有理数运算： 从“程序算法”到“相机简化”

刘东升

有理数运算是初中数学的重点内容，我们学习这一章时，首先要理解并掌握运算规则，然后再学习如何简化运算。严守法则能确保运算不出错，但往往比较机械和程序化，对于有些算式来说，我们还需要相机运用一些运算律以达到简化运算的目的。

一、严守规则，按程序运算

有理数加法、乘法、除法的运算法则可归纳为下表：

下面我们看一看，如何运用这些运算法则来解决问题。

例如，计算：（-81）÷[214]×[49]÷（-16）。

对于连除或乘除混合运算问题，我们可以先确定符号，然后将除法转化为乘法，再按从左到右的顺序依次计算。

原式=81×[49]×[49]×[116]=1。

值得说明的是，遇到带分数，应及时将带分数化为假分数。

再如，计算：[-13][-34]×（[-23]）2[-112]×（-4）2。

有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的一般先算括号內的。本题含有乘方运算、乘法运算和减法运算，同学们在计算时应注意运算顺序，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算。在混合运算中，除了要注意运算顺序，还应注意运算中符号的确定，以及乘方的意义，如（[-23]）2=[49]，（-4）2=16。

二、相机使用运算律简化运算

有理数的运算定律有五条（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律），它们主要有两个作用：1.简化有理数的运算；2.推导其他运算法则。运用这些运算律时要注意两点：1.运用加法交换律交换加数的位置时，要连同其前面的符号一起交换，如a+b-c=a-c+b；2.对分配律既要重视顺向运用，又要重视逆向运用，如计算87×[34][+12]×87-87×[14]，注意到[34][+12][-14]=1，从而逆用分配律可获巧解，即原式=87×（[34][+12][-14]）=87×1=87。

下面我们来算一算。同学们也可以自己尝试动手算一算，看谁算得既简便又准确。

例如，计算：[-3213]+5.75+（[-323]）+（[+514]）

+（[-1247]）+（[-37]）。

在这个分数的加减运算式子中，我们观察到，分母分别是3、4、7。那么，我们可以将同分母的结合在一起，结合后还会发现分子的和刚好又与相应的分母相同，这就大大地降低了运算的难度，又能提高准确率。

原式=［[-3213]+（[-323]）］+［[+534]+（[+514]）］+

［（[-1247]）+（[-37]）］=（-36）+（+11）+（-13）=-38。

再如，计算：（[134][-78][-712]）÷（[-78]）+（[-83]）。

一般算法是先算括号内的，然后再进行除法运算，有些麻烦。注意到第一个括号内的分数分子相同（带分数化成假分数），并可与括号外的分数约分，运用分配律更快捷一些。

所以，原式=（[74][-78][-712]）×（[-87]）+（[-83]）=[-74]×[87]+[78]×[87]+[712]×[87][-83]=-2+1[+23][-83]=-3。

在有理数混合运算中，同学们应注意乘法分配律的灵活应用。虽然除法运算没有分配律，但根据乘法与除法之间的内在联系，可将除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律进行计算。四则运算中，运算律或运算技巧的使用，可以让我们充分领略到“条条大路通罗马”。

（作者单位：江苏省南通市教育科学研究院）