矩阵线性互补问题误差界的新估计式
2022-07-13赵英霞王峰
赵 英 霞 王 峰
(贵州民族大学数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 550025)
1 引言
M-矩阵是应用广泛的一类重要矩阵,与许多学科领域有着密切的关联,经济学、生物学及社会科学中有大量问题和M-矩阵有着必不可少的联系. 且严格对角占优M-矩阵A的逆矩阵的‖A-1‖∞上界估计在数值代数中有着重要的应用,在代数方程组的收敛性条件及条件数需计算‖A-1‖∞,可当M-矩阵的阶较大时,其逆矩阵求解复杂,因此对‖A-1‖∞上界进行估计是十分重要的.近年来,许多学者对M-矩阵的逆矩阵的无穷大范数上界进行了估计,得到了很多好的结果[1-12].另外,特殊结构矩阵线性互补问题是一类在工程学、经济学、控制论等领域具有重要应用价值的优化问题[13-16].对于给定的n阶矩阵A=(aij)∈Rn×n,n维实向量q∈Rn,用LCP(A,q)来表示矩阵A的线性互补问题,寻找x∈Rn,使其满足
2 预备知识
为叙述方便,给出一些记号.设A=(aij)∈Rn×n,aii≠0,m≤i,j,k≤n,ε>0,且
定义1[2]设A=(aij)∈Rn×n,如果对任意的j,i∈N,i≠j,都有aij≤0,则称A为Z-矩阵,记A∈Zn.设A∈Zn,则A可表示为A=sI-B,其中B≥0.当s≥ρ(B)时,称A为M-矩阵;当s>ρ(B)时,称A为非奇异M-矩阵.
定义2[3]设A=(aij)∈Rn×n,如果满足下面条件
(c)对于任意i∈N,i∉J(A),存在i1,i2,…,ik,使得aii1ai1i2,...,aik-1ik≠0,ik∈J(A).则称A为弱链对角占优矩阵.
定义3[3]设A=(aij)∈Rn×n,若J(A)=N,则称A为严格对角占优矩阵.
定义4[25]设A=(aij)∈Rn×n,若
则称A为B-矩阵.
3 主要结果
首先给出一些引理.
故定理4改进了文献[8]中的定理3.4,进而优于文献[2]中的定理3.3和文献[7]的定理3.2.
2009年García-Esnaola等[13]给出如下结果:设A=(aij)∈Rn×n为B-矩阵,将A表示为A=B++C的形式,其中
综合上述知(14)式成立.
下面对估计式(11)式与(14)式进行比较.
定理7 设A=(aij)∈Rn×n是B-矩阵,令A=B++C且B+=(bij)形如式(9),则
综上可得(14)式优于(11)式.
4 数值算例
下面用数值例子说明新估计式比已有的一些结果更加精确.
例1 设
显然A是严格对角占优的M-矩阵.应用文献[2]中的定理3.3,文献[7]中的定理3.4及文献[8]中的定理3.2,分别得
表1 的上界
表1 的上界
n(11)式(12)式(13)式(14)式10 104.9084 90.8111 83.6275 78.5563 20 415.8320 361.6667 332.8539 306.0755 50 2.8859e+3 2.1573e+3 1.9584e+3 1.1876e+3 100 9.5301e+3 7.1042e+3 5.3078e+3 3.2824e+3
5 结语
本文给出了严格对角占优M-矩阵及逆矩阵之间的元素关系式,通过迭代法获得了严格对角占优M-矩阵的逆矩阵的无穷大范数的新上界.同时,利用新上界与两个重要不等式放缩技巧得出B-矩阵线性互补问题误差界的新估计式,理论证明及数值算例表明了新估计式的有效性.