报 2022年6期

常勇，包广清，何婷

(1.兰州理工大学电气工程与信息工程学院，甘肃兰州 730050；2.甘肃自然能源研究所，甘肃兰州 730046)

0 引言

高温超导(high temperature superconducting，HTS)材料凭借零电阻、磁场性能强、交流损耗低、磁屏蔽性等特点被广泛应用于电机设备[1-3]。与传统电机相比，高温超导电机具有体积小、功率密度高、效率高、温升小、损耗低等诸多优点，在军用舰船电力推进系统[4]、航空航天全电动飞机[5-6]和大型风力发电厂[7]等特殊场合得到了广泛的关注与应用，具有非常重要的研究意义。由于高温超导材料的载流密度高，在电机中不用铁磁材料便可以获得足够强的磁场，因此，超导电机的定转子采用非磁性铁心。与常规电机相比，内部磁场分布有明显差异。针对超导绕组电机拓扑结构和性能的特殊性，有必要对其磁场分布规律、电磁性能参数等关键问题进行系统研究。

随着电机设计理论研究的不断深入和完善，对其磁场计算精度的要求更为严苛，特别是在新型超导材料混合电机的设计过程中，对其磁场分布计算尤为重要。因此，精确分析计算超导绕组电机的磁场分布和电磁参数是超导类电机设计研究的关键。

目前对于电机磁场分析计算主要采用有限元法[8-9]和解析法[10-18]。有限元分析能够处理复杂的电机结构及铁磁材料的非线性等问题，计算精度高，但建模及运行分析耗时长，难以建立起各个物理量之间的直观联系；而解析法针对边界形状规则，材料特性线性的场合，突显出计算速度快，计算量小，逻辑推理和物理概念清晰的优势，有利于电机初始设计和优化。王明杰等人采用了精确子域模型对永磁直线同步电机空载磁场进行研究，提高了计算精度[19]。郭保成等人采用精确子域法对Halbach阵列盘式永磁电机进行了解析计算，并进行了相关实验验证[20]。然而当前绝大多数电机磁场解析计算方法都是针对传统常规电机拓扑结构，国内外关于高温超导电机结构和磁场解析计算研究较少，文献[21]采用解析计算法方法针对超导汽轮发电机的励磁磁场和电枢磁场进行分析，但缺乏对比分析，无法判断解析计算的准确性；文献[22]利用镜像法对超导同步发电机的三维磁场分布进行求解，获得了较高的计算精度。但目前仍缺乏系统的高温超导电机磁场性能分析计算及研究的理论方法。

综上所述，本文以高温超导同步电机作为主要研究对象，针对超导电机采用非磁性铁心的特殊结构，提出了一种基于子域解析法计算高温超导绕组电机磁场分布电磁性能参数的解析方法。将超导电机的磁场作为线性稳定磁场处理。在二维平面极坐标系中，对高温超导绕组电机磁场求解域进行子域划分，建立了各子域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程。根据边界条件利用分离变量法分别求解各子域的拉普拉斯方程或泊松方程通解。在研究分析中得到的解析表达式具有普适性。与以往的研究相比[9]，该计算方案更加精确，考虑了绕组线圈的间距，推导出有源区域磁感应强度函数，从而确定高温超导临界电流密度。在求解各个子域的矢量磁位和磁感应分量的解析表达式时，充分考虑超导体临界参数，电机极对数，高次谐波、每极每相槽数对电机磁场分布的影响。最后分别计算空载气隙磁通密度和反电动势等相关电磁性能参数，利用有限元法进行验证分析该方法的准确性，对进一步完善超导线材和块材电机设计理论具有参考意义。

1 解析计算模型

超导电机与常规电机在磁结构上区别较大，考虑超导材料的特殊性，转子励磁绕组和定子电枢绕组分别都固定在非磁性结构件上，可以看作是气隙特别大的电机，因此对电机内部空间磁场分析时可以作为线性的平面稳定场处理。因此作以下基本假设：

1)磁性铁心磁导率μFe→∞；

2)高温超导材料稳定处于超导态；

3)高温超导材料的电阻率为0，内部磁通密度为0；

4)忽略端部效应；

5)绕组区磁导率均为恒定值μ0；

6)高温超导绕组铁心呈非磁性。

在上述假设下，高温超导电机有源区磁场的解析计算问题可以归结为两个圆柱形铁磁区之间的绕组线圈产生的周期性磁场的计算问题。图1给出了各极励磁绕组的连接使得相邻磁极的极性相同的周期性磁场的计算模型。超导绕组线圈位于磁导率无穷大的两个圆柱形铁磁之间的环形区域中，其磁导率为μ0。

对于图1所示绕组线圈周期性磁场的求解问题，根据谐波分析法[23]与子域解析法[24-26]，将求解区域划分为3个简单的齐次子区域：

图1 周期性磁场的解析计算模型

子域Ⅰ：R2≤r≤R1，为绕组线圈与外圆柱铁磁区之间的非磁性间隙，磁导率为μ0，外圆柱铁磁磁导率μFe→∞；

子域Ⅱ：R3≤r≤R2，为绕组线圈之间的非磁性间隙，其磁导率为μ0；

子域Ⅲ：R4≤r≤R3，为绕组线圈与内圆柱铁磁区之间的非磁性间隙，磁导率为μ0，其中内圆柱铁磁磁导率μFe→∞。

在稳定状态下，子域Ⅰ和Ⅲ静磁场满足方程组：

(1)

子域Ⅱ满足方程组：

(2)

2 磁场解析计算

2.1 各子域矢量磁位通解

在周期性交变磁场中，对于有源区域，因rotH=J，属于有旋场，因此必须引入矢量磁位A,一般它是空间坐标和时间的函数，包含3个空间分量，满足方程组[27]

B=rotA。

(3)

稳定磁场不包含时变分量，根据磁场强度的麦克斯韦方程微分形式可以得出

rotH=J。

(4)

将此式两边同时乘以μ0，得

rotB=μ0J。

(5)

将式(3)代入式(5)，利用矢量恒等式，得

rotB=rot rotA=grad divA-▽2A=μ0J。

(6)

为了完全地定义A，必须增加一个约束条件，即为库伦条件为

divA=O。

(7)

根据式(7)的条件，式(6)化简为

▽2A=-μ0J。

(8)

子域Ⅰ和Ⅲ的磁场属于平行平面场，矢量磁位A只有z分量，其电流密度为0。因此，对方程(1)的求解可以转化为对矢量磁位A的拉普拉斯方程的求解，即

ΔA=O。

(9)

根据式(9)确定子域Ⅰ和子域Ⅲ的磁场分布。

在子域Ⅱ中，对方程(2)的求解转化为在库仑规范下对矢量磁位A的泊松方程求解为

ΔA=-μ0j。

(10)

式中Δ为拉普拉斯算子，上式为库伦规范下的矢量磁位A的泊松方程。

将求解二维磁场问题转化为求解各个子区域的拉普拉斯方程和泊松方程的数学问题。采用平面极坐标系求解，式(3)可写成：

(11)

2.2 边界条件与求解

各子域划分和边界条件如图2所示，考虑到磁系统在求解域的周期性，则根据矢量磁位及其偏导数∂A(ρ,θ)/∂r和∂A(ρ,θ)/∂θ确定的磁感应分量函数必为周期性函数，其周期为αT=2π/p。考虑到铁磁区边界处的磁感应切向分量为0，以及具有相同磁导率的区域边界处磁位连续且满足磁场强度切向分量相等，则矢量磁位的边界条件为[19]：

图2 各个子域划分与边界条件

子域Ⅰ：R2≤r≤R1，0≤θ≤2π，

(12)

(13)

子域Ⅲ：R4≤r≤R3，0≤θ≤2π，

(14)

2.2.1 子域Ⅱ中电流密度JII(θ)

选择二维坐标系原点时，如图3所示坐标轴与转子绕组线圈的对称轴线重合。电流密度分布如图4所示，电流密度函数为：

图3 线圈中电流的方向示意图

(15)

式中：p为极对数；k=0,1,2,…,p-1。

(16)

(17)

根据傅里叶级数展开有

(18)

电流密度的正值对应绕组线圈中电流的方向，如图4所示。绕组线圈的反极性可以用电流密度的负号来表示。

图4 解析计算简化模型与电流密度JII(θ)分布模型

2.2.2 子域Ⅰ和Ⅲ的拉普拉斯方程解

由于子域I和Ⅲ的气隙内没有电流，根据边界条件(12)和条件(14)，用分离变量法[27]求解拉普拉斯方程(9)，在平面极坐标系中，式(9)可以变换为：

子域Ⅰ：(R2≤r≤R1，0≤θ≤2π)

(19)

根据图2可知，气隙内没有线电流，因此在通解中不存在(A0Inr+B0)(C0θ+D0)项。通过分离变量的方法，得到式(19)的解为

(20)

通过式(9)和式(12)得到：

(21)

子域Ⅲ：(R4≤r≤R3，0≤θ≤2π)

(22)

同理得出式(22)的解为

(23)

通过式(9)和式(14)得到：

(24)

2.2.3 子域II的泊松方程解

在平面极坐标系中，式(8)可以变换为：

(25)

泊松方程的特解为

(26)

根据式(10)和式(13)得：

(27)

泊松方程的特解满足式(13)的边界条件。将式(25)代入式(13)，可得到拉普拉斯方程的通解边界条件为：

(28)

采用分离变量法求解拉普拉斯方程(9)，得到解析表达式

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

根据式(19)可以得出：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

根据式(11)变换可得：

(41)

各子域的磁位和磁通密度为：

子域Ⅰ：(R2≤r≤R1，0≤θ≤2π)

(42)

将式(42)代入式(41)可得：

(43)

(44)

将式(44)代入式(41)可得：

(45)

子域Ⅲ：(R4≤r≤R3，0≤θ≤2π)

(46)

将式(46)代入式(41)可得：

(47)

(48)

3 电磁参数计算

根据前面的假设及超导材料零电阻零损耗的特性，利用能量平衡与能量法进进行电磁参数计算。将超导电机系统视为无损耗储能系统，在磁场变化周期相等的情况下，根据磁场能量与电感之间的关系计算相邻两组产生相同磁极的绕组线圈互感系数。根据电磁理论可知，超导绕组线圈产生磁场能量可以依据以下公式计算：

(49)

式中：A(r,θ)线圈产生的矢量磁位；j是线圈的电流密度；S为通电绕组线圈的截面积；ls为电机的轴向有效长度。

根据图5所示为相同磁极的两组线圈电磁参数计算模型与简化模型，同时考虑磁场的周期交替性，两组线圈互相产生的磁场能量为

图5 相同磁极的两组线圈电磁参数计算模型

(50)

式中β为两组线圈的偏移角度。

完成式(50)的积分后，得

(51)

图6给出了相邻两组线圈的分布直径不相等的电磁参数计算模型。考虑磁场的周期性，两组线圈互相产生的磁场能量为

图6 相邻两组线圈分布直径不相等的电磁参数计算模型

(52)

对式(52)进行积分，得

(53)

每个具有周期交替性磁场的线圈自身产生的磁场能量为

(54)

如果相邻两个具有周期性磁场的绕组线圈的周期系统具有不同的极性，那么在利用式(51)和式(53)计算磁场能量时，只需要对奇数次谐波求和，所得结果乘以4得到磁场总能量。

计算出磁场能量之后，根据公式W=1/2LI2,可以计算出励磁绕组和电枢绕组的互感为

(55)

式中I1和I2分别为两组线圈的电流。

同极绕组线圈的第一周期系统的自感为

(56)

得出绕组线圈的自感和互感，可以确定同步电机的主要参数，如空载反电动势和主感应电抗，其中空载反电动势定义为

E0=ωM12If。

(57)

式中：M12为励磁绕组与电枢绕组的互感；If为励磁电流；ω为角频率。

电枢绕组的反应电抗定义为

Xq=ω(L1+M12)。

(58)

式中L1和M12根据式(55)～式(56)计算得出。

4 磁场分布及有限元分析验证

4.1 有限元模型

为了验证提出的解析法的准确性与有效性，以容量3.4 kW、9槽6极高温超导绕组同步发电机为例，其结构如图7所示。

图7 高温超导发电机的截面图和装配图

发电机的绕组采用双饼跑道型高温超导磁带制成，如图8所示，其尺寸大小为0.4×4 mm，非磁性铁心用于固定线圈。利用ANSYS Maxwell有限元分析软件建立模型进行分析计算，与解析法计算结果进行对比。电机主要尺寸参数如表1所示。

图8 双饼跑道型超导线圈结构示意图

根据表1的参数建立有限元分析模型，转速设定为250 r/min，进行空载电磁性能分析。图9和图10分别为有限元预测的空载磁力线分布图和电机空载磁密云图。可以看出超导绕组电机的磁通密度值明显比常规电机磁通密度值高，最高可达到3 T左右。

图9 空载磁力线分布图

图10 电机空载磁密云图

表1 主要尺寸参数

4.2 空载电磁分析与参数计算

计算同步发电机空载工况下的磁场分布，利用商用软件ANSYS Maxwell建立二维瞬态场。对超导绕组发电机空载时的气隙磁场进行仿真，利用场计算器求解气隙(R1-R2)/2位置处的气隙磁密，包括径向分量与切向分量，结果如图11和图12所示。图11(a)为气隙径向磁通密度沿着气隙中线圆周一个机械周期的分布图，从波形可以看气隙磁密波形呈现正弦分布的趋势,磁密最大值接近1.5 T。与解析法计算进行比较，结果表明解析方法和有限元方法得到的波形吻合度良好。对径向磁通密度分布进行傅里叶分解后，得到径向气隙磁通密度分布的谐波分析对比结果如图11(b)所示。对主要次谐波幅值与解析法计算结果进行误差分析，其中误差计算以有限元法计算结果为基准，从表2中的数据可以看出，基波幅值误差为0.29%，3次谐波幅值误差为1.8%，5次谐波幅值为0.52%，误差在2%以内该解析方法对空载气隙磁场的计算有较高的准确度，虽然高次谐波的幅值误差相对较大，但对电机磁场整体分布计算影响不大。各次谐波分量如图11(c)所示，同时求解一个时段的径向磁通密度3维分布图如图11(d)所示。

图11 空载径向气隙磁密分布

图12 空载切向气隙磁密分布

表2 径向气隙磁密主次谐波幅值及误差

由于超导电机与常规电机相比气隙特别大，因此，对超导同步发电机在空载工况下的切向气隙磁密分布也进行了计算，其结果如图12所示。其中图12(a)为气隙切向磁通密度分布，图12(b)和图12(c)为FFT分解的各次谐波及其幅值大小比较。图12(d)为切向磁通密度3维分布图。从分析结果来看，两种方法对切向磁密的计算结果吻合良好，没有出现太大的误差。

在空载工况下，励磁绕组通以电流，电枢绕组开路，计算三相空载电动势，结果如图13所示。与解析方法进行比较，吻合度较高。

图13 空载电动势波形

利用两种方法分别计算了电枢绕组感应电抗值，根据表3可知两种方法对电枢绕组感应电抗的计算值相差较为明显，一是因为在有限元分析绕组感应电抗时是按照电机的实际结构和端部绕组部分，而在解析计算中，电机端部磁场分布复杂，为了便于计算，只考虑了电机绕组直线段部分的简化模型，在实际工程设计中还需进行端部效应的等效计算；二是由于高温超导带材具有各向异性，其所处的漏磁场相比常规绕组电机更为复杂。