由2022年八省联考第8题引发的研究
2022-07-12李昌成
李昌成
摘要:近年来,模考和高考中需要用构造法解答的题目频繁出现,构造的难度也越来越大,构造的次数也越来越多,以导数为例,要突破这类题目,应该从导数的公式、常见的函数、指数对数运算公式、函数结构等方面综合施策,方可突破难题.
关键词:构造法;导数;策略
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)16-0043-03
1 题目呈现
题目(2022年八省联考第8题)设a,b都是正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b<blnb,则().
A.ab>eB.b>ea+1C.ab<eD.b<ea+1
学生普遍反映本题无从下手,很难建立题设与问题间的关系.根据2021年全国高考乙卷第12题的结构、命题点位、解题方法,考生有大概的思路:构造,再利用单调性作答,但是很难具体实施解题思路.
2 试题解答
解析由aea+1+b<blnb,得
aea+1<blnb-b.①
提取公因式,得aea+1<b(lnb-1).②
对数运算,得aea+1<blnbe.③
指数运算,得aea·e<blnbe.④
不等式两边同除以e,得
aea<belnbe.⑤
将a换成lnea,得
ealnea<belnbe.⑥
构造函数f(x)=xlnx,得
f(ea)<f(be).⑦
因为a,b都是正数,
所以ea>1,且blnbe>aea+1>0.⑧
进而lnbe>0=ln1,于是be>1.⑨
易得f(x)=xlnx在(1e,+
SymboleB@
)单调递增.
所以ea<be,故b>ea+1.故选B.
3 解答说明
考生之所以不能顺利完成解答,是因为对于以上每步解答的理由不清楚,或者是某一步不清楚,导致思路受阻.我们有必要把每一步理清,授之以渔.从参数分类的角度,a,b分别在不等式一端,我们执行了①;根据对数运算的需要,向熟悉的函数f(x)=xlnx靠近,我们提取了公因式,得到②;依托N=logaaN将常数1转化为我们需要的对数lne,以便执行对数运算③;从函数f(x)=xlnx的结构出发,需要将不等式左边的b转化为be,所以进行了④的指数式改装运算;⑤出现了函数f(x)=xlnx的雏形,需要关注不等式的右端的结构;对于第⑥,必须有f(x)=xlnx的结构引领,熟知对数恒等式N=logaaN,否则无法执行此步;有了前六步的铺垫,⑦便应运而生;⑧⑨是为了应用f(x)=xlnx的单调性解题的准备步骤,弄清两个变量ea,be所属范围,缺了此步,也将难以定夺选项.由此看来,命题专家对本题下了一番功夫,设置了多个构造环节,环环相扣.只有思维缜密的考生才能最终突围,具有很好的区分度,是名副其实的把关题.
本题还有其他构造方法,只是构造更加巧妙,对学生要求能力更高,尤其是等价转化的能力,抽象概括的能力!
另解1设φ(x)=xlnx-x,则
φ′(x)=lnx+1-1=lnx.
由前文知b>e,所以φ′(x)>0.
所以φ(x)=xlnx-x在(e,+
SymboleB@
)上单调递增.
又φ(ea+1)=ea+1lnea+1-ea+1=(a+1)ea+1-ea+1=aea+1,
由aea+1+b<blnb,得aea+1<blnb-b.
所以φ(ea+1)<φ(b).
所以b>ea+1.
另解2设λ(x)=lnx+x(x>0),
则λ(x)在(0,+
SymboleB@
)上单调递增.
由aea+1+b<blnb,a>0,得
0<aea+1<blnb-b.
取自然对数,得
lnaea+1<ln[blnb-b].
化简,得lna+a+1<ln(lnb-1)+lnb.
移项,得lna+a<ln(lnb-1)+(lnb-1).
所以λ(a)<λ(lnb-1).
因此a<lnb-1.
解得b>ea+1.
4 追根溯源
关于构造思想,教材在不同章节均有一些思想渗透,我们要深入领悟.对导数而言,在人教A版选修2-2
的第32页安排了以下经典证明习题:
(1)ex>1+x(x≠0).
(2)lnx<x<ex.
这两个习题给我们提供了学习构造法的平台,从代数的角度可以分别构造函数f(x)=ex-x-1(x≠0),h(x)=lnx-x(x>0),g(x)=x-ex(x>0),再利用這些函数的单调性证明不等式.
也可以依托函数y=ex,y=1+x,y=x,y=lnx,在同一直角坐标系中,通过图象直观感知不等式的正确性.事实上,基于这两个不等式结构和条件,我们可以构造大量的不等式,例如:
(3)ex≥1+x((1)式扩大定义域).
(4)ex-1>x(将(1)中x换成x-1).
(5)e-x≤1x+1(x>-1)(对(1)式取倒数).
(6)2lnn<n2(将(2)中x换成n2).
(7)1n+lnn+ln(n+1)<1n+1(将(2)中x换成1n(n+1),再运算).
5 常见构造模式
(1)已知f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,构造函数h(x)=f(x)g(x).
(2)已知f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,构造函数h(x)=f(x)g(x)(g(x)≠0).
(3)已知xf ′(x)-f(x)>0,构造函数h(x)=f(x)x(x≠0).
(4)已知xf ′(x)-2f(x)>0,构造函数h(x)=f(x)x2(x≠0).
(5)已知xf ′(x)-nf(x)>0,构造函数h(x)=f(x)xn(x≠0).
(6)已知f ′(x)-f(x)>0,构造函数h(x)=f(x)ex.
(7)已知f ′(x)+f(x)>0,构造函数h(x)=
exf(x).
(8)已知xf ′(x)+f(x)>0,構造函数h(x)=xf(x).
(9)已知xf ′(x)+nf(x)>0,构造函数h(x)=xnf(x).
显然,以上条件不等式中不等号变为小于号,不影响函数构造.
6 高考链接
例1(2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(乙卷)第12题)已知a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则 ().
A.a<b<cB.b<c<a
C.b<c<aD.c<a<b
解析记f(x)=2ln(1+x),g(x)=ln(1+2x),h(x)=1+4x-1.
于是f(0)=0,g(0)=0,h(0)=0,f(0.01)=a,g(0.01)=b,h(0.01)=c.
分别求导,得
f ′(x)=21+x,g′(x)=21+2x,h′(x)=21+4x.
当0<x<1时,1+2x>1+4x>1+x,
所以g′(x)<h′(x)<f ′(x).
结合导数的几何意义,得b<c<a.
故选B.
例2(2015年全国高考Ⅱ卷理科第12题)设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是().
A.(-
SymboleB@
,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+
SymboleB@
)
C.(-
SymboleB@
,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+
SymboleB@
)
解析记函数g(x)=f(x)x
,则
g′(x)=xf ′(x)-f(x)x2.
因为当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,
故当x>0时,g′(x)<0.
所以g(x)在(0,+∞)单调递减.
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,
故函数g(x)是偶函数.
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.
又g(-1)=g(1)=0,
当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;
当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0.
综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
故选A.
参考文献:
[1]
刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].北京:人民教育出版社,2019.
[2] 任志鸿.十年高考[M].海口:知识出版社,2022.
[3] 任志鸿.十年高考[M].海口:南方出版社,2016.
[责任编辑:李璟]