三种版本小学数学教材中“长方体和正方体”习题比较研究——以人教版、青岛版、沪教版为例

杨慧娟,刘文静,吕晓敏,孙明宇,尚怡鑫

(青岛大学,山东 青岛266000)

1 问题的提出

《义务教育数学课程标准(2011 年版)》对教材的编写建议提到,数学教材是为了完成数学课程目标和教学所必不可少的关键所在[1]。数学教材“一纲一本”的局面在新课程改革后被打破,实行“一标多本”的教材编制政策,每种教材各有利弊,比较不同版本教材有利于对教科书进行更精进地打磨与完善[2]。习题是数学教学当中非常重要的部分,近年来我国学者对数学教材习题研究越来越重视。“长方体和正方体”部分是小学阶段学习“图形与几何”的重要内容,是小学生学习立体几何的起点,利于激发学生的空间观念和空间想象力。

2 研究对象和方法

人教版教材是教育部直属的人民教育出版社出版的教材,在我国极具权威性,使用范围很广,影响很大；青岛版出自青岛出版社,使用的范围较小,是地方版本的教材,极具地方特色；沪教版是拥有独立教材开发权的上海开发并使用的教材,也很有典型性和探究意义[3]。本研究选取2012年教育部审定人民教育出版社出版的小学数学一年级上册教材和五年级下册教材(简称“人教版”)；2013年教育部审定青岛出版社出版的小学数学一年级上册和五年级下册教材(简称“青岛版”)；少年儿童出版社出版的小学数学一年级第一学期和二年级第一学期教材,上海教育出版社出版的小学数学五年级第二学期教材(简称“沪教版”),选取范围为三版教材中的“长方体和正方体”习题部分。采用比较研究法和文献研究法,对人教版、青岛版和沪教版数学教材“长方体和正方体”习题内容进行比较和分析,找出三个版本教材在习题数量、习题类型、习题数学认知水平和习题难度方面的差异,并提出思考和建议。

3 研究内容

选取三版中“长方体和正方体”部分习题,从习题数量、习题类型、习题数学认知水平和习题难度四个维度进行比较研究,对数学教材的研究不仅仅会影响学生学习数学的兴趣,也会影响一线教师数学教学的质量。

3.1 习题数量

三版教材中都有出现大题当中包含几个小题的情况,如图1、图2。在计算习题数量时,按照大题数量计算,计为数量1。在分别计算每一小节不同类型的习题数量时,将大题计为单位1进行统计。

图1 青岛版五年级下册数学课本第104页第9题

图2 沪教版五年级下册数学课本第55页第2题

3.2 习题类型

根据三版教材的内容,将其划分为计算题、问答题、填空题、连线题、判断题、应用题、操作题和综合题八类,其中综合题包括前面七种题型中的任意两种及以上。

3.3 习题数学认知水平

顾泠沅教授等人根据布鲁姆的教育目标六层次的漏洞之处,进行了两次大样本的测试,确定了目标框架的层次[4]。最终分为了以下四层次架构:水平1:计算——操作性记忆水平,水平2:概念——概念性记忆水平,水平3:领会——说明性理解水平,水平4:分析——探究性理解水平。其中,水平1、2为较低认知水平；水平3、4为较高认知水平[5]。

对于每一层次的具体要求,如表1所示[6]。

3.4 习题难度

对习题难度的分析采用鲍建生教授的综合难度模型,主要从探究、背景、运算、推理和知识含量五个难度因素对习题进行比较,其中根据小学阶段教材特征改动了“运算”因素的水平划分[7],每个因素包含不同的水平,研究者对五个难度因素的各个水平进行赋值[8],水平一赋值为1,水平二赋值为2,水平三赋值为3,水平四赋值为4,如表2所示。

表1 数学认知水平每一层次的具体要求

表2 综合难度赋值表

根据对各综合难度因素各个水平的赋值,计算出每个难度因素的加权平均值,鉴定每个因素的难度水平,计算公式如下:

其中,di(i=1,2,3,4,5)依次分别表示五个难度因素上的取值；dij为第i个难度因素的第j个水平的加权平均(依次分别取1、2、3、...)；nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数,其总和等于该组题目的总数n。

4 研究结果与分析

4.1 习题数量

对三版教材关于长方体和正方体的习题分册数(表3)和习题总量(表4)进行了统计。

由表3可以得知,沪教版在一年级上册的习题数量占比相对于人教版和青岛版较少,整体来看,三种版本在一年级上册中的习题占比相对均衡,都相对较少。

从表4可以看出,人教版的习题总量最大,沪教版习题总量与人教版习题总量相差甚大,相差51道,其中颇为明显的是青岛版课堂练习题数量为0,沪教版章末复习题数量为0,这说明青岛版在知识的教授过程中缺乏知识与习题的结合,沪教版缺乏课后对知识的回顾和练习,而人教版不仅重视课堂中的知识练习和应用,也注重在课后的学习中对知识的练习和巩固。

表3 习题分册数量统计表

表4 习题总量统计表

为了更具体地对这一部分的习题数量进行分析,针对每一部分进行了习题数量的统计,因青岛版课堂练习题和沪教版章末复习题数量都为0,在此只对每一部分进行习题总量的统计(表5)。

表5 长方体和正方体具体内容的习题总量统计表

据表5可知,沪教版在初识长方体和正方体的部分习题占比最少,人教版和青岛版占比相差不大；在长方体和正方体体积这一部分人教版和青岛版的占比都很大,分别占比51.6%和49.2%,在此阶段,五年级学生刚开始接触体积部分的学习,体积部分习题占比大存在合理性。

4.2 习题类型

对三版教材中长方体和正方体的习题类型进行分类(表6)。人教版每一类题型都有涉及,青岛版判断题习题数量为0,沪教版连线题和判断题习题数量都为0。人教版和青岛版除判断题和综合题以外习题数量占比相差不大,且都是应用题为主。而沪教版应用题占比与人教版和青岛版相比相差较大,沪教版以问答题为主。这说明人教版和青岛版都注重知识与实际生活的联系和应用,沪教版注重对知识本身的熟练和掌握程度。

表6 长方体和正方体习题类型统计表

4.3 习题数学认知水平

根据四层次架构中每一层次的具体要求,对三版数学认知水平层次进行了分类统计(表7)。

表7 长方体和正方体数学认知水平统计表

由表7可知,人教版、青岛版和沪教版在水平1的习题数量占比都是最大的,沪教版占比最大,人教版占比最少,说明三个版本的教材都注重对基础知识的计算和掌握。人教版、青岛版和沪教版在水平2的习题数量占比仅次于水平1,分别占比30.1%、29.4%和23.8%,相差不大,说明三个版本也注重学生对数学概念的理解和运用。在水平3方面,人教版的习题数量占比最大,比青岛版多8.5%,比沪教版多5.8%。三个版本在水平4的习题数量占比相差不大,但是相比之下也是人教版占比最大,占11.8%,这说明人教版相比较青岛版和沪教版更注重对知识探究性和创造性的理解。

总的来看,人教版、青岛版和沪教版较低认知水平的习题数量占比分别为75.3%、85.3%、83.3%,较高认知水平的习题数量占比分别为24.7%、14.7%、16.6%,由此可以得知,青岛版和沪教版更加注重对基础知识的掌握和利用基础知识解决问题的能力,人教版更加注重对知识的进一步理解和主动探究数学问题的能力。

4.4 习题难度

根据采用的鲍建生教授的综合难度模型,对三版教材从探究、背景、运算、推理及知识点等五个难度因素进行了统计(表8)。

表8 长方体和正方体习题难度统计表

4.4.1习题探究因素比较

三版教材在探究因素的比较如图3所示,三个版本的总体趋势走向是一样的。青岛版在“识记”水平的习题数量占比高于人教版和沪教版,比人教版高出9.4%,比沪教版高出16.6%；沪教版在“理解”层次的习题数量占比分别高于人教版和青岛版11.9%和15.4%；人教版在“探究”层次的习题数量占比分别高于青岛版和沪教版5.9%和4.7%。总体来看,青岛版“识记”水平最高,沪教版“理解”水平最高,人教版“探究”水平最高,从三者的加权平均值来看(表8),沪教版在“探究”因素上的难度水平高于人教版和青岛版。

图3 习题探究因素比较

4.4.2习题背景因素比较

三版教材在背景因素的比较如图4所示,人教版和青岛版在每个水平的数据和趋向都相近,而沪教版与其余两者相差较大。三个版本在“无实际背景”水平的差异不大,在每个版本的习题数量中的占比都相对较大；沪教版习题在“个人生活”和“公共常识”水平上占比差异最大,分别高于青岛版和人教版16.2%和17.7%,低15%和13.3%。由此看来沪教版侧重习题与学生个人生活的联系,但缺乏对学生社会公共常识的普及。总体上从加权平均来看(表8),人教版在“背景”因素上的难度水平高于青岛版和沪教版。

图4 习题背景因素比较

4.4.3习题运算因素比较

三版教材在运算因素的比较如图5所示,沪教版在“无运算”水平与人教版和青岛版相差较大,分别高出19.5%和18.9%；人教版在“简单数值运算”水平分别高出青岛版和沪教版5.6%和21.8%；三个版本在“复杂数值运算”差别不大,都没有“符号运算”的习题。总体来看,沪教版问答题和操作题偏多,不需要运算,人教版偏向“简单数值运算”,从加权平均值来看(表8),青岛版在“运算”因素的难度水平最高,说明青岛版更加注重对学习者的运算能力培养和提高。

图5 习题运算因素比较

4.4.4习题推理因素比较

三版教材在推理因素的比较如图6所示,青岛版和沪教版在“无推理”水平分别高于人教版14.1%和18.1%；人教版在“简单推理”水平分别高于青岛版和沪教版13.4%和11.7%；沪教版在“复杂推理”水平分别低于人教版和青岛版6.4%和5.7%。这说明,青岛版和沪教版对学生推理水平的要求不高,而人教版更加看重学生的推理能力,从加权平均值也可看出(表8),人教版在“推理”因素的难度水平明显高于青岛版和沪教版。

图6 习题推理因素的比较

4.4.5习题知识含量因素比较

三版教材在知识含量因素的比较如图7 所示,可以看出人教版和沪教版曲线走势趋近相同。人教版和沪教版在“单个知识点”水平明显高于青岛版,分别高出14.9%和18.7%；而青岛版在“2个知识点”水平明显高于人教版和沪教版,分别高出14.5%和17.2%；三个版本在“3个及以上知识点”水平差异不大,都较少。总体来看,人教版和沪教版看重对单个知识点的习题熟练掌握,而青岛版则偏向2个知识点的结合研习,从加权平均值来看(表8),青岛版在“知识含量”因素的难度水平高于人教版和沪教版。

图7 习题知识含量因素的比较

4.4.6综合难度分析

对于三版教材在五个难度因素的综合难度分析如图8所示。在“长方体和正方体”这一部分,三者的加权平均值在1.05～1.96的范围内,在五个难度因素比较下,其中相差最大的是“背景”因素,人教版的加权平均值是1.96,青岛版的加权平均值是1.40,相差0.56。

从版本的自身情况来看,人教版习题难度最高的是“背景”因素,最低的是“知识含量”因素；青岛版习题难度最高的是“运算”因素,最低的是“知识含量”因素；沪教版习题难度最高的是“探究”因素,最低的是“知识含量”因素。

总体来看,人教版注重习题和背景的联系程度以及学生的推理能力,青岛版注重学生的运算能力以及知识点之间的联系,沪教版更注重学生对知识的探究能力的培养。相比较而言,人教版习题难度最高,青岛版习题难度最低。

图8 习题综合难度模型

5 思考和启示

5.1 合理安排习题分布结构,注重习题的层次水平

教科书的编排内容需要严谨又精炼,所以习题的质量更加需要把握和提高。青岛版课堂练习题数量为0,沪教版章末复习题数量为0,习题分布结构不合理,教材编写者需要加强对课堂知识讲授前的准备练习和知识巩固,对习题进行合理安排。我们要认识到每个人都是不一样的存在,学习者吸收、适应知识的水平本身存在差异,习题的层次性体现了学生不同学习水平的需要,不同水平层次的习题应该采取适当的比例[9]。三个版本习题数量在各方面差别较大,应适当调整习题不同类型的数量分布,适当增加操作题和综合题的比重,使其达到一种相对平衡。

5.2 适当丰富习题背景,贴近学生现实生活

三者在“无实际背景”水平的差别不大,但是都在35%～40%范围内,占比较大。习题背景设置需更加贴近学生实际生活,对于第二学段的学生,习题背景应尽量来源于自然和社会中的现象和问题[1],并进行学科渗透。学习数学的初衷就是在生活中解决数学问题,数学和生活的紧密联系,有助于学习者主动探索慢慢揭开数学的神秘面纱,并在实践中学以致用[10]。多元化的习题背景,多类型的习题相结合,学生拥有更广阔的空间和思维,有助于学生数学素养的形成[11]。在学习这一部分的过程中,学生会将长方体和正方体与生活中具体物体联系起来,教师根据教材习题带动学生观察和操作,发展学生空间想象力。

5.3 加强数学知识之间的联系,注重知识体系的建立

在综合难度因素中,“知识含量”因素在三种版本中的加权平均是最低的,整体来看,习题包含一个知识点的占比最大。课标教材编写部分写到,要展现出不同的数学知识之间的联系,这有利于学生去体会数学知识之间的逻辑顺序[1]。在尊重学生认知水平的基础上,教材的编写者可以适当增加一些2个以上的知识点的设置,体现数学知识之间的关联性。由此也可促进学习者体会到数学整体思想的意义,潜移默化地将“数学是一个紧密联系的有机整体”刻画于内心并熟练运用[12]。当然也要注重学段之间、学年之间、单元之间、课与课之间的相互联系。

5.4 适当增加探究水平,培养学生几何直观能力和空间观念

课标解读中在“图形与几何”部分提及应培养学生空间观念、几何直观、推理能力和创新意识等核心概念[1]。三版教材在习题难度的“探究”因素中大都偏向“识记”和“理解”层面,教材编写者可以在符合学生认知发展规律的基础上,适当增加习题的探究水平。教材编写者可以加入让学生主动参与问题探究的习题,激发学生的探究热情,把握几何图形的基本特征,逐步形成空间观念,发展学生数学实践运用的能力[13],在共同的学习探究解题中提高对几何体的反应能力和数学思维的锻炼与运用。