解答排列组合问题的三种方法

钟文剑

排列组合问题是高中数学中的常见问题，此类问题涉及的知识点一般不多，主要是分步计数原理和分类计数原理.虽然这类问题的难度不大，但是题型丰富多样，常见的有特殊元素问题、相邻问题、不相邻问题等，每一种题型都有其对应的解法.本文着重介绍三种解答排列组合问题的方法.

一、优先法

优先法主要适用于某些元素或其位置有特殊要求的问题.在运用优先法解题时，需首先考虑有特殊要求的元素或位置的安排方式，再安排剩下元素的排列方式，最后利用分步计数原理求解即可.

例1.从6名的学生中选出4人参加知识竞赛，该知识竞赛有4个环节，每一环节由1个人完成.刘敏不能参加第1环节和第4环节，则一共有多少种不同的参赛方案？

剖析：刘敏为特殊元素，第1环节和第4环节可视为特殊位置，所以本题需采用优先法求解.可将刘敏视为特殊元素，分为刘敏参赛和不参赛两种情况进行分析;也可将第1环节和第4环节视为特殊位置，按照位置进行排列.

解法1：若刘敏不参加竞赛，则需从其他5人中选出4人参赛，有A种参赛方案;若刘敏参加竞赛，则需先将刘敏安排在第2环节或第3环节，有2种安排方法，再从其他5个学生中选3个人安排到其余3个环节中，有A种安排方法，则共有2A种方法.根据分类计数原理可得，刘敏不参加第1环节和第4环节一共有A+2A=240种参赛方案.

解法2：从特殊位置进行考虑.首先安排第1环节和第4环节，可从除刘敏以外5人中选2人，有A种安排方法，再从剩下的4人中选2人参加第2环节和第3环节，有A种方法.由分步计数原理可得，刘敏不参加第1环节和第4环节一共有AA=240种参赛方案.

二、捆绑法

相邻问题是指要求某两个或两个以上元素相邻的问题，常用捆绑法进行解答.运用捆绑法解题，需将相邻的元素看作一个整体，再与其他元素一起排列.同时还需注意“捆绑”起来元素的内部的排列顺序.

例2.某女生宿舍有7人.现安排每周的值日表，每天1人打扫.若小李和小王要求值日的日期相邻，小宋不想周一值日，小张不想周日值日，则有多少种排法？

剖析：小李和小王要求值日的日期相邻，需将其看作两个相邻元素“捆绑”起来，采用捆绑法解题.然后安排其他5人值日的顺序.而小宋和小张有特殊要求，需作特殊考虑.

解：小李和小王要求值日的日期相邻，可将其捆绑看作一个元素，有A种排法，再将其与其他5人一起排列，有A种排法，由分步计数原理可得共有A·A=1440种排法.

而小宋恰好被安排在周一的排法有AA=240种;小张刚好被安排在周日的排法有：AA=48种，

综上所述，满足题意的排法有1440-240×2-48=1008种.

三、插空法

对于元素不相邻问题，一般用插空法求解.运用插空法解答排列组合问题，需先将没有要求的元素排列好，然后将不相邻的元素插入到其他元素之间的空隙中，这样便能确保部分元素不相邻.在计算其他元素之间的空隙数时，要注意考虑两端的位置.

例3.某晚会计划安排7个节目，分别有1个小品、1个相声、3个舞蹈和2个歌唱节目.现要求小品和相声节目的顺序不相邻，则一共有多少种排法？

剖析：相声和小品节目的顺序不相邻，则需采用插空法求解.首先将其他节目排好，再统计这些元素之间的空隙，包括两端的位置，将相声和小品节目插入这些空隙中.

解：除了相声和小品节目，其他5个节目全排列，有A=120种排法;

这5个节目之间形成4个空隙，加上两端的位置，一共有6个空位，可将相声和小品节目插入这些空位中，有A=30种排法;

由分步計数原理可知，一共有：120×30=3600种排法.

虽然排列组合问题的命题形式很多，但是每种题型的求解方式是不一样的.除了上述三种方法，常见的还有间接法、缩倍法、隔板法等.在解题时，同学们需充分关注“特殊元素”“特殊位置”“相邻元素”“不相邻元素”，然后分别对其进行优先处理、捆绑、插空，再运用优先法、捆绑法、插空法求解.