预李代数的交叉模

孙聚波, 张庆成

(1. 吉林工程技术师范学院 应用理学院, 长春 130052; 2. 东北师范大学 数学与统计学院, 长春 130024)

预李代数(也称为左对称代数)是一类非结合代数, 它对研究李群上的凸齐次锥、 仿射流形、 结合代数的形变以及李代数具有重要作用[1-3]. 近年来, 关于预李代数的研究已取得了丰富的成果： 文献[4]给出了预李代数与经典Yang-Baxter方程之间的关系； 文献[5]研究了预李代数的表示及上同调； 文献[6]利用线性函子构造了预李代数； 文献[7]利用Witt代数上的相容分次左对称代数结构诱导出Witt代数的不可分解模； 文献[8]利用预李代数的积分研究了由预李代数控制的形变理论; 文献[9]研究了预李代数的Nijenhuis算子以及相关问题; 文献[10]考虑预李2-代数的表示理论, 证明了由预李2-代数的表示可给出对应的李2-代数表示. 本文所有的向量空间和代数均为复数域上的.

1 预备知识

定义1[1]设L是向量空间, 对任意的x,y,z∈L, 若双线性映射·：L×L→L满足

(x·y)·z-x·(y·z)=(y·x)·z-y·(x·z),

(1)

则称(L,·)是预李代数.

若预李代数L的子空间I满足I·L⊆I,L·I⊆I, 则称I为L的双边理想.称Z(L)={l∈L|l·l′=l′·l=0, ∀l′∈L}为预李代数L的中心.

定义2设(L,·)和(M,∘)是两个预李代数, 任取l,l1,l2∈L,m,n∈M, 若双线性映射对

满足下列条件:

则称该双线性映射对为L在M上的作用.

例1设I是预李代数L的双边理想, 任取l∈L,m∈I, 定义双线性映射对为

则该双线性映射对是L在I上的作用.

命题1设(L,·)和(M,∘)是两个预李代数,L作用在M上.在向量空间L⊕M上定义线性运算:

证明: 由定义1直接计算可得.

定义3设(L,·)和(M,∘)是两个预李代数.若线性映射φ：L→M满足φ(x·y)=φ(x)∘φ(y)(∀x,y∈L), 则称φ为预李代数的同态.

定义4设(L,·)和(M,∘)是两个预李代数,L作用在M上, 线性映射φ：M→L是预李代数的同态.若对任意l∈L,m,n∈M, 下列等式成立:

1)φ(lm)=l·φ(m); 2)φ(ml)=φ(m)·l; 3)φ(m)n=mφ(n)=m∘n.

则称(M,L,φ)为预李代数L的交叉模.

例2设I是预李代数的双边理想,i:I→L是嵌入映射, 则(I,L,i)是预李代数L的交叉模.

例3设(L,·)和(M,∘)是两个预李代数, 若满同态φ：M→L满足Kerφ⊆Z(M), 定义线性运算:lm=φ-1(l)∘m,ml=m∘φ-1(l), 其中φ-1(l)为l在M中的原像, 则(M,L,φ)是预李代数L的交叉模.

命题2若(M,L,φ)是预李代数L的交叉模, 则: 1) Imφ是L的双边理想; 2) Kerφ是M的双边理想; 3) Kerφ⊆Z(M).

定义5设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模, 任取l∈L,m∈M, 若线性映射对(f,g)满足

f(lm)=g(l)f(m),f(ml)=f(m)g(l),φf=gφ,

其中f:M→N,g:L→P是预李代数同态, 则称(f,g)为交叉模同态.

命题3设(L,·),(M,∘),(N,*)是3个预李代数, (M,L,φ)和(N,L,φ)是预李代数L的两个交叉模.若f:M→N是预李代数同态, 定义线性运算:

则(M,N,f)是预李代数N的交叉模.

证明: 任取n1,n2∈N,m∈M, 则有

n1(mn2)-(n1m)n2-m(n1*n2)+(mn1)n2=φ(n1)(mφ(n2))-(φ(n1)m)φ(n2)-mφ(n1*n2)+(mφ(n1))φ(n2)=0.

类似可得式(3)～(5), 因此线性运算是N在M上的作用.

任取m,n∈M, 因为(f,idL)是交叉模同态, 故有

f(nm)=f(φ(n)m)=φ(n)f(m)=n*f(m),f(m)n=φ(f(m))n=φ(m)n=m∘n.

类似可得定义4中的其他等式.故(M,N,f)是预李代数N的交叉模.

2 主要结果

2.1 交叉模与cat1-预李代数

定义6设(L,·)是pre-李代数, 若pre-李代数L的自同态f,g:L→L满足

fg=g,gf=f, Kerf·Kerg=Kerg·Kerf=0,

则称(L,f,g)为cat1-预李代数.

定义7设(L,f,g)和(L1,f1,g1)是两个cat1-预李代数, 若预李代数的同态φ：L→L1满足φf=f1φ,φg=g1φ, 则称φ为cat1-预李代数的同态.

定理1预李代数交叉模的同构类与cat1-预李代数的同构类等价.

证明: 下面分5步证明.

1) 由预李代数的交叉模构造cat1-预李代数.

2) 由cat1-预李代数构造预李代数的交叉模.

设(L,f,g)为cat1-预李代数.令N=Kerf,P=Imf,φ=g|Ker f:N→P.任取n∈N,p∈P, 定义线性映射对:

因为f(pn)=f(p·n)=f(p)·0=0, 所以pn∈N, 同理可得np∈N, 因此上述线性映射对定义合理.由定义1可知, 上述线性映射对是P在N上的作用.因为p∈Imf, 存在l∈L, 使得p=f(l), 故有

φ(pn)=g(p·n)=g(f(l))·g(n)=f(l)·g(n)=p·φ(n).

同理可得φ(np)=φ(n)·p.任取n,n′∈N, 则有φ(n)n′=g(n)·n′=(g(n)-n)·n′+n·n′, 因为

g(g(n)-n)=g(f(g(n)))-g(n)=f(g(n))-g(n)=0,

所以g(n)-n∈Kerg, 因此φ(n)n′=n·n′, 同理可得n′φ(n)=n′·n, 故(N,P,φ)是预李代数P的交叉模.

3) 用[(M,L,φ)]表示预李代数交叉模的同构类, [(N,f,g)]表示cat1-预李代数的同构类.下面证明η: [(M,L,φ)]→[(N,f,g)]和θ: [(N,f,g)]→[(M,L,φ)]是线性映射.

设(M,L,φ)≅(M1,L1,φ1), 则存在预李代数同构F:M→M1和G:L→L1, 使得

Gφ=φ1F,F(lm)=G(l)F(m),F(ml)=F(M)G(l).

则Φ是预李代数的同态.显然Φf=f1Φ, 因此(N,f,g)≅(N1,f1,g1), 故η: [(M,L,φ)]→[(N,f,g)]是线性映射.

设(N,f,g)≅(N1,f1,g1), 则存在预李代数同构φ:N→N1, 使得φf=f1φ,φg=g1φ.设(M,L,φ)和(M1,L1,φ1)是按2)中分别由(N,f,g)和(N1,f1,g1)构造的交叉模.令M=Kerf,L=Imf,M1=Kerf1,L1=Imf1,φ=g|Ker f,φ1=g1|Ker f1, 定义线性映射F=φ|Ker f:M→M1,G=φ|Im f:L→L1, 显然(M,L,φ)≅(M1,L1,φ1).

4)ηθ=id.

f(n-f(n))=f(n)-f(g(f(n)))=f(n)-f(n)=0,

因此n-f(n)∈M, 从而存在(f(n),n-f(n))∈N1, 使得φ(f(n),n-f(n))=n, 故φ是满射.易证φ是预李代数同态.任取m∈M,l∈L, 则存在n∈N, 使得f(n)=l.因为

同理可得φg1=gφ, 所以(N,f,g)≅(N1,f1,g1), 即[(N,f,g)]=[(N1,f1,g1)], 故ηθ=id.

5)θη=id.

2.2 交叉模同态的同伦

定义8设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2)和g=(g1,g2)是两个交叉模同态, 其中f1,g1:M→N,f2,g2:L→P是预李代数的同态.任取l∈L,m∈M, 若存在线性映射F:L→N, 使得g1(m)=f1(m)+F(φ(m)),g2(l)=f2(l)+φ(F(l)), 则称F为连接f到g的同伦, 记为F:f≃g.

定义9设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2)是交叉模同态, 其中f1:M→N,f2:L→P是预李代数的同态.任取l,l′∈L, 若线性映射F:L→N满足

F(l·l′)=f2(l)F(l′)+F(l)f2(l′)+F(l)*F(l′),

则称F为f2-导子.

定理2设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2)是交叉模同态, 其中f1:M→N,f2:L→P是预李代数的同态.若线性映射F:L→N是f2-导子, 则线性映射对g=(g1,g2)是交叉模同态, 其中g1:M→N定义为g1(m)=f1(m)+F(φ(m)),g2:L→P定义为g2(l)=f2(l)+φ(F(l)).

证明: 任取m,m1,m2∈M, 则有

因此g1是预李代数同态.同理g2也是预李代数同态.

任取l∈L,m∈M, 则有

同理可证g1(ml)=g1(m)g2(l).易证φg1=g2φ.故g=(g1,g2)是交叉模同态.

推论1设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2)和g=(g1,g2)是两个交叉模同态, 则f2-导子F:L→N是连接f到g的同伦.

由定义9可得：

引理1设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是pre-李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2)是交叉模同态, 则零线性映射0:L→N是连接f到f的f2-导子, 其中0(l)=0.

引理2设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2)和g=(g1,g2)是两个交叉模同态, 线性映射F:L→N是连接f到g的f2-导子, 则线性映射F′=-F:L→N是连接g到f的g2-导子, 其中F′(l)=-F(l).

证明: 任取l,l′∈L, 则有

引理3设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模,f=(f1,f2),g=(g1,g2),h=(h1,h2)是交叉模同态.若线性映射F:L→N是连接f到g的f2-导子,F′:L→N是连接g到f的g2-导子, 则线性映射F+F′:L→N是连接f到h的f2-导子, 其中(F+F′)(l)=F(l)+F′(l).

证明: 任取l∈L,m∈M, 由定义8知,h1(m)=f1(m)+(F+F′)(φ(m)),h2(l)=f2(l)+φ((F+F′)(l)).任取l,l′∈L, 则有

因此F+F′是连接f到h的f2-导子.

由上述引理可得下列定理:

定理3设(M,L,φ)和(N,P,φ)分别是预李代数L和P的交叉模, 则存在一个群胚结构, 其对象是交叉模同态, 态射是交叉模同态的同伦.特别地, 下列等价关系成立：

f≃g⟺存在一个连接f到g的f2-导子F.