差分磁梯度张量测量极限估计

李青竹，石志勇，李志宁，范红波

（陆军工程大学 车辆与电气工程系，河北 石家庄 050003）

1 引 言

磁异常探测技术可应用于地下小尺度磁目标的定位与识别［1-2］。与磁场矢量和总磁场强度（Total Magnetic Intensity，TMI）相比，磁梯度张量（Magnetic Gradient Tensor，MGT）可以提供更丰富的目标体方位信息，抗干扰能力强，能够更好地适应复杂的测量环境［3］。MGT探测具有广泛的应用前景，如航空磁测、矿产勘探、未爆弹药搜索和排雷等［4-5］。

直接测量磁场梯度本质上很困难，但可利用矢量传感器在基线两端的读数差异近似估计磁标势的二次偏微分［6］。目前，常以磁传感器阵列形式构建磁梯度张量系统（Magnetic Gradient Tensor System，MGTS），并实现张量差分测量。MGTS主要分为两类：（1）基于超导效应［7］，这类系统由具有极高灵敏度和较小量程的超导量子干涉装置（Superconducting Quantum Interference Devices，SQUID）组成，其制造成本高，对测量环境要求严格，适用于生物磁检测、金属无损检测、航空磁测等灵敏度要求高但磁异常较弱的工况；（2）基于磁通门法［8-9］，这类系统由多个磁通门传感器组成，利于批量生产和制造，成本较低，安装要求较简单。目前，最先进的磁通门探头的灵敏度噪声可以达到6 p Trms/ Hz@1 Hz［10］，量程是SQUID的数千倍［11-12］。

近年来，国内外研究团队搭建了各类磁通门法MGTS，包括直角四面体、正四面体、正方形、十字形、三角形等结构［13-16］，但针对特定结构MGTS探测极限的研究却鲜有报道。实测经验表明，差分方法测量磁梯度张量时系统的探测极限常受到结构误差、噪声、磁源强弱和探测方位等因素的影响［17］。为了定性且定量研究MGTS的理论探测极限，本文利用磁偶极子正演方程、张量矩阵特征方程和张量不变量联合推导出在系统基线距离、传感器测量精度、系统观测方位和磁源强度等相关参数约束下MGTS空间理论探测范围的计算公式。针对单一磁源，张量衍生不变关系定位方法［18］利用MGTS实现单点精确定位并准确估计出磁源的磁矩强度，使实测MGTS的理论探测极限成为可能。

2 MGT测量理论和张量不变量

2.1 差分MGT测量原理

MGT为3个正交方向的磁场矢量空间变化率［3］，共9个元素，可表示为：

其中：B为磁场强度矢量，G表示MGT矩阵，φm是磁标势，Bm（m=x，y，z）表示B的正交分量，Bij（i，j=x，y，z）表示MGT分量。在没有电流的静态磁环境中，麦克斯韦方程约束下磁场的散度和旋度为0，有∇·B=0，∇×B=0，因此G是对称且无迹的。故G的9个元素可以用5个独立的分量来表示，即Bxx，Bxy，Bxz，Byy和Byz。

MGT是磁标量势φm的二阶偏微分，也是磁场矢量B的偏微分，难以直接测量。事实上，常利用跨测量基线的分量读数差异来代替磁矢量偏微分，以近似MGT分量，如：

其中：ΔBi是两个相邻磁传感器测量的i分量读数差异，Δdj是两个磁传感器在j方向上的距离，定义为基线距离。

2.2 MGT不变量及衍生不变关系

MGT不变量是当观测点固定不随测量系统不同方向而改变的量或对应关系。一些基本的MGT不变量包括矩阵迹、特征值、特征方程系数和Frobenius范数等［19］。MGT矩阵是实对称矩阵，可对角化。令λ1，λ2和λ3表示G的特征值，满足特征方程λ3-I0λ2+I1λ-I2=0，其中：

其中：I0是G的迹，I1是关于G对称且无迹的量，I2是矩阵G的行列式，CT是张量收缩。给定一个磁偶极子，磁矩为m=（mx，my，mz）［20］，偶极子到观测点的位置矢量为r=（x，y，z）。设M=||m||，r=||r||，r为观测距离，则磁场矢量和5个独立MGT分量的正演方程为［19-20］：

其中：μ为介质的磁导率，空气中μ≈μ0=4π×10-7N·A-2，μ0为真空磁导率。

空间衍生不变关系如下［18］：

其中：θ是r和m之间的角度，0≤θ≤180°，u是归一 化 源 强 度（Normalized Source Strength，NSS）［19］。

由式（3）、式（4）、式（6）分别得到MGT矩阵的特征值λ1，λ2和λ3，即有：

则NSS可以表示为：

其 中：|λ1|≥|λ3|，|λ2|≥|λ3|和λ2≥λ3≥λ1。式（8）可为MGTS的理论探测极限估计提供条件约束。

3 MGTS的理论探测极限

相关研究表明，相较于正四面体、直角四面体、三角形和正方形等结构，平面十字形MGTS不仅结构简单、传感器安装方便、对准精度高，其结构误差较小且同基线距离下的最近观测范围最大［17］。图1为平面十字形MGTS的结构设计，由4个磁通门传感器和十字架构成。设d为基线距离，表示传感器a在b轴方向的读数。结合式（2），平面十字形MGTS的张量测量矩阵Gm为：

图1 平面十字形MGTS的结构Fig.1 Structure of planar-cross MGTS

式中：Byx和Bxy的测量方式存在差异（事实上二者实测值几乎相同），故Gm共有6个独立分量。

令n为一单位空间向量，∂(B)/∂(n)为B对n的方向导数。用MGT矩阵G的特征向量v1，v2和v3表示n，有n=a v1+b v2+c v3且a2+b2+c2=1，得到：

定义q为传感器的测量准确度（单位：±n T），Q为MGTS的测量准确度（单位：±nT/m），结合式（9）有q=Q d/2。注意，Q和q不仅反映了传感器本底噪声引起的测量误差，还包括传感器系统误差、磁干扰误差和未对准误差引起的不确定性［8］。将考虑全部实测误差因素时的最大测量偏差作为准确度Q和q的取值范围。

在观测点r0=（x0，y0，z0）处捕捉目标需要q满足可靠的差分计算。因此，q要小于磁场强度在基线距离之间的实际变化值。令r为MGTS的观测距离，结合式（8）和式（10），传感器测量准确度q需满足：

使得在基线距离d、该处磁异常强度B条件下的差分计算可靠。

差分测量可靠的必要条件如下：

式（12）即为差分磁梯度张量测量范围的计算公式。由此可知，某一MGTS系统的理论探测极限不仅与传感器的测量准确度q和系统基线距离d有关，还与磁源目标的磁矩大小M和观测角度θ有关。这表明MGTS对同一目标在不同方向上具有不同的探测极限。

由于式（12）中与磁源相关的磁矩M和观测角度θ为单一磁源目标参数，当测区内存在多个磁异常目标时，M应为空间某处的磁偶极子等效源模型磁矩。该等效源是由各个磁异常目标在观测点处的磁场叠加后再反演得到的磁偶极子，θ应为该等效源磁偶极子的磁矩与观测点间的夹角。

在MATLAB仿真环境中，建立空间笛卡尔坐标系，令x轴朝东，y轴朝北，z轴朝上。将磁偶极子放置在r1=（10 m，0，-20 m）处，磁矩M=5 000 A·m2，磁偏角为20°（东偏），磁倾角为-60°（向上）。设置MGTS的初始参数为基线距离d=0.5 m，传感器的测量准确度q=±0.1 n T。图2（a）中绘制了MGTS在三维空间中的理论探测极限。图2（b）显示了在z=-20 m平面内不同d和q时MGTS的理论探测极限。图3（a）显示了空间中不同θ和磁矩强度M时MGTS的理论探测极限距离。图3（b）显示MGTS最大探测极限距离同时随d和q的变化而变化。

显然，在平行于磁矩矢量的方向（即θ=180°或0°），MGTS的探测距离最大。q越小，d越长，M越大，理论探测极限距离越远。

然而实际情况表明，当探测距离不变而d值增长到一定程度时，MGT测量值会失真。由于传感器差分计算得到的张量值与真实值之间存在理论误差，以分量Bxx为例说明式（3）计算得到的MGT分量值沿x轴梯度测量方向的逼近过程。间隔d的两传感器x轴测量值和分别自展开为泰勒级数，其中为观测点处磁场矢量的x轴真实分量。令Bxx测量值为，真实值为，则可由泰勒级数表示：

图2 MGTS在变参数下的空间探测极限范围Fig.2 Detection limits of MGTS with variable parameters

图3 MGTS在不同磁源和变参数下的理论探测极限Fig.3 Theoretical detection limits of MGTS with different sources and variable parameters

式（13）表明，在差分过程中，由于忽略了泰勒级数的三阶和高阶奇数项，测量值与基线距离d存在一定的正相关偏差。当d值增大且观测距离很近时，磁场高阶偏微分也变得不可忽略。此时，式（13）中第二项和后续项与首项相比不能忽略，差分测量结果失真愈发明显。

图4显示了系统由窗口（10 m，0，-20 m）滑动测量至（100 m，0，-20 m），即测点由磁偶极子中心逐渐远离的过程中Bxx和Bxy的理论测量误差。因此，随着观测距离变短，由差分计算的MGT测量值可靠性会变低，且d越长这种趋势越明显。从这些结果来看，MGTS的理论探测极限与基线距离、测量准确度、磁矩、观测点与磁矩矢量的夹角等有关；基线距离越长，传感器测量准确度越高，MGTS的理论可探测距离越远；基线距离越长，观测距离越近，张量差分测量理论误差越大；探测距离在平行于磁矩矢量的方向上达到最大，而在垂直于磁矩矢量的方向上急剧减小。

图4 不同基线距离和观测距离时MGT差分测量的理论误差Fig.4 Theoretical error of MGT differential measurement with different baseline distances and observation distances

在工程实际中，基线距离的设置存在一个较优解，需综合考虑精度需求、距离需求及仪器尺寸等。

4 实 验

本文构建了一个实际的平面十字形MGTS，基线距离为0.5 m，其中包含4个Barrington公司生产的Mag-03磁通门传感器，以及一个由非磁性塑性树脂材料制成的十字架，见图5。

将图6中4种典型的磁体标记为m1，m2，m3和m4，其中m1和m2为圆柱体，m3和m4为长方体。这些磁体的等效偶极矩未知。

实验过程如图7所示，以实现典型磁体的MGTS探测极限估计和验证。磁异常测量经验法表明，在超过物体长度约2.5倍的距离处，偶极矩会占主导作用［21］，磁目标可近似于磁偶极子。将4个磁铁视为远离目标位置的磁偶极子，并试图找到它们相对于几何形状的磁矩矢量。

图5 平面十字形MGTS实验装置Fig.5 Experimental setup of planar-cross MGTS

图6 预备的4块典型形状磁铁及其尺寸信息Fig.6 Prepared four magnets with size information

图7 MGTS探测极限估计和验证实验Fig.7 Detection limits estimation and verification experiments

图7中，环境测量用以估算传感器和MGTS的实际测量准确度，Q为MGTS的测量准确度（单位：±n T/m），有q=Q d/2。采用张量衍生不变关系定位方法［18］来估计磁铁位置，若位置处于磁铁的物理尺寸内，则表明磁矩估计是有效的。然后，利用放置磁铁前后的MGT测量读数和准确度Q判断MGTS是否已到达其探测极限。在测量中，这里采用零相位低通滤波来消除信号干扰。

4.1 传感器和MGTS的测量准确度估计

Mag-03传感器的出厂本底噪声幅度在±0.01～0.02 n T内［10］，然而传感器的真实读数几乎不可能达到此量级。实际上，实测读数不可避免地受到测量设备的电磁干扰，地磁场的本底噪声以及环境中其他未知涡流磁信号的干扰。通过信号处理的方法能够过滤掉一些有规律的高频信号，尽可能保留真实的磁场信息。

实验地点为中国石家庄某空旷野外，划定10 m×10 m且磁场较稳定的测区，标量质子磁强计测得该区域的磁总场强度均值为53 162 n T（±20 nT）。首先进行了环境测量，以确定滤波和降噪的截止频率。采样频率为500 Hz。图8（a）、8（b）显示了经过约54 s静态采样后传感器1的x轴分量和频谱，并突出了前后各一秒内的读数变化细节。静磁场信号是一种超低频信号，而设备电流采集卡的噪声频段主要集中在50，235 Hz等频段。利用零相位低通滤波器来降低地磁信号噪声，并将截止频率保守地设置为5 Hz。由于地磁日变的影响以及滤波器中遗漏了部分低频噪声分量，实际磁场强度在不断变化，传感器测量准确度q难以直接获得。然而，在MGT数据的差分计算过程中，可以等效地减去该区域地磁场的协同变化。故若已知MGTS的测量准确度Q，可以用差分原理估计q，即q=Q d/2。

图8（c）显示了开始采样后一段时间4个传感器的磁场强度分量读数，各轴读数明显地随地磁场波动而变化。由于采样时间一分钟内温度相对稳定，并且传感器的出厂偏移温度系数（n T/°C）小于±0.1 n T［10］，因此图8（c）中的磁场读数漂移几乎全部来自地磁在短时间内的随机日静变化，此时直接估计q是不可靠的。然而，在静态采样期间测量的MGT应该是恒定的，因为它代表了磁场强度的空间变化率，不受地磁日变化的影响。MGT读数随采样时间的绝对误差如图8（d）所示。Mag-03传感器的出厂测量准确度已达到±0.02 n T，确保了此时MGT读数的可靠性。表1列出了MGTS读数的精确度（均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）、平均误差（Mean Error，ME）和准确度Q。

图8 磁场低通滤波截止频率的选择与MGTS张量测量准确度的估计结果Fig.8 Selection of cutoff frequency of low-pass filter and estimation of MGTS tensor measurement accuracy

在约54 s的静态采样阶段内，测得MGT分量读数的最大绝对误差收敛到±8.285 n T/m，作为MGTS的估计张量测量准确度Q。重复采样后得到的MGT值也在此范围内波动，表明局部磁场相对稳定且Q值估计有效。由于q=Q d/2，给定d=0.5 m，故q真值应收敛于±2.121 n T附近，作为现有仪器和降噪条件下估计的传感器测量准确度。

表1 MGTS读数的估计准确度（最大绝对误差Q）和精确度（RMSE和ME）Tab.1 Estimated accuracy（maximum absolute error Q）and precision（RMSE and ME）of MGTS readings（n T/m）

4.2 MGTS的探测极限估计

一旦获得MGT分量和位置矢量，可直接利用式（5）磁偶极子正演方程来反演磁矩矢量m，即：

其中：H仅与位置矢量有关，I是具有5个独立MGT分量的列向量。请注意，式（13）中的H+是Moore-Pennrose逆。然而，现有情况不能直接判断估计的m是否有效。环境中可能存在其他磁异常，使得由反演公式得到的叠加磁场等效磁矩代替了目标的真实磁矩。此外，前文结论表明，距离过近同样会使张量差分测量值变得不可靠。

为了确保磁矩估计是有效的，利用张量衍生不变关系法定位磁体［18］。该方法从以下方程中提供4个可能的坐标解，其中一个是正确的。

式中v1和v2分别对应于特征值λ1和λ2的特征向量，CT是张量缩并，是仅由磁偶极子产生的磁总场强度TMI。因此，在计算ITM时应提前测量地磁场进行补偿。

对坐标已知的磁体进行定位，一旦估计坐标与目标真实位置间的测量偏差控制在磁体尺寸范围内，则反演得到的磁偶极矩是有效的。MGTS置于地面高50 cm处，以观测点为原点，将4块磁铁分别放置于位置1（50 cm，50 cm，-50 cm）、位置2（100 cm，100 cm，-50 cm），如图9所示。

图9 磁铁磁矩估计实验Fig.9 Magnets magnetic moment estimation experiments

对4块磁铁共进行了4×2次定位实验。采样频率为500 Hz，单次采样时间为10 s左右。定位结果为每单次采样时间内计算的平均值。设置相同的滤波条件，截止频率均为5 Hz。定位结果列于表2。显然，位置1处的定位结果均有偏差，而位置2处的定位结果均控制在4个磁体的几何空间范围内。位置1处由于探测距离过近而差分测量失真，而位置2的结果都是有效的。4个磁铁估计的磁矩矢量如图10所示。

表2 磁铁定位实验中估计的磁铁位置和磁偶极矩Tab.2 Estimated magnet position and magnetic dipole moment in magnet positioning experiments

图10 估计的4块磁铁的磁偶极矩大小和方向Fig.10 Estimated magnitude and direction of magnetic dipole moment of four magnets

一旦确定了磁矩的方向和大小、传感器读数准确度以及MGTS的基线距离，就可以得到该MGTS对4个磁体的空间理论探测极限范围，如图11（a）和11（b）所示。此外，图11（c）显示了4个磁铁的探测极限随角度θ的变化。MGTS相关参数和最大探测极限距离（rmax）的估计结果列于表3。

为了验证估计结果，将4块磁铁沿MGTS的x轴滑动并连续采样。采样率为500 Hz，滑动窗口为（1 m，0，0）到（10 m，0，0）。规定每0.01 m采集不少于20个点时，实测MGT的准确度可信，故滑动速度应小于0.25 m/s。设置滑动速度为0.2 m/s，速度偏差为±0.05 m/s，即可满足要求。滑动过程中始终保持角度θ为0°，即磁矩m的方向始终指向观察点。

图11 MGTS对4块磁铁的探测极限估计Fig.11 Detection limits estimation of MGTS for four magnets

通过观察是否可以区分不同MGT分量读数来判断MGTS是否已达到对4种磁铁的真实探测极限边界，并估计出实测rmax。为了消除环境中其他未知磁异常对结果的干扰，利用背景磁场的空侧数据对滑动采样阶段测量的磁场信号进行补偿。一旦磁体滑动时测得的MGT分量读数之差不再超过MGTS的测量准确度Q（±8.285 n T/m），判定磁体已脱离了系统的有效探测范围。测量结果如图12所示，图中标出了每个磁体的实测探测极限rmax，并记录在表3中，其中测量值和估计值最大偏差为0.4 m。

上述结果表明，MGTS实测探测极限与估计值吻合较好，探测极限估计准确度为±0.4 m，从而验证了所提差分磁梯度张量测量极限估计方法的有效性。

表3 MGTS探测极限估计及其必要参数Tab.3 Detection limits estimation and its necessary parameters of MGTS

图12 MGTS在平行于4块磁铁磁矩方向上测得的有效探测极限距离（rmax）Fig.12 Measured MGTS detection limit distance（rmax）of four magnets in direction parallel to magnetic moment

5 结 论

本文提出了差分MGT测量极限估计方法。根据差分MGT测量范围公式，MGTS的理论探测极限与基线距离、传感器测量准确度、目标磁偶极矩、观测点与磁矩矢量间的夹角有关。基线距离越长，传感器测量准确度越高，MGTS的有效探测距离越远。探测距离在平行于磁矩矢量的方向上达到最大，而在垂直于磁矩矢量的方向上急剧减小。在实际测量中，成功估计并验证了搭建的平面十字形MGTS的理论探测极限，该系统针对4块典型磁铁的探测极限估计准确度为±0.4 m。然而，本文尚未深入考虑地磁日变化、涡流磁场干扰和磁传感器非线性误差等因素对实测中系统探测极限的影响。