H型平台直驱伺服系统离散积分滑模平滑控制

方馨， 王丽梅， 张康

(沈阳工业大学 电气工程学院，辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

H型平台直驱伺服系统的首要目标是实现高精度和高效率运动[1]。为保证机械结构在高速/加速度运动下的重复进给精度和提供更大的推力，平台中横梁与电机之间必须采用刚性连接。因此，H型平台中永磁直线同步电机动力学模型与独立PMLSM模型相比存在差别。一方面由于H型平台直驱伺服系统没有中间缓冲过程，负载扰动产生的不确定性将直接作用于直线电机工作台中，影响系统抗干扰性。另一方面，双轴驱动结构虽然可以消除由于单轴驱动的惯性产生振动的问题，但是由于驱动轴间物理连接件的强机械耦合产生的建模误差严重影响系统的跟踪精度[2-3]。因此，为提升系统的控制性能，有必要对系统进行更准确的建模，并在此基础上采取有效的位置控制策略克服系统扰动的影响[4]。

在H型平台系统中，通常采用位置控制器与轴间协同控制器相结合的控制方式[5]。其中，单轴高性能位置控制器是提高直驱H型平台加工精度的前提和保证。文献[6]为提高H型平台中PMLSM伺服系统的动态响应性能，利用最优系统频域因子分解求解位置控制器的参数。文献[7]在单轴中采用模糊PID控制作为位置控制器，以保证单轴跟踪精度。文献[8]设计带有约束条件的线性二次优化算法来寻找最合适的柔性刚度和控制器参数，进而提高位置跟踪精度。文献[9]在H型平台中通过单边激励经系统辨识得到耦合系统输入输出的模型，并设计自适应鲁棒控制器克服参数不确定性和建模误差的影响。虽然上述控制策略在一定程度上提高了系统的同步性能和跟踪性能，但在动力学模型中存在忽略了横梁连接产生机械耦合的影响，辨识出的参数并无实际物理意义等问题，且对系统参数摄动和负载扰动很敏感，缺乏鲁棒性，易导致位置偏离期望值，进而降低跟踪精度，甚至影响系统的稳定性。

在工程实际应用中，计算机实时控制均为离散系统，为减小数字计算机系统的理论设计与实际应用之间的差距，对于离散控制器的应用研究越来越受到人们的青睐[10]。在此背景下，离散系统滑模控制器的设计也获得了较多关注。目前，离散滑模控制策略应用于Buck变换器[11]、电流源逆变器[12]、高频开关电源[13]、锂电池荷电状态估计[14]、永磁同步电机[15]等领域，并取得了良好的控制效果。文献[16]采用欧拉离散化方法对直线电机运动学模型进行离散化，并提出了一种离散分数阶终端滑模控制策略，用于直线电机的高精度跟踪控制。与此类似，文献[17]针对欧拉离散的永磁直线电机伺服系统，设计强鲁棒性的离散快速终端滑模位置控制器，克服系统模型的不确定性，提高系统的控制性能。然而，欧拉离散化方法随着离散化步长的增加，将不能构造准确的可调模型[18]。此外，滑模控制的强鲁棒性来源于控制量的高频切换，其产生的抖振现象严重影响伺服系统控制精度，而且符号函数不连续、采样时间有限更是加重了抖振现象[19]。文献[20]利用自适应区间二型模糊系统逼近滑模控制的等效控制部分以削弱抖振，但构建较为复杂，不利于工程实现。文献[21]利用高阶滑模的超螺旋算法设计滑模控制器，削弱抖振的同时提高系统鲁棒性。文献[22]提出用死区迟滞函数代替滑模趋近律中的死区函数，减少系统在滞后区域中的切换频率，从而削弱系统的抖振程度。通过引入“边界层”的概念，文献[23-24]分别采用初等饱和函数和双曲正切饱和函数代替符号函数克服抖振现象，提高控制精度，但系统轨迹在边界层内的收敛速度较慢。

综上所述，本文以H型平台中PMLSM为研究对象，建立含有机械耦合特性的直驱伺服系统动力学模型并采用稳定的阶跃响应变化法进行离散。在此基础上设计离散滑模控制器(discrete-time sliding mode control，DSMC)，并在离散滑模面中引入积分环节，构造离散积分滑模控制器(discrete-time integral sliding mode control，DISMC)，以提高系统的稳态控制精度。为削弱抖振并提高系统的收敛速度，结合初等饱和函数和双曲正切饱和函数的优点构造一种新型连续平滑饱和函数，并对比分析证明新型平滑饱和函数的快速收敛性。最后，通过仿真和实验，验证所提控制策略的可行性和有效性。

1 H型平台系统描述

1.1 H型平台结构

H型平台结构如图1所示，该平台由一个X轴方向的PMLSM和两个Y轴方向的PMLSM共同驱动，具有高刚度、大推力和高加速度的优点，本研究以图1中Y轴PMLSM为研究对象。

图1 直驱H型平台示意图

图2为PMLSM的结构示意图。PMLSM的工作台安装于动子上，动子和工作台共同固定在滚珠导轨的滑块上，而定子安装有永磁体，为动子上的通电绕组提供励磁，实现动子沿着直线方向运动。

图2 永磁直线同步电机结构示意图

1.2 H型平台直驱伺服系统数学模型

理想情况下，PMLSM的电磁推力为

(1)

式中：id、iq为d-q轴电流；Ld、Lq为d-q轴电感；λPM为永磁体磁链；τ为极距。

电流环采用id=0控制策略，电磁推力表示为

(2)

式中Kf为电磁推力系数。

独立PMLSM机械运动方程为

(3)

式中：d(t)、v(t)分别为动子位置和线速度；Bv为粘滞摩擦系数；M为动子质量；Fd为包括负载阻力、推力波动、摩擦力在内的集总干扰，且Fd是有界的。

虽然PMLSM的动子、横梁和导轨的滑块因刚性连接，整体可视为刚性结构，但直驱伺服系统仍受到滚珠导轨柔性支撑的影响，产生高频振动[25]。因此横梁与Y轴直线电机间的高刚度物理连接必然产生刚柔耦合动力学，无法从单独的PMLSM动力学的角度来建模。因此如图3所示，将滚珠和结合部简化成“质量-弹簧-阻尼”元件，用动子质量M、耦合刚度K和耦合阻尼D描述，图3(a)为耦合动力学模型，图3(b)为等效模型。

图3 耦合动力学特性示意图

结合PMLSM运动方程式(3)，H型平台直驱伺服系统运动学模型可以表示为

(4)

式中B=Bv+D为系统的总阻尼。

选取位置和速度为状态变量，根据式(2)和式(4)获得连续时间状态下的标准状态空间方程为

(5)

在连续时间状态下式(5)的通解可表示为

F1(δ)]dδ。

(6)

采用阶跃响应变化法得到离散化状态方程，假设输入变量u(t)及负载扰动在相邻周期内维持不变，并令t0=kTs，t=(k+1)Ts，其中Ts为采样时间，可得到离散状态方程通解为

(7)

由式(7)可简化得到包括扰动在内的H型平台直驱伺服系统离散数学模型为：

(8)

式中：A≈1+TsA1为系统的状态转移矩阵；B≈TsB1；F≈TsF1；x(k)=[d(k)v(k)]T；C=[1 0]；y(k)为系统输出的位置变量。

当H型平台直驱伺服系统采用id=0控制策略时，其设计系统的框架如图4所示。

图4 直驱伺服系统控制框图

2 控制器设计

2.1 离散型积分滑模面的设计

根据H型平台直驱伺服系统离散数学模型，将离散跟踪误差定义为：

(9)

式中：r1(k)、r2(k)为系统期望位置和速度输出；e1(k)、e2(k)为系统位置和速度跟踪误差。

根据式(9)，定义离散型积分滑模面为

s(k)=e2(k)+K1e1(k)+K2τ(k)。

(10)

式中K1、K2分别为切换函数的比例、积分增益。其中，τ(k)为系统跟踪误差的离散积分项，定义为

τ(k)=e1(k)+τ(k-1)。

(11)

积分项能够有效减小系统稳态误差，提高系统跟踪精度。除此之外，积分项初值的选取会直接影响系统的初始控制性能，考虑到趋近运动过程中的鲁棒性，可令s(0)=0，此时积分项初值为

(12)

即在原理上，系统轨迹一开始就位于滑模面上。若积分初始值任意选取，则系统轨迹将会在一定的初始趋近过程后到达滑模面附近邻域。

2.2 滑模控制律设计

将式(10)向前递推一步，可得k+1时刻的离散型积分滑模面为

s(k+1)=e2(k+1)+K1e1(k+1)+

K2τ(k+1)。

(13)

同理，将式(9)和式(11)向前递推一步，并代入式(13)整理可得

s(k+1)=(K1+K2)[r1(k+1)-x1(k+1)]+

[r2(k+1)-x2(k+1)]+K2τ(k)。

(14)

定义K=[K1+K21]，r(k+1)=[r1(k+1)r2(k+1)]T，x(k+1)=[x1(k+1)x2(k+1)]T，式(14)可以重新表述为

s(k+1)=K[r(k+1)-x(k+1)]+K2τ(k)。

(15)

由于下一采样时间的期望值r(k+1)未知，当采样时间足够小时假设增长率恒定，此时可采用简单的线性外推法进行预测。

R1≜r(k+1)=2r(k)-r(k-1)。

(16)

结合式(8)和式(16)，可得到包含控制变量u(k)的离散型积分滑模面，即

s(k+1)=K[R1-Ax(k)-Bu(k)-F(k)]+

K2τ(k)。

(17)

为了改善系统的动态品质，提高系统向滑模面的趋近速度，采用基于指数趋近律设计离散滑模控制律为

s(k+1)=s(k)-qTss(k)-εTssgn(s(k))。

(18)

式中：ε>0，q>0，1-qTs>0，联立式(17)和式(18)，可得H型平台伺服系统离散型积分滑模控制律为

u(k)=(KB)-1[KR1-KAx(k)-KF(k)+

K2τ(k)-s(k)+qTss(k)+

εTssgn(s(k))]。

(19)

控制器中ε、q、K1、K2参数选择准则为：

1)q为趋近速度增益，主要影响切换函数的动态过渡过程，当q接近1/Ts时趋近速度最快；

2)ε为饱和函数的增益参数，一般而言，抖振幅度与ε成正比。选择的时候需权衡系统的鲁棒性和削弱抖振性能；

3)K1主要影响调节时间，K2主要影响稳态误差。参数过大会使控制量输出过大，在实际控制中会引起系统抖振，因此选择的时候应兼顾收敛速度和控制抖振。

2.3 稳定性分析

定义Lyapunov函数为

(20)

保证滑动运动和收敛到滑模面的充要条件为

|s(k+1)|<|s(k)|。

(21)

根据Lyapunov稳定性定理，当满足式(21)时，将保证所有的状态轨迹将进入并保持在滑模面附近邻域。将上式分解为以下两个不等式：

基于指数离散趋近律满足

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

-qTs|s(k)|-εTs|s(k)|<0。

(22)

同时，当采样时间Ts很小时，2-qTs≫0，有

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=

(2-qTs)|s(k)|-εTs|s(k)|≥0。

(23)

其中s(k+1)由控制律式(19)代入式(17)获得，即

s(k+1)=Kr(k+1)-KAx(k)-

KBu(k)-KF(k)+K2τ(k)=

Kr(k+1)-KAx(k)-KB(KB)-1·

[KR1-KAx(k)-KF(k)+K2τ(k)-

s(k)+qTss(k)+εTssgn(s(k))]-

KF(k)+K2τ(k)=

s(k)-qTss(k)-εTssgn(s(k))。

(24)

式(22)为滑动条件，保证了在滑模面的准滑动运动，但可能导致不稳定和发散。式(23)为收敛条件，保证了状态轨迹在切换面上的收敛性。依据离散滑模稳定条件可知，控制系统是稳定的，即任意初始位置的状态都会趋向于离散型积分滑模面s(k)。

为抑制因控制律式(18)中符号函数引起的抖振现象，设计一种平滑饱和函数代替符号函数。因此，式(19)重新表述为

u(k)=(KB)-1[KR1-KAx(k)-

KF(k)+K2τ(k)-s(k)+

qTss(k)+εTsssat(s(k))]。

(25)

式中ssat(s(k))为平滑饱和函数，由下一节设计。

2.4 平滑饱和函数

为了抑制符号函数中存在的抖振问题，常采用如式(26)线性饱和函数和式(27)双曲正切型饱和函数设计滑模控制律。

线性饱和函数表达式为：

(26)

式中Ф为边界层厚度。

对于式(26)，[-Ф,Ф]为其平滑区间，在此区间内，可得到平滑的控制律。但线性饱和函数在s=±Ф时不可微，而且在平滑区间内只能产生固定斜率的切换控制律。除此之外，在Ф趋近于0时，线性饱和函数的切换特性近似于符号函数。

双曲正切饱和函数表达式为：

(27)

双曲正切饱和函数与线性饱和函数相比是连续可微且单调递增的平滑函数，但在相同切换增益和相同区间内，双曲正切函数会损失更多切换控制律，使得切换控制律克服干扰的能力下降，另外，双曲正切函数并不能完全达到[-1,1]。

为此，结合sat(s)和tsat(s)的优点构造一种新型平滑饱和函数，即：

(28)

对于平滑饱和函数ssat(s):1)当s=0时，ssat(0)=0，即当系统状态在滑模面上时，切换控制律为0；2)当s=±Ф时，sin(πs/2Ф)=±1，表明平滑饱和函数能够完全到达[-1,1]，即切换控制率能够输出最大范围；3)当s=±Ф时，sin(πs/(2Ф))是连续可微的。综上所述，ssat(s)能够综合前两种函数的优点。平滑区间相同的不同饱和函数曲线如图5所示。

图5 相同平滑区间三种饱和函数曲线

下文将从收敛时间的角度，定量分析不同饱和函数的收敛速度。为便于数学分析，假设三种饱和函数切换增益均为λ，在滑模控制方法中，系统运动状态分为趋近运动和滑模运动两个阶段，前者为从任意初始状态经有限时间t到达边界层；后者是在边界层内的滑模状态，该阶段能够有效削弱抖振现象。sat(s)函数趋近运动阶段所用时间为

(29)

在滑模运动阶段，线性饱和函数趋近律为

(30)

从边界层到边界层内任意一点所需时间为

(31)

当切换增益与边界层厚度相同时，tsat(s)函数和ssat(s)函数趋近运动阶段收敛时间与sat(s)函数相同，均可由式(29)表示，因此，不同饱和函数的动态性能主要取决于边界层内的收敛时间。

采用tsat(s)函数和ssat(s)函数，边界层内滑模趋近律分别为：

(32)

(33)

从边界层到边界层内任意一点滑模运动时间分别为：

(34)

(35)

由此可见，当切换增益、边界层厚度、初始点状态相同时，三种饱和函数对应的趋近运动时间相等，且趋近阶段收敛时间t与切换增益λ成反比；在滑模阶段，对应的收敛时间仍与切换增益成反比。综上可知，适当增大切换增益可以有效减小系统总收敛时间，提高滑模控制器收敛速度。

为直观表现三种类型饱和函数在边界层内收敛时间的特点，绘制图6所示收敛时间曲线。可以看出当切换增益相同时，三种类型饱和函数的收敛时间均随边界层厚度Φ的减小而变短，当边界层厚度相同时，平滑饱和函数的收敛时间最小，且其在滑模面附近的斜率最大，对应滑模控制器的收敛速度最快。因此，应在削弱抖振的前提下，减小边界层厚度，以提高系统收敛速度。

图6 三种饱和函数收敛时间

需要说明的是，选用平滑饱和函数代替原本的符号函数后，为确保系统稳定，需保证边界层外的状态轨迹能够于有限时间内到达边界层。当|s|>Φ时，由式(28)可知，ssat(s)=sgn(s)，显然，系统仍然满足 Lyapunov 稳定性条件。

3 仿真分析

为验证设计方法的正确性，采用MATLAB 2017a软件建立直驱伺服系统离散模型，并搭建控制器对所采用的控制策略进行仿真。选择电机参数：M=5.9 kg；Bv=0.51 N·s/m；D=0.9 N·s/m；K=18 N/μm；Kf=15.8 N/A；Fe=63 N；采样周期为1 ms。

首先，为验证ssat饱和函数抖振抑制能力和跟踪性能，给定幅值为10 mm，频率为0.5 Hz的平滑正弦位置指令。控制器参数取：Ф=0.01，K1=100，K2=0.7，ε=5，q=900。分别采用基于sgn、sat、tsat、ssat四种饱和函数的控制律设计DISMC控制系统，其对应的仿真结果如图7。可见所采用的控制策略能保证系统稳定运行，且能够准确地跟踪平滑位置指令。由图7(b)可知，sgn、sat、tsat、ssat的最大跟踪误差依次减小，分别为±10.1、±8.9、±8.6和±4.3 μm，其中ssat函数跟踪误差振动幅度最小，也最为平滑。图7(c)为滑模面s(k)值的变化曲线，ssat函数的抖振幅度较其他切换函数小，ssat函数有较强的抑制抖振能力。

图7 正弦输入时离散积分滑模控制仿真结果

其次，为验证系统在速度突变和突加负载扰动时的控制性能，给定位置指令为幅值10 mm，频率0.5 Hz的三角波，在2 s时施加10 N的负载扰动。控制器参数取：Ф=0.01，K1=200，K2=0.5，ε=5.5，q=950。此时，基于ssat函数的DSMC和DISMC控制方法的仿真曲线如图8所示。图8(a)为位置跟踪曲线，其中DSMC和DISMC的响应时间分别为0.05 s和0.01 s，这是由于积分初值的存在使得状态轨迹从开始就在滑模面上，保证了系统具有全局鲁棒性，同时提高了系统初始响应速度。DISMC方法的跟踪轨迹比DSMC的跟踪轨迹更接近期望位置指令，由局部放大图可知，当速度突变时，存在一些超调，但DISMC控制方法的超调较小。图8(b)为位置误差曲线，当系统稳定后，在2 s突加负载阻力时，DSMC的最大位置误差为0.142 mm，恢复时间为0.07 s，而DISMC的最大位置误差为0.082 mm，恢复时间为0.05 s。可见，DISMC控制方法位置误差收敛更快，并维持在0附近，能较好地完成系统的位置跟踪，同时由于积分滑模控制的强鲁棒性，使得负载突变时，恢复时间更快，有更好的动态响应。

图8 三角波输入时仿真结果

4 实验验证

为验证所提控制方法的可行性及仿真分析的准确性，利用实验平台予以验证，图9为系统实物图，系统主要由PMLSM(行程范围360 mm)、运动控制卡、伺服驱动器、直线光栅尺(分辨率0.05 μm)等组成。控制算法通过上位机下载到运动控制卡，并在控制卡中完成闭环控制。伺服驱动器根据控制卡的输出产生控制电压驱动PMLSM运行。实验数据通过上位机软件采集，上位机软件如图10所示，并利用Origin绘图软件完成实验数据的清晰显示。实验验证中控制器参数的选取与仿真相同。

图9 直驱 H型平台实验系统

图10 上位机软件

为验证设计的DISMC-ssat控制器性能，分别考虑了空载、负载5 kg两种情况，并与DSMC和DISMC方法对比。图11、图12分别为正弦输入时空载和负载在三种控制器下的实验结果。图11(a)和图12(a)为位置跟踪曲线，由局部放大图可知，无论在空载还是在负载条件下，DISMC-ssat控制方法的跟踪轨迹更接近期望位置指令。图11(b)为位置误差曲线，可知DSMC控制方法的最大误差为-7.74～7.99 μm、DISMC最大误差为-6.34～6.74 μm、DISMC-ssat最大误差为-3.84～4.22 μm。显然，空载时DISMC-ssat控制方法跟踪精度更高。图12(b)中控制方法对应的最大位置误差分别为-8.96～8.86 μm、-7.05～7.37 μm、-4.2～4.3 μm，其中DISMC-ssat控制方法误差增量最小，鲁棒性最强。图11(c)和图12(c)分别为空载和负载条件下控制输入电流曲线，可知DISMC-ssat控制方法输入电流信号最平滑，抖振幅度最小，通过平稳的输入即可保证系统的跟踪性能，能最大程度减小外加负载的影响。由此可见，DISMC-ssat方法在空载和负载时均能提供更好的控制精度。

图11 正弦输入空载时实验结果

图12 正弦输入负载时实验结果

为进一步研究伺服系统的动态性能，考虑空载与带载两种情况进行期望位置指令为三角波的跟踪实验。图13(a)和图14(a)是位置跟踪曲线，可知，无论在空载还是在负载的情况下，三种控制方法均能较好地跟踪期望指令。由图13(b)可直观看出，当系统速度突变时，三种控制方法的误差激增，DSMC方法的最大位置误差为-10.57～10.20 μm，DISMC最大误差为-6.32～5.49 μm。这两种方法对参考信号速度突变较敏感，但DISMC-ssat控制方法误差为-2.74～2.72 μm影响较小，该方法能够在速度突变时及时调整控制输入，响应迅速。图14(b)为负载时误差曲线，相对于图13(b)可知DISMC-ssat误差增量最小，鲁棒性最强。图13(c)和图14(c)为空载和负载时控制输入电流，实验结果表明，与DSMC和DISMC控制器相比DISMC-ssat控制器输入电流抖振最小，能够有效克服外界负载及速度突变，有较好的动态响应特性和抗干扰性。通过仿真与实验得出一致结论：DISMC-ssat函数能有效削弱抖振现象，提高直驱伺服系统位置跟踪精度与动态响应速度，增强系统带载能力。

图13 三角波输入空载时实验结果

图14 三角波输入负载时实验结果

5 结 论

本文以H型平台直驱伺服系统为对象，研究一种基于平滑饱和函数的离散积分滑模位置控制策略。在直驱伺服系统离散模型的基础上，将积分环节与滑模控制相结合，该方法既保持了滑模控制动态性能强的特点，又减小了系统的稳态误差，且积分项初值的恰当选取，使控制器具有全局鲁棒性；另外，针对滑模控制方法抖振严重的问题，设计新型平滑饱和函数，利用数学方法定量计算其收敛时间，并定性分析了三种平滑饱和函数的收敛速度。最后进行仿真与实验验证，结果表明，本文采用的控制算法不仅能提高H型平台直驱伺服系统跟踪精度，削弱抖振现象，还具有较好的动态性能和抗扰能力。