Frobenius扩张上的投射余可解Gorenstein平坦模①

高娜娜， 杨刚

兰州交通大学 数理学院， 兰州 730070

文献[1]在研究交换Noether环上的有限生成模的概念时， 引入了G-维数为0的模， 并由此给出了Gorenstein局部环的等价刻画． 受文献[1]思想的启发， 文献[2]引入了任意环上的Gorenstein投射模、 Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模的概念． 之后许多学者对这3类模做了深入研究和推广． 文献[3]证明了在任意环R上， Gorenstein投射(Gorenstein内射)模类是投射(内射)可解类， 在凝聚环R上， Gorenstein平坦模类是投射可解类， 并由此进一步研究了Gorenstein投射、 Gorenstein内射和Gorenstein平坦维数． 为了研究所有Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦模， 文献[4]引入了投射余可解Gorenstein平坦模的概念．

环与模的扩张是环与模范畴中的主要研究内容． Frobenius扩张作为一种特殊的环扩张首先由文献[5]引入． 之后， 文献[6-7]对Frobenius扩张进行了进一步的研究． 文献[8]研究了Frobenius扩张上Gorenstein投射模的性质． 受此启发， 本文主要讨论Frobenius扩张上投射余可解Gorenstein平坦模的性质．

本文中R均指有单位元的结合环． 除非特别声明， 本文中的R-模均指左R-模． P (R)表示投射模类．

1 投射余可解Gorenstein平坦模

定义1[4]如果存在投射R-模的正合列

使得

且对任意内射Rop-模I， 有I⊗RP正合， 则称R-模M是投射余可解Gorenstein平坦模．

以下将投射余可解Gorenstein平坦模简记为PGF模， 以PGF(R)表示投射余可解Gorenstein平坦模类．

引理1[3]如果P (R)⊆X， 且对任意短正合列

其中X″∈X， 则X′∈X当且仅当X∈X， 称X是投射可解类．

引理2[1，4]投射余可解Gorenstein平坦模类关于直和、 直和项、 扩张封闭． 投射余可解Gorenstein平坦模类是投射可解类．

命题1若M是投射余可解Gorenstein平坦模， 则存在正合列

其中P是投射R-模，G是投射余可解Gorenstein平坦模．

证由投射余可解Gorenstein平坦模的定义可得．

定义2[9]如果下列等价条件之一成立：

(a) 函子A⊗R-和HomR(A， -)是自然等价的；

(b) 函子- ⊗RA和HomRop(A， -)是自然等价的；

(c)RA是有限生成投射模， 并且AAR≅(RAA)*=HomR(RAA，R)；

(d)AR是有限生成投射模， 并且RAA≅(AAR)*=HomRop(AAR，R)；

则称环扩张R⊂A是Frobenius扩张．

以下关于Frobenius扩张的例子参见文献[9]．

例1(i)对有限群G， Z⊂ZG是Frobenius扩张；

(ii) 设H是群G的子群， 并且H在G中具有有限的指标n， 其左陪集代表系为g1=e，g2，…，gn，Z是整数环，A=Z[G]是整群代数，R=Z[H]是A=Z[G]的子代数， 则R⊂A是Frobenius扩张．

引理3[10]设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是A-模． 则：

(i) 若M是投射A-模， 则M是投射R-模；

(ii) 若M是内射A-模， 则M是内射R-模；

(iii) 若M是投射R-模， 则A⊗RM是投射A-模．

对于投射余可解Gorenstein平坦模， 我们有如下结论：

命题2设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是A-模． 若M是PGFA-模， 则M是PGFR-模．

证设M是PGFA-模． 则存在投射A-模的正合列

使得

且对任意内射Rop-模I， 有I⊗RP正合． 注意到Pi是投射A-模， 则Pi是投射R-模， 故P也是投射R-模的正合列．

令I是内射Rop-模． 则I⊗RA≅HomRop(A，I)是内射右A-模， 故有HomRop(A，I) ⊗AP正合． 由

I⊗RP≅(I⊗RA)⊗AP≅HomRop(A，I)⊗AP

有I⊗RP正合． 因此，M是PGFR-模．

命题3设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是R-模． 则M是PGFR-模当且仅当A⊗RM(HomR(A，M))是PGFA-模．

证充分性 设A⊗RM是PGFA-模． 由命题2知A⊗RM是PGFR-模． 注意到RM是A⊗RM的直和项， 因此M是PGFR-模．

必要性 若M是PGFR-模， 则存在投射R-模的正合列

使得

且对任意内射Rop-模I， 有I⊗RP正合． 因为Pi是投射R-模， 所以A⊗RPi是投射A-模． 因此，A⊗RP是投射A-模的正合列， 且

设I是内射右A-模． 则由引理3知，I是内射Rop-模． 又由

I⊗RP≅(I⊗AA) ⊗RP≅I⊗A(A⊗RP)

易得I⊗A(A⊗RP)正合． 故A⊗RM是PGFA-模．

2 投射余可解Gorenstein平坦维数

定义3定义R-模M的投射余可解Gorenstein平坦维数记为PGfdRM，

其中Pi∈PGF(R)}

若不存在正合序列

其中Pi∈PGF(R)， 则记PGfdRM=∞．

引理4令M是R-模， 则以下结论等价：

(i)PGfdRM≤n；

证注意到投射余可解Gorenstein平坦模类是投射可解类， 类似于文献[3]的命题2.7， 引理4可证．

以下结论类似于文献[3]的命题2.19：

引理5设R是环， {Mi}i∈I是一簇R-模． 则PGfdR(⨁i∈IMi)=sup{PGfdRMi：i∈I}．

证由投射余可解Gorenstein平坦模类关于直和封闭， 显然

PGfdR(⨁i∈IMi)≤sup{PGfdRMi：i∈I}

要证

PGfdR(⨁i∈IMi)≥sup{PGfdRMi：i∈I}

只要证： 若Mi是M的直和项， 则

PGfdRMi≤PGfdRM

当PGfdRM=∞时， 结论显然成立． 设

PGfdRM=n<∞

由归纳假设， 当n=0时， 由PGF(R)关于直和项封闭， 若M是PGFR-模， 则Mi是PGFR-模， 故PGfdRMi= 0． 假设当PGfdRM=n-1时成立， 即

PGfdRMi≤n-1=PGfdRM

下证结论对n成立． 设M=M1⨁M2， 并且PGfdRM=n， 取M1，M2的投射分解， 有正合列

其中P1，P2是投射模， 做直和

其中P1⨁P2是投射R-模， 故

PGfdR(K1⨁K2)=PGfdRM-1=n-1

由假设知

PGfdRKi≤n-1

则

PGfdRMi≤n=PGfdRM

结论得证．

证设

分别是M′和M″的投射分解． 由马掌引理有以下行和列正合的交换图：

如果记

那么由以上交换图可得序列

正合， 其中

若PGfdRM″<∞，PGfdRM<∞． 不妨设PGfdRM″≤m， 且PGfdRM≤m． 则由引理4知，Km和K″m均是投射余可解Gorenstein平坦模． 从而由正合序列

可得K′m是投射余可解Gorenstein平坦模． 由引理4知，PGfdRM′≤m．

若PGfdRM′<∞，PGfdRM″<∞． 不妨设PGfdRM′≤m， 且PGfdRM″≤m． 则由引理4知，K′m和K″m均是投射余可解Gorenstein平坦模． 从而由正合序列

可得Km是投射余可解Gorenstein平坦模． 由引理4知，PGfdRM≤m．

若PGfdRM′<∞，PGfdRM<∞． 不妨设PGfdRM′≤m， 且PGfdRM≤m． 则由引理4知，K′m和Km均是投射余可解Gorenstein平坦模． 从而由正合序列

可得PGfdRKm≤1． 由引理4知，PGfdRM≤m+1．

综上所述， 命题4得证．

命题5设环扩张R⊂A是Frobenius扩张，M是R-模． 则PGfdR(A⊗RM)=PGfdA(A⊗RM)=PGfdRM．

证由命题2， 有

PGfdR(A⊗RM)≤PGfdA(A⊗RM)

由命题3， 有

PGfdA(A⊗RM)≤PGfdRM

故

PGfdR(A⊗RM)≤PGfdA(A⊗RM)≤PGfdRM

因为RM是A⊗RM的直和项， 故由引理5得

PGfdRM≤PGfdR(A⊗RM)

即PGfdRM=PGfdR(A⊗RM)， 从而有

PGfdR(A⊗RM)=PGfdA(A⊗RM)=PGfdRM

定义4[8]如果满足：

(a) 环扩张R⊂A是Frobenius扩张；

则称环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张．

以下关于可分Frobenius扩张的例子参见文献[8-9]：

例2(i) 令F是域，A=M4(F)． 设R是A的子代数， 其F-基由下列幂等元和矩阵的单位元构成：e1=e11+e44，e2=e22+e33，e21，e31，e41，e42，e43， 则R⊂A是可分Frobenius扩张；

(ii) 对有限群G， Z⊂ZG是可分Frobenius扩张．

定理1设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张，M是A-模． 则M是PGFA-模当且仅当M是PGFR-模．

证必要性 由命题2可得．

充分性M是PGFR-模， 则存在R-模正合列

对任意I是A-模，I也是R-模， 有I⊗A(A⊗RP)≅I⊗RP， 故I⊗A(A⊗RP)正合， 即A⊗RM是PGFA-模． 由环扩张R⊂A是可分扩张， 有AM是A⊗RM的直和项， 因此M是PGFA-模．

命题6令环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张，M是A-模， 则PGfdAM=PGfdRM．

证由命题2， 若M是PGFA-模， 则M是PGFR-模， 故PGfdRM≤PGfdAM． 设

PGfdRM=m<∞

则存在R-模正合列

其中Gi是PGFR-模． 由命题3知，A⊗RGi是PGFA-模(i=1，2，…，m)， 则存在正合列

那么PGfdA(A⊗RM)≤m． 由环扩张R⊂A是可分扩张知AM是A⊗RM的直和项， 故由引理5知

PGfdAM≤PGfdA(A⊗RM)≤PGfdRM

结论得证．

推论1设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张，M是A-模， 那么M是PGFA-模当且仅当A⊗RM(HomR(A，M))是PGFA-模．

证由命题3和定理1可得．

定义5定义R的左整体PGF维数记为lPGFD(R)，

lPGFD(R)=sup{PGfdRX：X是任意左R-模}

命题7设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张． 则lPGFD(R)=lPGFD(A)．

证对于任意左R-模M， 由命题5知

PGfdA(A⊗RM)=PGfdRM

因此有

lPGFD(R)≤lPGFD(A)

下证lPGFD(R)≥lPGFD(A)． 任意A-模N， 由命题6知PGfdAN=PGfdRN． 故有

lPGFD(R)≥lPGFD(A)

综合可得

lPGFD(R)=lPGFD(A)