立足两类垂直证明 提升学生逻辑推理核心素养

雷雄军

数学证明教学是提升学生逻辑推理核心素养的重要途径，在中学阶段，几何证明占据了数学证明的绝大部分.本文立足高一立体几何教学中的直线与直线垂直，平面与平面垂直等两类垂直证明，浅述在平时教学过程中如何以教材及习题为依托，以课堂为主阵地，提升学生的逻辑推理核心素养.

1 逻辑推理核心素养

逻辑推理素养是高中数学课程标准提出的六大核心素养之一.《普通高中数学课程标准（2017版）》指出：逻辑推理是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养;是得到数学结论，构建数学体系的重要方式;是数学严谨性的基本保证.高中数学课程标准指出，通过高中数学课程的学习，学生能够掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑的思考问题，能够在比较复杂的情境中，把握事物之间的关联，把握事物发展脉络，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质和理性精神.在具体教学过程中，我们该如何立足教材及其相应的习题提升学生逻辑核心素养呢？本文将结合立体几何教学中的两类垂直证明思维过程展现论述如何将逻辑推理核心素养融入具体的课堂教学内容中，提升学生逻辑推理能力.

2 直线与直线垂直证明的逻辑分析

直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系是高中立体几何的教学重点，也是教学难点.必修2的教材中，虽然并没有专门的章节直接讲述直线与直线的证明，也没有像直线与平面垂直那样给出了直接的判定定理，但是线线垂直的证明是依托线面垂直证明，却又高于线面垂直的证明.因此也很受命题者的青睐.在高中立体几何中设置的线线垂直证明，都是要通过证明线面垂直，在线面垂直的基础上，再说明另一条线在面内即可得出结论.那么如何通过条件和己学的知识，找到我们所需的线面垂直呢？课本和习题中的答案中只是呈现了要找的线面垂直及其如何证的.但是没能告诉我为什么要找那样的线面垂直，是如何切入的.如何由所给的条件及所证的结论找到精准的线面垂直才是解决问题的关键，只有完成这个过程，学生的逻辑推理能力才能得以提升.

在上面例题的逻辑探析过程中，我们在与PC上BD关联的情境中，通过对条件与结论的分析，探索了论证的思路，发现并提出数学问题BD上面COP，最终选择了合适的论证方法予以证明并能用准确的数学语言表述论证过程，依据水平划分标准，达到了情境与问题、思维与表达的水平二标准.探析过程中始终围绕主题，观点明确，加深理解了线线垂直与线面垂直定理、命题之间的逻辑关系，初步建立起网状的知识结构，提炼出解决此类问题的通性通法.

3 平面与平面垂直的逻辑探析

由平面与平面垂直的判定定理可以得出，要证面面垂直仍然必须要证线面垂直，即要在一个平面内找一条线与另外一个平面垂直，我们知道，每个平面至少有3条线，两个平面至少6条线，如果每条线都去尝试，至少要尝试6种情况，大大降低了做题的效率.同样教材和习题答案也是只给了我们找怎么样的线面垂直及如何证明，没能告诉我们为什么要找这样的线面的垂直，是怎样推理出来的？这就是教师讲题要重点发挥的地方，要让学生能够在较复杂的情境中，清晰有逻辑地思考问题，进而准确把握解决问题的脉络.

逻辑探析 要证明面面垂直，就必须要证线面垂直，要证线面垂直就必须有线线垂直，因此先在复杂的情景中寻找线线垂直.即要在两个平面内分别找出一条线且要互相垂直（一般情况下这组互相垂直的线比较容易找到）.在此题中，利用面面垂直的性质，可以找到PO上AC，接下来我们的思路就可以锁定在证PO⊥面PAC或AC⊥面POB.比之前的至少6种情形清晰简单了很多.这里通过挖掘题目中的平面PAD⊥平面ABCD，合理构建了过渡性命题PO上面PAC或AC⊥面POB，接下来再结合题目中的其它条件、图形去寻找两种线面垂直情形的论证路徑（至少有一种情形可以论证）.

在以上问题的解答过程中，面对要证的结论平面POB⊥平面PAC，通过对条件的合理分析，构建两种不同的过渡性命题PO⊥面PAC或AC⊥面POB，再利用题目中图形与图形，图形与数量关系探索出论证AC⊥面BOP途径，并用严谨的数学语言表达.这个过程使学生深入理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相关定理及其定理之间的逻辑关系，构建空间垂直证明体系的网络结构.

4 结语

在数学教学过程中培养学生的逻辑推理能力，不仅可以让学生更顺利的构建数学知识体系，发现和提出有意义的数学命题，而且还可以培养学生的思维品质，这种思维品质可以迁移到其他学科及其生活中去.本文仅从立体几何中的两类垂直证明思维过程的展现论述如何将逻辑推理素养的内涵、要求融入具体的课堂教学内容中，进而提升学生逻辑推理能力.其实，逻辑推理普遍存在于几何与代数、函数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等高中数学的几大教学模块中.教师在教学过程中，要精准提炼逻辑推理的培养策略，依托教材，深入钻研教材内容背后所蕴含的逻辑推理素养;要立足课堂，不断改变课堂教学方式，让学生经历知识发生发展及探索过程，发散学生的思维，使学生有逻辑地思考问题，发展学生逻辑思维素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定，普通数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018