数学问题解答
2022-07-13
2022年2月号问题解答
(解答由问题提供人给出)
(河南辉县一中 贺基军 453600)
证明如图,直线MN与CB,AB分别交于点D,O,连接AN,BN,CN,CM.依题意,设椭圆E1与E2的长轴长都等于d.
因M为椭圆E1与E2的交点,
故MA+MC=d=MA+MB,
从而得MC=MB,
同理得NC=NB,
因此直线MN为CB的中垂线,
且线段DO为Rt△ABC的中位线,
从而可知AO=BO,
其中点O为椭圆E1的中心.
因椭圆E1的弦MN过点O,故M,N两点关于点O对称,
从而可知MO=NO,
因此四边形AMBN为平行四边形.
综上,在四边形ACMN中,有
AN=BM=CM,AM=BN=CN,
同时有AC∥DO即AC∥MN,
因此,当AC=MN时这个四边形为矩形,
当AC≠MN时这个四边形为等腰梯形.
矩形或等腰梯形,都是圆内接四边形,由托勒密定理得
MA·NC=MC·NA+MN·AC,
即MA2=MC2+MN·AC,
(MA+MC)(MA-MC)=MN·AC,
因此,椭圆E2的离心率
2647设R,r,p分别表示△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长,求证:
(1)
(河南质量工程职业学院 李永利 467001)
(2)
(2)式等价于
由Gerresten不等式p2≥16Rr-5r2可知,欲证上式成立,只需证明
27R2(16Rr-5r2)≥4(16Rr-5r2)2
⟺27R2≥4(16Rr-5r2)
⟺27R2-64Rr+20r2≥0
⟺(R-2r)(27R-10r)≥0.
而由Euler不等式R≥2r可知上式显然成立,故(2)式成立.
(3)
(3)式等价于
16R-5r≥3(5R-r)⟺R≥2r.
而R≥2r显然成立,故(3)式成立.
(4)
(4)式即为
由Gerresten不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知,欲证上式成立,只需证明
3(4R2+4Rr+3r2)≤(5R-r)2
⟺12R2+12Rr+9r2≤25R2-10Rr+r2
⟺13R2-22Rr-8r2≥0
⟺(R-2r)(13R+4r)≥0.
而由Euler不等式R≥2r可知上式显然成立,故(4)式成立.
由(2),(3),(4)式可得(1)式.
2648设△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F.记AB=c,BC=a,CA=b,若BE=CF,求证:b=c.
(湖北省公安县第一中学 杨先义 434300)
证明由内切圆的性质可知,CE=p-c,BF=p-b,其中p为半周长.由余弦定理
BE2=a2+(p-c)2-2a(p-c)cosC,
CF2=a2+(p-b)2-2a(p-b)cosB,
因为BE=CF,所以,
a2+(p-c)2-2a(p-c)cosC
=a2+(p-b)2-2a(p-b)cosB,
(2p-b-c)(b-c)+2a(p-b)cosB-2a(p-c)cosC=0,
整理得
2abc(b-c)+b(a-b+c)(a2-b2+c2)-c(a+b-c)(a2+b2-c2)=0,
(b-c)[2abc-b(a2-b2+c2)-c(a2+b2-c2)]+ab(a2-b2+c2)-ca(a2+b2-c2)=0,
(b-c)[2abc-b(a2-b2+c2)-c(a2+b2-c2)]+(a3b-ca3)-(ab3-c3a)+(abc2-ab2c)=0,
(b-c)[2abc-b(a2-b2+c2)-c(a2+b2-c2)]+a3(b-c)-a(b-c)(b2+bc+c2)-abc(b-c)=0,
(b-c)(a3+b3+c3-b2c-bc2-c2a-ab2-a2b-ca2)=0,
(b-c)[a2(a-b-c)+b2(b-c-a)+c2(c-a-b)]=0,
上式第二个因式显然为负,故只能有b=c.证毕.
故不等式成立,当且仅当x1=x2=…=xn=1时等号成立.
2650已知⊙O1与⊙O2相交的一个交点为A,直线BC与⊙O1、⊙O2相切于B、C,⊙O3为
△ABC的外接圆,O3关于点A的对称点为D,点M为O1O2的中点.求证:∠O1DM=∠O2DA.
(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)
证明联结O1B、BO3、O3C、CO2、O1O3、O3O2、O1A、O2A.
因为O1A=O1B,O3B=O3A,
所以,O1O3是AB的中垂线,
同理可得O3O2是AC的中垂线.
延长BO1交⊙O1于N,联结NA,
因为BC切⊙O1于点B,
所以∠ANB=∠ABC,
所以∠AO1O3=∠ABC.
延长BO3交⊙O3于点P,联结PA,
∠APB=∠ACB,
所以△O3O1A∽△CBA.
同理可证△O3O2A∽△BCA,
因此有△O3O2A∽△O1O3A.
作△O1O2O3的外接圆W,设O3A与⊙W交于另一点E,则有
∠EO1O2=∠AO3O2=∠AO1O3,
∠EO2O1=∠AO3O1=∠AO2O3,
故有△O1EO2∽△O1AO3∽△O3AO2,
因此有
O1O2·O3A=O1E·O3O2,
O1O2·O3A=EO2·O1O3,
①
所以O1E·O3O2=EO2·O1O3.
因此四边形O1O3O2E为调和四边形,
在⊙W的内接四边形O1O3O2E中,由托勒密定理有
O1O3·EO2+O3O2·O1E=O3E·O1O2,
O1O3·EO2+O3O2·O1E
=(O3A+AE)·O1O2,
2O1O3·EO2=O3A·O1O2+AE·O1O2,
2O1O2·O3A=O3A·O1O2+AE·O1O2,
O3A=AE.
因为O3A=AD,所以点E与点D重合.
在⊙W的内接四边形O1O3O2D中,根据托勒密定理,有
O1O3·DO2+O3O2·O1D
=O3D·O1O2.
因为点M为O1O2的中点,
所以O1O2=2MO2.
把此式代入上式,得
2MO2·O3D
=O1O3·DO2+O3O2·O1D,
MO2·O3D
=O1O3·DO2;
因为∠O1O3D=∠MO2D,
所以△O1O3D∽△MO2D,
即有∠O1DO3=∠MDO2,
故∠O1DM=∠O2DA.
2022年3月号问题
(来稿请注明出处——编者)
2651在△ABC中,三内角A、B、C所对的三边长分别为a、b、c,面积为Δ,求证:
(浙江省开化县第二中学 曹嘉兴 324300)
2652如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AC,BC的中点,求证:AF⊥DE,AC⊥DF,AB⊥AD知二推一.
(山西省临县一中 李有贵 033200)
2653设a,b,c,d>0,且a+b+c+d≤4,求证:(abcd)3(a3+b3+c3+d3)≤4.
(浙江省杭州二中未来科技城学校 李盛 311121)
(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)
2655已知m=(sinx,cosx),n=(cosx,-cosx),设f(x)=m·n,若锐角△ABC满足f(C)=0,且不等式tan2A+tan2B+ptanAtanB+1≥0恒成立,求p的取值范围.
(江苏省启东市汇龙中学 倪红林 226200)