有限群的σ半次正规子群①

2022-07-09郑毅吴珍凤殷霞杨南迎

西南师范大学学报（自然科学版） 2022年7期

关键词：子群素数定理

郑毅，吴珍凤，殷霞，杨南迎

江南大学理学院，江苏无锡 214122

文中所涉及的群均为有限群．G总表示一个有限群， |G|表示G的阶，π(n)表示所有整除n的素因子的集合，且π(G)=π(|G|)． |G|π表示能整除|G|且素因子均在π中的最大整数．

文献[1]首次引入了半正规的概念：假定H≤G，如果G中存在子群K，满足G=HK，且对任一K1

文献[2]利用子群的半正规性，推广了Ito定理．

文献[3]结合次正规和半正规的概念引入了半次正规的概念：假定A≤G，如果A在G中次正规或者半正规，则称A在G中是半次正规的，并得到了有限群超可解的若干判别准则．

近些年，学者们通过利用有限群的σ-理论和半正规子群的性质来研究有限群，得到了有限群结构的许多重要的结果(参见文献[3-12])．通过分析这些已有的结果与方法，本文结合σ-次正规性和半正规性引入了如下概念：

定义1假定A≤G，如果A在G中σ-次正规或者半正规，则称A在G中是σ-半次正规的．

由定义，半次正规子群显然也是σ-半次正规子群，但下面的例子表明反之不成立：

例1设G=PSL2(7)，则|G|=23·3·7，且G中含有一个阶为3·7的极大子群，记为M．令σ={σ1，σ2}，其中σ1={2， 3， 7}，σ2={2， 3， 7}′．则G是σ-幂零的，从而由文献[3]的命题2.3知M在G中是σ-次正规的，则M是σ-半次正规的．若M在G中是半次正规的，那么由于G是单群，故M在G中是半正规的，从而存在B≤G使得G=MB，且对任意B1

通过研究σ-半次正规子群，我们给出有限群的σ-可解性和超可解性的一些新的充分条件．未交代的符号和概念参见文献[13-19]．

1 预备知识

引理1[4，6]设A，K和N是群G的子群．假设A在G中是σ-次正规的，并且N正规于G，则：

(i)A∩K在K中是σ-次正规的；

(ii)AN/N在G/N中是σ-次正规的；

(iii) 若A是G的σ-Hall子群，则A正规于G；

(iv) 若H≠1是G的HallΠ-子群，且A不是Π′-群，则A∩H≠1且是A的HallΠ-子群；

(v) 若G是Π-完全群，且A是Π-群，则A≤OΠ(G)．

引理2[15]设G是群，H≤X≤G且N正规于G，则下列结论成立：

(i) 如果H在G中半正规，则H在X中半正规；

(ii) 如果H在G中半正规，则HN/N在G/N中半正规；

(iii) 如果H在G中半正规，且K是H在G中的S-补，则对∀g∈G和L≤K，H与Lg置换，特别地，对任意g∈G，Kg是H在G中的S-补．

引理3设G是群，H≤X≤G，如果H在G中σ-半次正规，则下列结论成立：

(i)H在X中σ-半次正规；

(ii) 若N正规于G，则HN/N在G/N中σ-半次正规．

证如果H在G中σ-次正规，则由引理1得(i)-(ii)成立；如果H在G中半正规，则由引理2得(i)-(ii)成立．因此(i)-(ii)成立．

引理4[4]σ-可解群在子群、同态像和直积下是封闭的．并且任意两个σ-可解群的扩张还是σ-可解群．

引理5[5]令H是群G的次正规且σ-可解子群，那么H≤Rσ(G)．

引理6[15]令H是群G的半正规Hallπ-子群，那么H在G中的任一S-补都是G的Hallπ′-子群．

引理7[15]令H是群G的半正规子群，且K是H在G中的S-补，那么对K的任一子群L，HL∩LH在G中次正规．

引理8[16]若X是群G的次正规且π-可解子群，则XG是π-可解群．

引理9[17]设G是群，P∈Sylp(G)且P循环．若p是整除|G|的最小素因子，则G有正规p-补，即G为p-幂零群．

引理10[18]有限群G是超可解群当且仅当G的所有极大子群的指数是素数．

2 主要结果

定理1设群G是具有Sylow型的σ-完全群，且有完全Hallσ-集H={H1， …，Ht}．令p是整除|G|的最小素因子，假设对任意的i=1，…，t，Hi是p-幂零群．如果对所有的非循环子群Hi，Hi在G中都是σ-半次正规的，那么G是σ-可解群．

证假设结论不成立，并设群G是一极小阶反例，我们分以下步骤来证明：

步骤1如果R是群G的一个极小正规子群，那么G/R满足定理1的假设，从而G/R是σ-可解的．

步骤2Rσ(G)=1．

假设Rσ(G)≠1，则G存在非平凡的σ-可解正规子群N．那么由步骤1知，G/N是σ-可解的，从而由引理4知G是σ-可解的，矛盾．因此Rσ(G)=1．

步骤3对任意非循环的子群Hi，都有Hi半正规于G．

由假设，对任意非循环的子群Hi，都有Hi在G中σ-次正规或半正规．如果Hi在G中σ-次正规，则由引理1(iii)可知Hi正规于G，与步骤2矛盾．这表明对任意非循环的子群Hi，都有Hi半正规于G．

步骤4令p∈σ1．则H1是非循环的且在G中半正规．

若H1是循环的，则G的Sylowp-子群也是循环的，从而由引理9知G是p-幂零的．又因为p是整除|G|的最小素因子，所以G是可解的，矛盾，故H1是非循环的．因此由步骤3知，H1在G中是半正规的．

步骤5|σ(G)|=2且G=H1H2．

由步骤4知H1半正规于G．根据引理6得，G存在Hallσ′1-子群K，使得K是H1在G中的S-补．令L是K的任一Hallσi-子群(i≠1)，则L也是G的Hallσi-子群．又因G是具有Sylow型的σ-完全群，从而存在x∈G使得Lx=Hi．于是由引理2(iii)可得H1Hi≤G，并且Kx也同样是H1在G中的S-补．因此由引理3(i)得H1Hi满足定理假设．如果|σ(G)|>2，那么H1Hi

我们得到D是σ-可解的．再根据引理5，我们有D≤Rσ(G)．故由步骤2，得到D=1，从而

因此Hi≤CG(H1)．由Hi选取的任意性知H1◁G，但这与步骤2矛盾．因此|σ(G)|=2，即G=H1H2．

步骤6最后矛盾．

下面分两种情况讨论：

情况1H2非循环．由步骤3知H1，H2在G中半正规，再由引理6和引理2(iii)可得，H1是H2在G中的S-补，同时H2也是H1在G中的S-补．现设L1，L2是H1的两个不同的极大子群，且Ai=H2Li，i=1，2，则

A1=H2L1

我们断言A1，A2均是σ-可解的．显然{Li，H2}是Ai的完全Hallσ-集，Li=H1∩Ai是Ai的Hallσ1-子群．因为H2是H1在G中的S-补，所以对任意B

H1B∩Ai=(H1∩Ai)B=LiB

所以Li≤CG(H2)．又因为H1=〈L1，L2〉，从而H1≤CG(H2)，故H2◁G，矛盾．

情况2H2循环．由步骤4知H1在G中半正规，从而由引理6知H2是H1在G中的S-补．我们断言|H2|=q．设Q是H2的一个极大子群，则H1Q是G的真子群．因{H1，Q}是H1Q的完全Hallσ-集，且由引理3得H1Q满足定理假设，所以由G的选取知H1Q是σ-可解的．于是同情况1同样的讨论可得到H1≤CG(Q)，故Q◁G．由步骤2，Q=1，从而|H2|=q，故G是可解群，矛盾．

综上所述，定理1得证．

推论1[15]如果群G的所有非循环Sylow子群在G中半正规，那么G是可解群．

定理2设群G有完全Hallσ-集H={H1， …，Ht}，使得Hi均为超可解子群，对于所有i=1，…，t，如果G的任意极大子群在G中都是σ-半次正规的，那么G是超可解群．

证假设定理2不成立，并设群G是一极小阶反例，我们分以下步骤来证明：

步骤1若R是群G的一个非平凡的极小正规子群，则G/R是超可解群．

步骤2G有唯一极小正规子群，记作R．

设R1和R2是G的两个不同极小正规子群，则由步骤1知，G/R1和G/R2均为超可解的，故G是超可解群，矛盾．

步骤3最后矛盾．

设M是G的任一极大子群．如果R≤M，那么M/R是G/R的极大子群，于是由步骤1知，G/R是超可解群．所以根据引理10，我们有|G∶M|=|G/R∶M/R|为素数．如果R≤/M，那么G=RM，且由假设，M在G中σ-半次正规．若M在G中σ-次正规，则M◁G或者G/MG为σ-准素的．

若M◁G，则由R的唯一性知M=1，从而G是素数阶循环群，矛盾．

若G/MG为σ-准素的，则对某个Hi∈H，G/MG=HiMG/MG，因Hi是超可解的，从而G/MG为超可解群，故MG≠1．又由步骤2知，R≤MG≤M，矛盾．该矛盾表明M在G中半正规．

现设K是M在G中的S-补，则G=MK，且对任意H

MK1∩K=(M∩K)K1=K

从而可得

MK1=M(M∩K)K1=MK=G

矛盾，故M∩K≤Φ(K)．设L是K的任一极大子群，则ML是G的真子群．又因M是G的极大子群，于是ML=M，则L≤M∩K≤K，因此L=M∩K．从而

Φ(K)≤L=M∩K≤Φ(K)

于是L=M∩K=Φ(K)是K的极大子群，这表明K的极大子群唯一，从而K为素数幂阶循环群，故|G∶M|=|K∶M∩K|为素数．因此，对G的任一极大子群M，都有|G∶M|为素数．由引理10可知，G是超可解群，矛盾．定理2得证．

推论2[3]如果群G的所有极大子群在G中半正规，那么G是超可解群．

定理3设群G是具有Sylow型的σ-完全群，且有完全Hallσ-集H={H1， …，Ht}．令p是整除|G|的最小素因子，且当p∈σi时，Hi是超可解群．如果Hi的所有极大子群都在G中σ-半次正规，那么G是σ-可解群．

证假设定理3不成立，并设G是一极小阶反例，则由Feit-Thompson定理可知p=2．不失一般性，可假设p∈σ1．

步骤1如果R是G的非平凡正规子群，那么G/R是σ-可解群．

若2⫮|H1R/R|，则G/R为2′-群，从而G/R是可解群．

M=M∩H1R=(M∩H1)R

因为H1是超可解群，所以由引理10知|H1R/R∶M/R|=|H1R∶M|=|H1∶M∩H1|是素数，从而M∩H1是H1的极大子群．则由引理3知(M∩H1)R/R=M/R在G/R中σ-半次正规，故G/R满足定理假设．因此由G的选取可知，G/R是σ-可解群．

步骤2Oσ1(G)=Oσ′1(G)=1．

若Oσ1(G)≠1，则由步骤1知G/Oσ1(G)为σ-可解群．又因Oσ1(G)是σ-可解的，从而根据引理4得到G是σ-可解的，矛盾，故Oσ1(G)=1．若Oσ′1(G)≠1，则由步骤1知G/Oσ′1(G)为σ-可解群．又因Oσ′1(G)为奇数阶的，故是可解群，从而根据引理4得到G是σ-可解的，矛盾，因此Oσ′1(G)=1．

步骤3最后矛盾．

因此|H1|=2，从而由引理9知G是可解群，矛盾．因此M在G中半正规．

设K是M在G中的S-补，则G=MK．于是对任意q∈σi∩π(G)(i=2，…，t)，有q||K|．设Q∈Sylq(K)，令D=MQ∩QM，则由引理7知D次正规于G．如果D=1，那么

[M，Q]≤[MQ，QM]≤MQ∩QM=1

从而Q≤CG(M)．则由q的任意性知|G∶NG(M)|是σ1-数，又由M◁H1可得M◁G，与步骤2矛盾．因此存在Q∈Sylq(K)，使得D=MQ∩QM≠1．显然D≤MQ，于是由引理3知M在MQ中半正规．又因为M≤H1是超可解的，则M为2-幂零的，从而由文献[15]的定理1知MQ为π(M)-可解的，进而由引理8知DG为π(M)-可解的．令R是G的极小正规子群，且R≤DG，则R亦是π(M)-可解的．再因|H1∶M|=2，那么π(H1)=π(M)或者π(H1)=π(M)∪{2}．

如果π(H1)=π(M)，则R为π(H1)-可解的，从而R是π′(H1)-群或初等交换t-群，其中t∈σ1．若R为π′(H1)-群，则R≤Oσ′1(G)=1，矛盾．若R是初等交换群，则R≤Oσ1(G)=1，矛盾．

如果π(H1)=π(M)∪{2}，那么|H1|2=2，从而由引理9知G是可解群．

综上所述，定理3得证．

定理4设群G是具有Sylow型的σ-完全群，且H={H1， …，Ht}是G的一个完全Hallσ-集，使得对所有的i=1，…，t，Hi是超可解群．令A和B是G的子群，且G=AB．如果A，B的所有Hallσi-子群在G中都是σ-半次正规的，那么G是超可解群．

证不失一般性，可设Hi是G的Hallσi-子群(i=1，…，t)．假设定理4不成立，并设群G是一极小阶反例，我们分以下步骤来证明：

步骤1对G的任一非平凡的正规子群R，G/R是超可解群．

令R是G的任一非平凡的正规子群，则

G/R=AR/R·BR/R

H=(H∩A)R

且

|AR/R∶H/R|=|AR∶H|=|AR∶(H∩A)R|=|A∶H∩A|

是σ′i-数．再令S是H∩A的任一Hallσi-子群，则|A∶S|=|A∶H∩A||H∩A∶S|是σ′i-数．从而S是A的一个Hallσi-子群，则由假设知S在G中是σ-半次正规的．又因为