本原性问题驱动下的数学变式教学初探

◎孙 珊(北京师范大学附属中学，北京 100052)

许多新入学的初中生学习数学没有方法，不求甚解、机械地死记硬背，缺乏对数学知识本质的挖掘.为了改善学生的学习现状，培养学生良好的学习习惯，激发学生对初中数学学习的兴趣，笔者在初一年级的数学教学中尝试了本原性问题驱动下的数学变式教学.数学学科中的“本原性问题”就是反映学科最原始、最本质的问题，“问题驱动”则是强调以问题为学习的媒介，引导学生带着问题学习知识.数学变式教学，是指通过不同角度、不同侧面、不同背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.恰当变式的数学教学，有利于学生对知识的理解及问题解决方法和策略的形成.本原性问题驱动下的数学变式教学是围绕本原性的问题，通过不断地变更问题的情境或改变思维的角度，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.

认知心理学的现代研究结果表明，认知并非人脑对外部世界的简单、被动反映，而是一个以已有的认知结构为基础的主动建构过程或信息加工的过程.特别地，主体已有的知识和经验在新知识的获得过程中发挥了十分重要的作用.知识不是通过教师传授得到的，而是在教师的指导下主动建构获得的，学生以自己原有的知识经验为基础，对外部信息进行主动的选择、加工和处理，建构自己的体系.

维果茨基的“最近发展区理论”，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平.两者之间的差距就是最近发展区.教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区，然后在此基础上进行下一个发展区的培养.本原性问题驱动下的数学变式教学就是在学生的最近发展区内设置问题，通过变式练习让学生主动建构知识，从而达到对知识的深层次理解，进行高水平的思考.下面就以两个案例来说明如何在本原性问题的引领下，进行有效的变式教学.

案例一：绝对值的几何意义

1.课标要求

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》(2011年版))对绝对值的要求如下：借助数轴理解绝对值的意义，掌握绝对值的求法，知道|x|的几何含义.可以看出，《课标》(2011年版)对绝对值的几何意义有较高的要求，而绝对值的几何意义比较抽象，对初一的学生来说是难点，这就要求教师在教学时应设计有利于学生思考、理解、掌握的教学情境.

2.教育价值

《课标》(2011年版)指出，数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等.因此，在数学教学活动中，教师应重视数学思想方法的渗透，注重对学生数学思想方法的培养，为学生的持续学习和发展奠基.绝对值的几何意义比较抽象，要借助数轴来教学，因此在解决问题的过程中自然会用到数形结合的数学思想方法.利用数形结合解决绝对值的相关问题是学生在初中数学学习中第一次遇到，是课堂上除了掌握绝对值的几何意义这个显性知识外的另一个需要领悟的隐性知识.本节课可以让学生体会思想方法在解决问题时的优势.

3.绝对值的几何意义教学分析

本节课是笔者在学生学习完绝对值的概念、意义，整式的加减，一元一次方程的解法后根据教材、学生情况自主开发的一节课.绝对值概念的形成及应用过程中蕴含着分类讨论、数形结合的思想，刚开始教学绝对值知识时，虽然笔者对该方法进行了渗透，但学生因为数学知识积累不够，所以不能充分理解、体会.学生对整式的加减及一元一次方程知识的掌握为绝对值的应用提供了很好的训练素材，能帮助学生进一步体会、理解分类讨论、数形结合的数学思想在解决问题中的作用，而解决问题的过程对发展学生的智力与能力都有积极的影响.

初一学生的认知水平有限，应用数形结合思想解决问题的意识不强，用数轴解决绝对值的问题时不知从何处下手.因此，在本节课的教学过程设计中，笔者以问题驱动引领学生思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的活动，不断变换问题情境，促使学生思考，让学生在先行知识的基础上通过探究发现问题，在教师指导下做到“数”与“形”的结合，从而积累数学思考研究的经验，加深对绝对值几何意义的理解与体会.

4.教学安排

【驱动问题1】绝对值是怎么定义的？数轴上表示2的点到原点的距离是2，所以2的绝对值是2，数轴上表示 -3的点到原点的距离是3，所以-3的绝对值是3，数轴上表示a的点的绝对值等于什么？

设计意图：确认学生的最近发展区，唤醒相关的知识和经验，有利于知识的提取和迁移.

【驱动问题2】已知|x|=3，则x=________.

【变式问题1】已知|x-1|=3，则x=________.

【变式问题2】已知|x+2|-1=0，则x=________.

设计意图：先从最简单的|x|=3入手，让学生用绝对值的概念求解，接着变换问题情境，将单项式x变为x-1和x+2，学生类比|x|=3的解法从代数意义角度应用分类讨论的数学思想方法解决问题，在解决变式问题时将x-1和x+2看成整体，并理解和体会整体及分类讨论的数学思想方法.

【驱动问题3】|x|的几何意义是什么？

【变式问题1】|5|的几何意义是什么？|5-2|的几何意义是什么？|5+3|的几何意义是什么？|-5+2|的几何意义是什么？

【变式问题2】|x-3|的几何意义是什么？|x1-x2|的几何意义是什么？

设计意图：从数轴上两特殊点间的距离到数轴上任意两点间的距离，让学生逐步理解绝对值的几何意义.由特殊到一般的过程符合学生的认知规律，可以让学生逐步体会绝对值的几何意义，发展学生的符号意识，让学生从本质上理解绝对值的几何意义，为后续解决问题做准备.

【驱动问题4】已知|x|=3，则x=________.怎样用数轴来表示？若|x|>3，则x的取值范围是什么？|x|<3呢？

【变式问题1】刚才已用分类讨论的方法解了方程|x-1|=3，借助数轴能解决这个问题吗？

【变式问题2】若将上述方程改为|x-1|>3，则x的取值范围是什么？若|x-1|<3呢？

设计意图：以上述例题|x|=3为例，先讨论除了用分类讨论的方法解决外，还可以用绝对值的几何意义来解决，再由方程问题到不等式问题，变换问题情境，引导学生借助数轴解决问题，并和分类讨论的代数解法做比较，让学生逐步体会借助绝对值的几何意义解决问题的优势.

【驱动问题5】式子|x-1|+2的最小值是________.

【变式问题1】式子|x-1|+|x+2|的最小值是________，此时x的取值范围是________.

【变式问题2】若|x-1|+|x+2|>3，则x的取值范围是________.

【变式问题3】解方程|x-1|+|x+2|=7；若|x-1|+|x+2|>8，则x的取值范围是________.

【变式问题4】解方程|x-1|+|x+2|=a.

【变式问题5】方程|x-1|+|x+2|=a有解的条件是什么？

设计意图：从解决含有一个绝对值的方程和不等式到解决含有两个绝对值的方程和不等式，围绕本原性问题——绝对值的几何意义，以问题为驱动，不断变换问题情境，利用数形结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从形感知，逐步提高学生利用数学图形解决问题的思维能力,开阔学生的思维，让学生在解决问题的过程中，不断地加深理解绝对值的几何意义.

建构主义学习观认为，学生的学习本质上是一种“认知建构”的过程.新知识只有在其成为个体认知结构的一个组成部分时，才算是意义建构的真正完成.在本节课中，教师先以学生当前的认知——绝对值的概念为新的建构起点，围绕绝对值的几何意义(本原性问题)，不断地变换问题情境(问题变式)，引导学生经历一次数学思维活动过程，让学生领略数学思维方式、方法的魅力，从而实现基础知识、基本技能、基本思想、基本经验的获得目标.

案例二：三角形中角平分线专题复习

1.三角形中角平分线专题复习教学内容分析

一般来说，几何知识的复习，很难找到一条思维的主线，将待复习的内容串成一线.因此，对于几何复习课，教师一般会选择几道典型的习题，用解题来代替复习.这种复习方法固然能起到回顾知识、训练思维、发展能力的效果，但是还是有知识结构、学科体系自主构建不到位的问题.如何在学科体系、学科结构下进行几何复习，让学生在学科系统下看清知识的结构，并在此过程中有机地构建思维通道，进而发展学生的能力？基于上述对几何复习课的理解，本节课的教学设计尝试通过围绕本原性问题，进行几何图形的变式处理，达到开阔学生思维、提高学生能力的教学目的.

2.教育价值

在数学教学中，教师不仅要重视对显性数学知识的教学，也要注重对学生进行隐性知识即数学思想方法的渗透、培养和积淀.转化和方程是数学思想的核心，本节课围绕本原性问题——三角形的内角和定理及推论，综合角平分线的知识，设置各种变式问题供学生思考探索，学生在知识解决和认知冲突中不断反复体会转化、方程思想，既很好地解决了三角形的角平分线的综合问题，也进一步培养和提升了学生的学习能力.

3.教学安排

图1

图2

设计意图：三角形的内角和及其推论是三角形一章中的重点内容.学完三角形一章后，学生根据三角形内角和等于180°这一本原性问题，能够通过设未知数列方程较容易地解决三角形内的角平分线的问题，但对于变式问题就显得无从下手了.对此，学生若有了解决驱动问题的方法经验，就能较容易地类比迁移，从而解决变式问题.

图3

图4

设计意图：类比驱动问题1，将三角形的内角平分线变为外角平分线进行考查，进而变式为三等分角及n等分角的问题，变式练习的精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题得解.布卢姆在《教育目标分类学》中指出：数学转化思想具备把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力.在解决问题的过程中，学生能够体会转化和方程的数学思想.

图5

图6

设计意图：围绕三角形的内角和定理及推论(本原性问题)，将三角形的内角平分线和外角平分线综合起来进行多角度的推广变式，力求覆盖这类问题的各种类型，让学生“做一题，会一类”，在有效地提高学生学习效率的同时，提高学生思维的发散性，加深学生对几何知识的整体理解.

本节课围绕本原性问题——三角形的内角和定理及其推论，和角平分线知识进行综合，不断变换问题情境来展示思维的生长过程，内化学生的知识，提高学生的转化能力.

数学问题可分解为表面形式特征和深层结构特征，表面形式特征指问题呈现的表述形式方面的浅层特征；深层结构特征指涉及问题本质的概念、关系、原则等方面的深层特征.驱动问题及变式问题相对于本原性问题来说，不仅表述形式方面的浅层特征发生了变化，而且在涉及问题本质的概念、关系、原则等方面的深层次特征也发生了变化，可使学生在学习的过程中体悟知识的发生、发展过程，训练其思维，发展其能力.