ρ-混合序列移动平均过程的完全矩收敛

费丹丹, 付宗魁, 黄琼敖

(1.信阳学院数学与统计学院, 河南信阳 464000;2.华南师范大学华南数学应用与交叉研究中心, 广东广州 510631)

1.引言及主要结果

双侧无穷混合序列的概念首先由Kolmogorov和Rozanov[1]提出, 即：

定义1.1[1]设{Yi,−∞

如果ρ(n)→0,n →∞.则称序列{Yi,−∞

由于ρ-混合序列是比独立序列和φ-混合序列适用范围更广泛的随机变量序列, 因此对ρ-混合序列的概率极限理论的研究是非常必要的.目前已得到许多关于ρ-混合序列的研究成果.[2−5]完全收敛性的概念由Hsu和Robbins[6]首先提出, Chow[7]对其深入研究得到了完全矩收敛, 这些已引起许多学者的关注, 得到了一系列独立和混合相依序列的结果, 见文[8-12].最近,FU等[8]得到了NA(negatively associated)序列对数律的完全矩收敛, 即：

其中N为标准正态随机变量.

随后, XIAO等[9]将定理1.1的结果改进, 得到了独立序列重对数律的一阶矩收敛的精确渐近性.即：

其中N为标准正态随机变量.

设{ξi,−∞<ξi<∞}为双侧无穷随机变量序列, {ai,−∞

是基于{ξi,−∞<ξi<∞}的移动平均过程, 记为式(1.1)的部分和.

对随机变量序列移动平均过程的极限理论已获得了一系列重要结果, 尤其是完全收敛性的研究.若{ξi,−∞<ξi<∞}为独立同分布序列时, 见文[13-15].若{ξi,−∞<ξi<∞}为混合序列时, 见文[16-18].但关于混合序列移动平均过程的完全矩收敛的研究成果很少, 本文是将定理1.1和定理1.2的结果推广到ρ-混合序列移动平均过程.

在整篇文章中, C在不同的位置表示不同的常数, I(A)表示集合A的示性函数, log x =ln max(x,e), x+=max(x,0), [x]表示不大于x的最大整数, −→表示依分布收敛.本文的主要结果如下：

2.引理

3.定理1.3的证明

不失一般性, 设τ = 1.令a(ε)=exp(Mε−1/q), M >4, 0<ε <1/4.定理1.3可由以下四个命题得证.

命题3.1对q ≥1/2及b>q −1, 则

证容易得到

故命题3.1成立.

命题3.2对q ≥1/2及b>q −1, 则

证取λ>由Markov不等式得

于是, 由(3.7)和(3.9)知(3.3)成立, 命题3.3得证.

命题3.4在定理1.3的条件下, 则

首先, 估计H1, 由Toeplitz引理知

其次, 估计H2, 由Markov不等式和Toeplitz引理知

最后, 估计H3, 对充分大的n, 由x>和(3.4)知

于是, 由(3.14)知

对H32, 由Markov不等式, (3.8)和E|ξ1|t<∞, t ≥2, 知

因此, 由(3.16)和(3.17)知(3.10)成立, 命题3.4成立.

4.定理1.4的证明

不失一般性, 设τ = 1.令b(ε) = exp(exp(Mε−2/d)), M > 1, 0 < ε < 1.定理1.4可由以下三个命题得证.

命题4.1[9]对d>0和β >0,则

命题4.2在定理1.4的条件下, 则

证与命题3.3中的记号∆n一样, 则

类似命题4.3中H31的证明知

下面估计L32由Markov不等式, t ≥2, (3.8)和E|ξ1|2<∞知

类似命题3.3中I1和I2的证明知K1→0, K2→0, M →∞.因此, 命题4.3成立.