关于单棒切割磁感线情境中安培力冲量的探讨

2022-07-11王晓辉

物理教师 2022年6期

王晓辉

（山东省泰安市教育科学研究院，山东泰安 271000）

冲量是力在时间上的积累，高中阶段恒力或随时间线性变化力的冲量均可直接定量求解，而随时间非线性变化力的冲量往往通过动量定理等方法间接求解.有一种特殊力，即单棒切割磁感线问题中的安培力，它随时间按指数函数非线性变化，但它的冲量却随空间位移均匀变化，由此编制的定量求解题目成为考查学生能力的一类好题，在高考试卷中也身影不断.下面就来探讨这个特殊的冲量和因此造就的特殊运动形式.

1 问题提出

如图1所示，水平放置的光滑U形金属导轨间距L，左端接一个阻值为R的电阻.空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感强度大小为B.一质量为m、电阻为r的导体棒，垂直导轨置于导轨平面上，与导轨接触良好，导轨电阻忽略不计，现给导体棒一个水平向右的初速度v0，设t=0时，x=0，v=v0.试讨论：

图1 讨论模型

（1）安培力冲量与滑行位移x的关系；

（2）导体棒滑行的速度和滑行的位移x的关系；

（3）导体棒所受安培力与速度的关系；

（4）导体棒所受安培力与位移的关系；

（5）通过导体棒的电荷量与位移的关系.

讨论：由动量定理有

（1）安培力冲量为

安培力的冲量与滑行位移x呈线性关系.

（2）由（1）、（2）式得

速度与位移呈线性关系，这也是我们常说的“另类匀变速直线运动”关系.

（3）所受的安培力为

棒受安培力与运动速度呈线性关系.

（4）由（3）、（5）式得

棒受安培力与运动位移呈线性关系.

（5）电荷量为

棒中通过的电荷量与棒的运动位移呈线性关系.

我们以安培力冲量与位移成正比以及安培力作用下速度与位移的“另类匀变速直线运动”［2］为核心展开下面题目的探讨.

2 安培力作用下导体棒的运动

2.1 经典模型

例1.如图2所示，已知导体棒的质量为m=5 g，光滑U形导轨水平固定且足够长，其宽为L=0.4 m，左端接有电阻R=1Ω，导轨电阻不计，匀强磁场磁感应强度B=0.5 T.若棒保持与导轨垂直且接触良好，以某一初速度沿平行导轨方向开始运动，经一段时间后停止.测得棒从运动到停止的过程中通过导线的电荷量q=10-2C，棒接入电路部分电阻r=1Ω.试求棒运动的位移x与初速度v0的大小.

图2 安培力阻尼

解析：由（7）式可知

得x=0.1 m.

2.2 分段变式

例2.如图3所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1 T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5 m，现有一边长L=0.2 m、质量为m=0.1 kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7 m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场.求：线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n.

图3

2.3 驱动变式

例3.如图4所示，两条相距L的平行金属导轨位于同一水平面内，其左端接一阻值为R的电阻，质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下.当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v.金属杆ab的电阻为r，导轨的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.求：

图4

（1）若磁场部分区域扫过金属杆经历的时间为t，那么杆加速运动的距离s是多少？

（2）要使杆获得最大速度，磁场宽度PN应满足的条件是什么？

（2）导体棒最大速度为v0，由（8）式得

3 恒力牵引背景下导体棒的运动

3.1 经典模型

例4.如图5所示，水平地面上固定一U形光滑导轨，导轨间距为L，导轨电阻均不计，左端接有一阻值为R的定值电阻，质量为m的导体棒垂直导轨放置，整个装置置于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中.导体棒接入电路部分电阻为r.现给导体棒一水平向右大小为F恒力作用，让其由静止开始运动，已知导体棒运动到稳定速度所用的时间为t，求在此过程中导体棒运动的位移x.