寻“ 路”探“ 径”,让思维向深处漫溯

杨鸿

“鸡兔同笼”问题是人教版小学数学四年级下册第九单元“数学广角”中的内容，《孙子算经》中最早记录这个趣题，在我国民间广泛流传。教材的编写意图是通过对该问题的学习既让学生感受我国数学文化的源远流长，又使学生在经历解决问题的过程中学会解决问题的策略。在教学中笔者发现有很多学生难以理解该问题的解决策略：教材中呈现的列表法思路比较简单，但是有局限性;假设法容易运算，但要求学生具有较强的逻辑推理能力。大多数学生只会生搬硬套，于是会出现遇到题目变式便无从下手的困境。因而需要教师帮助学生找到解决问题、突破难点的路径。

一 、以尊重认知为落脚点，降低学习难度

数学活动必须建立在学生的认知水平和已有知识经验的基础上，“数学广角”的学习价值不仅仅是停留于得到一个答案和结果，更多的应体现在教给学生解决新问题的方法和策略，因而教师要找准学生的认知起点展开教学。

此类问题人教版教材中呈现的是运用列表法解决，由此可见列表的价值。列表法虽然费时间、效率低，但却是研究数学常用且本源的方法，是一种重要的数学方法。笔者对本校四年级130个学生展开学前调研，在没有提前预习和提供参考的情况下，发现至少有的学生对该题列式无从入手，因而回归到学习最原始的状态是很有必要的。教师通过让学生用猜一猜、试一试、算一算的方法从未知开始，尝试在解决问题的过程中逐步探索、积累感悟、获得经验，进而对方法进行优化和提升。教学中教师出示教材中的空表格，引入问题，启发学生思考：“你从几只开始猜，猜几次猜到结果？请把几次猜得的数据填在表格中。”学生有逐一列表的、有取中列表的、也有跳跃列表的。教师可以给予每种列表法的学生展示其表格和充分发表想法的机会。列表法直观易懂，降低了学习难度，增强了学生的学习信心，让学生经历数据逐一调整变化，从而得出答案的过程。教师在教学中，瞄准学生的认知起点，在简单易懂的列表法教学中给予学生充足的思考时间和空间，由于有了时间与空间的保障，学生有序思考、比较分析、归纳概括等能力都得到充分发展。

二、以核心问题为落脚点，实现深度学习

有效的数学问题是激发学生学习关注度和积极性的关键要素，是推进学习活动的重要抓手。优质的数学问题能够指引学习方向、激发学生探究欲望，也是促进学生高阶思维发展的重要载体。

为了让学生深刻理解“假设法”的本质，在深度学习中获取知识，更重要的是拉长学生学习假设法的体验过程，因为充分的探究可以为假设法作更深厚的铺垫。教师引入“假设全是鸡”或“假设全是兔”的这种“逼近”和“假设”的数学思想方法在列表法中已有渗透，但如何沟通列表法和假设法的联系，是学生介入假设法并理解假设法的关键。于是笔者瞄准“8只鸡0只兔”的特例来设计问题引出假设法，通过提出核心问题：“如果猜测8只都是鸡，你能根据脚数的变化推算出鸡兔正确的只数吗？”引发学生深度思考。教师可进一步引导学生通过前期猜测调整的经验，在列表法中发现鸡兔只数变化导致脚数变化的规律，即鸡兔的总只数不变，鸡每增加1只，则兔减少1只，脚的总数减少2只;兔每增加1只，则鸡减少1只，脚的总数增加2只。进而学生利用教师提出的假设整合出解决问题能够运用到的条件“如果笼子里8只全是鸡，总脚数是8×2=16只，而题目的条件有总脚数是26只脚，则多出26-16=10只脚”，接着根据脚数差推算出鸡兔正确只数，即兔有10÷2=5（只），鸡有8-5=3（只）。接着教师通过课件播放生动的“鸡兔表演”视频，借助数形结合让学生理解得更加深刻，逐步完善对假设法的深度体验。此环节的教学，有了核心问题的驱动，假设法的体验过程被拉长了，给予没有接触过“鸡兔同笼”问题或理解能力薄弱的学生一个体验感悟的机会，给予似懂非懂的学生一个深刻理解知识点的机会，从而避免了部分学生套用公式，让他们在深度学习中探索知识，从本质上真正理解假设法的内涵。

三、以沟通融合为落脚点，促进联结提升

教师要注重引导学生在感性认知的基础上，及时沟通知识之间的内在联系，厘清知识间的关系，将具有相同属性的知识抽取概括，培养思维的概括性和融通性。

笔者在教学中进行了三次的沟通融合活动，第一次是在列表法的“一一列举”和“取中列举”教学中，教师先引导学生通过比较发现：“一一列举”法有序，“取中列举”法快速，共同点是都先假设一个答案，再进行验证调整，最后总能得到正确的答案，从而学会调整的策略。第二次溝通是当学生学会了两种假设法求解后，教师引导思考：为什么假设全是鸡先求兔，假设全是兔先求鸡？学生在充分的思考、讨论中明确：假设全是鸡，要把部分鸡换成兔，所以先求兔;假设全是兔，要把部分兔换成鸡，所以先求鸡。这样学生在讨论、辨析、反刍过程中，经历了从懵懂到豁然，从模糊到清晰的过程，从而发现知识深层次的原理。第三次是比较“列表法与假设法”之间的相同点，教师组织学生通过思考和交流，在思维碰撞中发现假设法与列表法本质是相同的，假设法只不过是举特殊的例子，而列表法则是从最简单的情况开始列举，其本质是一样的，都是假设、验证、调整的过程，直指“鸡兔同笼”问题本质，让学生顿悟，深刻感受到了知识的来龙去脉，从而提升了思维能力。

四、以精选习题为落脚点，经历建模过程

教师要善于设计能抓住知识本质和难点的习题，实现从一道题走向一类题的建构，经历建模过程，形成问题模型，拓宽学生思维，促使所有的学生都能得到发展。

例如，在模型的应用推广环节，教师故意设问：“笼子里关的一定是鸡和兔吗？一定是四只脚和两只脚的动物吗？在课本第105页的练习题1中是龟、鹤站在一起，你们也会解决吗？”让学生安静思考后尝试运用学到的策略解决生活中的类似问题。教师利用课本中的“龟鹤问题”，让学生在其他情境中识别出“鸡兔”，联结“鸡兔”和“龟鹤”的关系，沟通它们的相同点，为建立“鸡兔同笼”问题模型作铺垫。另外设计“停车问题”：“停车场有自行车和三轮车共10辆，总共26个轮子，自行车和三轮车各多少辆？”由于在“鸡兔”情境中，鸡、兔腿数的相差数“2”与鸡的腿数“2”的数字相同，容易产生混乱，于是通过“停车问题”来突破学习瓶颈。这道题通过相差数“1”，让学生运用相同的方法解决问题。从一道题走向一类题，初步建立这一类问题的模型，从而在应用模型中拓展了“鸡兔同笼”概念的外延，同时也培养了类推迁移能力。既深化了认知，又养成善于思考的良好思维品质，凸显了本节课的学习价值。

（作者单位：福建省平潭麒麟小学）