一道直线过定点问题的探究

摘要：本文对一道直线过定点的质检试题进行推广，并将相关结论引申到椭圆和抛物线中.

关键词：直线;定点;中点;垂直;斜率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0011-03

1 试题呈现

题目（2021年8月广东省新高三阶段性质检）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点

F2，0的距离与它到直线x=32的距离之比为233.记点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程;

（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交曲线C于A，B两点，l2交曲线C于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N.证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标.

答案（1）x23-y2=1;

（2）直线MN过定点3，0.

2 结论推广

试题中点F为双曲线的右焦点，对第（2）问进行一般化推广得到：

命题1设Fc，0为双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2.若l1交双曲线于A，B两点，l2交双曲线于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N，则当a=b时，直线MN的斜率为0，当a≠b时，直线MN过定点a2ca2-b2，0.

将右焦点变为x轴上异于坐标原点的一点，则命题1进一步推广为：

命题2已知点Et，0t≠0与双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0，过点E作两条互相垂直的直线l1，l2.若l1交双曲线于A，B两点，l2交双曲线于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N，则当a=b时，直线MN的斜率为0，当a≠b时，直线MN过定点a2ta2-b2，0.

当直线l1，l2的斜率都存在时，将垂直关系变为斜率之积为定值λ，则命题2再推广为：

命题3已知点Et，0t≠0与双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0，过点E作两条斜率之积为λ的直线l1，l2.若l1交双曲线于A，B两点，l2交双曲线于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N，则当λ=-b2a2时，直线MN的斜率为0，当

λ≠-b2a2时，直线MN过定点a2tλa2λ+b2，0.

当直线l1或l2的斜率不存在时，易知命题2成立，当直线l1，l2的斜率都存在時，命题3更具一般性，故只证命题3.

证明（1）若λ≠0，设直线l1的方程为

y=kx-t，

则直线l2的方程为y=λkx-t.

联立直线l1与双曲线的方程，消去y得

b2-a2k2x2+2a2tk2x-a2b2+t2k2=0.

则b2-a2k2≠0，Δ>0，且

xM=xA+xB2=a2tk2a2k2-b2，

yM=kxM-t=b2tka2k2-b2.

同理可得xN=a2tλ2a2λ2-b2k2，

yN=b2tλka2λ2-b2k2.

易知λ≠k2.

当λ=-b2a2时，xMxN<0，yM=yN，

故直线MN的斜率为0.

当λ≠-b2a2时，

①若λ≠-k2，则

kMN=b2tka2k2-b2-b2tλka2λ2-b2k2a2tk2a2k2-b2-a2tλ2a2λ2-b2k2

=a2b2λkλ-k2+b4kλ-k2a2b2λ2-k4

=ka2λ+b2a2λ+k2，

故直线MN的方程为

y-b2tka2k2-b2=ka2λ+b2a2λ+k2x-a2tk2a2k2-b2.

即y=ka2λ+b2a2λ+k2x-a2tλa2λ+b2.

此时直线MN过定点a2tλa2λ+b2，0.

②若λ=-k2，则

xM=xN=a2tλa2λ+b2，yMyN<0.

故直线MN的方程为

x=a2tλa2λ+b2.

此时直线MN也过点a2tλa2λ+b2，0.

（2）若λ=0，则直线l1，l2中有一条斜率为0，另一条斜率不为0，即M，N两点中其中一个坐标为0，0，此时直线MN过定点0，0，显然命题成立.

综上，命题得证.

3 类比引申

受文＼[1＼]＼[2＼]启发，笔者将命题2和命题3引申到了椭圆和抛物线中.

命题4已知点Et，0t≠0与椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，过点E作两条互相垂直的直线l1，l2.若l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N，则直线MN过定点a2ta2+b2，0.

命题5已知点Et，0t≠0与椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，过点E作两条斜率之积为λ的直线l1，l2.若l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N，则当λ=b2a2时，直线MN的斜率为0，当λ≠b2a2时，直线MN过定点a2tλa2λ-b2，0.

命题4、命题5的证明方法分别同命题2、命题3，略.

命题6已知点Et，0与抛物线y2=2pxp>0，过点E作两条斜率之积为λ的直线l1，l2.若l1交抛物线于A，B两点，l2交抛物线于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N，则直线MN过定点t-pλ，0.

证明显然λ≠0，设直线l1的方程为

y=kx-t，

则直线l2的方程为y=λkx-t.

联立直线l1与抛物线的方程，消去y得

k2x2-2tk2+px+t2k2=0.

则Δ>0，且

xM=xA+xB2=t+pk2，

yM=kxM-t=pk.

同理可得

xN=t+pk2λ2，yN=pkλ.

易知λ≠k2.

若λ≠-k2，则

kMN=pk-pkλt+pk2-t+pk2λ2=λkλ-k2λ2-k4

=λkλ+k2.

故直线MN的方程为

y-pk=λkλ+k2x-t-pk2.

即y=λkλ+k2x-t+pλ.

此时直线MN过定点t-pλ，0.

若λ=-k2，则

xM=xN=t-pλ，yMyN<0.

故直线MN的方程为

x=t-pλ.

此时直线MN也过点t-pλ，0.

综上，命题得证.

参考文献：

[1] 高继浩.一道武汉市质检试题的探究与变式＼[J＼].数学通讯，2021（15）：32-33.

[2] 高继浩.一道双曲线题的探究＼[J＼].中学数学研究，2021（07）：33-34.

[责任编辑：李璟]