动中求定 四招搞定

⦿江苏省淮安市钦工中学 葛美云

1 引言

解析几何中的定值、定点、定圆和定直线“四定”问题，是新课标高考的命题热点，也是考生高考复习的难点.由于这类问题涉及面广、综合性强，方法又灵活多变，令“无数考生竞折腰”.常言道：兵来将挡,水来土掩.那么，破解这类问题有无良策呢？

2 利用定义

二次曲线的定义中就隐藏着“定元素”，如椭圆上的点到两个定点的距离之和是定值，抛物线中动点到定点的距离等于定直线的距离，这些“定元素”，如果能够为我所用，则会大大优化证明过程.

图1

3 设参消参

为了方便解决问题，我们往往采用设而不求的思想方法，先设出含有多个参数的直线方程或点的坐标，然后用这些参数表示目标代数式，再利用参数满足的关系式，即可得到目标代数式为定值.

分析：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，与双曲线方程联立，因为它们相切，所以判别式Δ=0，于是得到k与b之间的关系式；再联立直线AB与渐近线的方程，计算x1x2与y1y2的值.

解：设直线AB的方程为y=kx+b，b>0.

由于直线AB与双曲线相切，所以k2-3≠0，Δ=(2kb)2-4(k2-3)(b2-3)=0，即k2+b2=3.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.

4 特值探路

有了目标，解题才有方向.为了寻找定值，解题时可以采用特值法.通过直线的特殊位置或点的特殊位置，先找出题目中要证明的“定元素”，然后利用题目条件加以证明.

图2

证明：先取点M在y轴上，由角平分线性质得

设M为椭圆上任一点，F1Q交MF2于点Q.

设|MF2|=m，则|MF1|=2a-m.

点评：特值法探路，是这类问题最基本的解题策略.利用特殊点或特殊位置进行计算，从而找到证明目标.而在推证过程中，将特殊化为一般，按照特值法的运算步骤重新加以演算，在演算中或采用设而不求的方法，或采用整体代换的方法，依据有关条件，参数自然消去，从而得到定值.若在计算中无法消去参数，则往往运算有误，可以认真检查，及时纠正错误.

5 方程思想

通过设而不求，将所涉及的方程罗列出来，然后将这些方程左、右两边同时相加减或乘除，有时会收到意想不到的效果，比如与中点弦有关的点差法，整体代换能让复杂的解题过程“峰回路转，柳暗花明”.

图3

(3)设t=9，试证：直线MN一定经过x轴上某个定点.

证明：设MN与x轴的交点为D.

整理得2x2y1-6y1=x1y2+3y2.

①

整理得2x1y2-6y2=x2y1+3y1.

②

由①+②，得x2y1-x1y2=y1-y2.

若x1=x2，则y1≠y2，所以x1=x2=1，直线MN过点D(1，0)；

综上，直线MN过定点D(1，0).

点评：解析几何中两曲线的交点问题，通常采用设而不求的方法处理，从而规避烦琐的解方程组过程.我们往往先将有关点的坐标设出，然后找到这些点与某些方程之间的关系，进而利用韦达定理或点差法整体代换，不但代数运算简便了，还可以减少计算中的失误.

6 结论

从以上解析几何中的“四定”问题来看，要减少计算量，首先必须明确目标，其次要选择恰当的方法，再次就是以顽强的毅力将计算进行到底，而最关键的就是方法的合理选择.