如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系

李红红

在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到判断直线与抛物线位置关系的问题.此类问题侧重于考查直线的方程、弦长公式、点到直线的距离公式、抛物线的

方程、一元二次方程的根的判别式、韦达定理等.判断直线与抛物线的位置关系，主要有代数法和几何法两种方法.本文主要探讨一下如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系.

一、直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切、相离. 如下图所示.其中相交的有两种情况，即相交于一点（当直线与抛物线的对称轴平行或重合时）、相交于两点.

二、用代数法判断直线与抛物线的位置关系的思路

设抛物线的方程为y=2px（p>0），直线l的方程为：y=kx+b，则直线与抛物线的位置关系有如下几种情况：

1.当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，将此方程代入抛物线的方程y=2px（p>0），得kx+（2kb-2p）x+b=0（1），由于方程（1）的二次项系数中含有字母k，因此方程的最高次数可能是2，也可能是1.

若k≠0，则方程（1）是关于x的一元二次方程.

若△>0，則方程有2个解x，x（x≠x），此时直线与抛物线相交于两点;

若△=0，则方程有1个解x=x，此时直线与抛物线相切于一点;

若△<0，则方程无解，此时直线与抛物线相离.

2.当直线l的斜率不存在时，设l：x=n，将此方程代入到抛物线的方程，得y=2pn（2），这是关于y的一元二次方程.

若△>0，即2pn>0，则方程（2）有2个解y，y（y≠y），此时直线与抛物线相交于两点;

若△=0，即2pn=0，则方程（2）有1个解y=y，此时直线与抛物线相切于一点;

若△<0，即2pn<0，则方程（2）无解，此时直线与抛物线相离.

综上所述，不管直线的斜率是否存在，要判断直线与抛物线的位置关系，只需将直线的方程代入抛物线的方程中，若得到的方程是一元一次方程，则直线与抛物线必相交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合;若得到的方程是一元二次方程，则需分三种情况进行讨论.当△>0时，直线与抛物线相交于两点;当△=0时，直线与抛物线相切于一点;当△<0时，直线与抛物线相离.

例题：已知直线l的方程为y=kx+1和抛物线C的方程为y=4x，请讨论直线l与抛物线C的公共点的个数.

分析：直线与抛物线的公共点个数有三种情况：（1）2个公共点.即直线l与抛物线C相交于两点;（2）1个公共点.即直线l与抛物线C相交或相切于一点;（3）没有公共点.即直线l与抛物线C相离.这些位置关系与所得的一元二次方程的二次项系数及△有关.

综上所述，当k=0，或1时，l与C有1个公共点;当k<1，且k≠0时，l与C有2个公共点;当k>l时，l与C无公共点.

利用代数法判断直线与抛物线的位置关系，关键是要构造出关于x或y的一元二次方程，讨论其二次项的系数和判别式.只要抓住了这个关键点，就能顺利解题.