利用频谱相位最大值自适应定位全息正一级频谱

党长营，李建素*，赵鹏飞，许 泰

（1.中北大学 先进制造技术山西省重点实验室，山西 太原 030051；2.中北大学 机械工程学院，山西 太原 030051）

1 引 言

数字全息显微术具有非侵入、全场、实时等优势，广泛地应用于MEMS检测［1］、聚合物生长［2］、疾病诊断［3-5］和粒子跟踪［6-7］等领域。数字全息显微术的光路结构包括同轴全息和离轴全息。为了消除再现像中的零级衍射像和共轭像，同轴和离轴全息常用的方法分别是相移技术［8］和频谱滤波技术［9-12］。其中，相移技术利用高精度压电陶瓷实现参考光波的相移，能够很好地去除零级衍射像和共轭像，但易受环境干扰，且受实时性要求的限制。频谱滤波技术通过提取全息正一级频谱，实现零级衍射像和共轭像的消除，且仅需要一幅全息图，因此频谱滤波技术具有一定的优势。在频谱滤波技术中，准确地提取全息频谱的正一级频谱是实现全息测量的关键技术之一。

近年来，为了满足数字全息自动测量的需求，自适应频谱滤波方法被提出［9-14］。这种方法主要包括区域分割和区域定位两部分内容。不同的自适应频谱滤波方法基于不同的原理实现区域分割，但区域定位常常以先验模板滤波窗或者已知参考光波倾斜角度作为先决条件［9-14］，来实现正一级频谱的定位和自适应提取。由此可知，实现正一级频谱的自适应和高精度定位是实现自适应和高精度的频谱滤波的前提条件。2015年，Li等［12］提出一种基于区域增长的自适应频谱滤波方法，该方法利用区域增长实现正一级频谱的识别和提取。它利用全息频谱振幅的极大值作为区域增长的中心，通过全息频谱振幅的灰度直方图获得区域增长的阈值，从而实现全息频谱振幅的正一级频谱的提取。全息频谱振幅存在两个极大值：一个是正一级频谱振幅的极大值，一个是负一级频谱振幅极大值。因此，Li等根据已知全息测量系统参考光波的倾斜角度来选择正一级频谱振幅的极大值，进而实现正一级频谱的自适应提取。2016年，He等［13］提出一种基于区域识别的自动频谱滤波方法，利用全息频谱振幅的全局阈值作为初阈值，通过该阈值对全息频谱图进行二值化，判断二值化后图像有几个独立区域。若区域个数不等于3，则以全局阈值的1%为步长的增长值，再次对频谱图进行二值化，以此方式迭代，直到将频谱图分割为三个区域，停止迭代。之后，利用先验模板滤波窗来获得目标区域，最终实现正一级频谱的提取，并完成自适应频谱滤波，但在该方法中，需要设定先验模板来定位目标区域。2019年，Xiao等［14］提出一种基于卷积神经网络的自适应频谱滤波。首先消除零级衍射像，再截取全息频谱图的1/2，以此消除零级衍射像和共轭像的干扰；之后将截取的1/2频谱输入卷积神经网络中，进而获得二值化后的滤波模板；然后将二值化后的滤波模板和截取的1/2频谱卷积，从而实现离轴全息显微术中正一级频谱的提取。该方法的第一步即是截取包含正一级频谱的1/2频谱图，但并未明确指出提取左侧1/2频谱振幅的依据。基于上述分析可知，常用的自适应频谱滤波方法过分依赖已知参考光波倾斜角度或者先验模板滤波窗，来实现正一级频谱区域的定位，并未彻底实现自适应频谱滤波。

为了解决上述问题，本文理论分析了预放大全息的频谱相位的分布特点，得到了频谱相位的最大值与正一级频谱区域的关系，提出了依据频谱相位的最大值来定位正一级频谱区域的思想，为全息自适应频谱滤波提供一种可自适应判别和定位正一级频谱区域的方法。

2 全息成像原理

数字全息显微系统的坐标关系如图1所示，物体经过显微物镜（MO）之后与平面参考光波在固态图像传感器（CCD）面干涉形成全息图。

设相位型物体的光波分布为：

则通过显微物镜后的物光波分布可表示为：

式中：

qM表示物像关系，k是波数，k=2π/λ，λ是介质中的光波长；d1是物平面与显微物镜的距离，d2是显微物镜与CCD平面的距离。

图1 预放大离轴全息坐标示意图Fig.1 Schematic diagram of off-axis pre-magnification configuration

参考光波在CCD面的复振幅分布为：

式中：α和β分别是参考光波沿x和y轴的夹角。

物光波和参考光波在CCD面干涉形成的全息图强度分布可表示为：

式中：*是共轭项。对式（4）两边做傅里叶变换可到全息图的频谱分布为：

3 频谱相位最大值定位正一级频谱

3.1 频谱相位最大值分析

在数字全息显微术中，对全息图做傅里叶变换可得到一个复振幅，求其幅值得到全息图的频谱振幅；对该复函数求反正切函数、相位解包裹之后获得连续相位，称为全息图的频谱相位。

以像面全息为例，对全息频谱相位进行分析，像面全息图的强度分布为［16］：

式（7）由两个强度项和两个干涉项组成，其中干涉项包括一个二次相位因子，沿x和y方向的倾斜因子，以及一个相位常数。

对式（7）两边做傅里叶变换可得到像面全息图的频谱为：

式中：⊗为卷积符号。整理式（8）可得：

根据式（9）可得，频谱的相位分布是二次相位函数与样本傅里叶变换的卷积，平移量由决定。对式（9）求反正切，可获得全息频谱的相位分布为：

该频谱相位是位于［-π，π］的主值区域中，可通过两次离散余弦变换法［17］获得连续的频谱相位，并利用泽尼克拟合法［18］消除二次相位函数引入的二次相位因子。

全息频谱的零级频谱为δ函数，正一级频谱和负一级频谱是由二次相位函数、平移量函数和物体相位常数的傅里叶变换卷积而成的。其中，二次相位函数是显微物镜引入的二次相位因子的傅里叶变换。平移函数是参考光波引入的，目的是保证零级频谱、正一级频谱和负一级频谱的分离，进而保证零级衍射像、实像和共轭像的分离。在全息频谱相位中，零级频谱为脉冲函数，正一级频谱对应的（式（9）的第二项）相位值为正，因此频谱相位的最大值必然处于正一级频谱的中心；负一级频谱对应的（式（9）的第三项）相位值为负。

综上所述，可利用频谱相位的最大值来定位正一级频谱的中心，进而实现正一级频谱区域的定位。

3.2 利用频谱相位最大值定位正一级频谱

根据全息的频谱振幅特点，可利用图像阈值分割法将频谱振幅分为3个区域，从左到右依次设为R1，R2和R3，如图2所示。这3个区域包括正一级、负一级和零级频谱。其中，R2区域对应于零级频谱，R1和R3为正一级或负一级频谱，但具体的对应关系不能从频谱振幅中识别出来。因此，常用的自适应频谱滤波方法需要依赖已知参考光波倾斜角或者先验模板滤波窗来实现区域R1或R3与正一级频谱的对应，最后提取出正一级频谱。

本文利用频谱相位的最大值来定位正一级频谱区域。首先，计算频谱相位的最大值与频谱振幅3个区域重心的距离，得到3个距离值；然后，判断3个距离中最小距离所对应的区域，该区域即为正一级频谱区域，从而实现正一级频谱的自适应定位。

图2 全息频谱振幅分布示意图Fig.2 Schematic diagram for distribution of spectral amplitude in digital holography

设频谱相位的最大值坐标为Pmp（xmp，ymp），如图2中星形符所示。设频谱振幅的3个独立区域的重心坐标为Ci（xi，yi），i=1，2，3，则R1，R2和R3区域的重心坐标分别为C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3），如图2中圆圈所示。C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3）与Pmp的距离分别为D1，D2和D3，则Pmp与重心坐标Ci的距离Di可表示为：

式中Di的单位为像素。

设频谱相位最大值点坐标与区域重心坐标距离的最小距离为Ddesired，则有：

式中min为求最小值函数。

由式（11）和式（12）可知，找到Ddesired，也就找到与点Pmp距离最近的区域，即找到了正一级频谱所处的区域，从而完成正一级频谱区域的自动定位，整个定位过程无须人工干预。

4 实验结果及分析

预放大数字全息系统的实验光路如图3所示。He-Ne激光器发出的光经过λ/2波片和偏振分光棱镜（PBS）分为两束，一束经λ/2波片和扩束镜（Expander2）扩束准直后作为参考光波（R）；另一束经扩束镜（Expander1）扩束准直后直接照射物体并被显微物镜（MO）放大后作为物光波（O），物光波与参考光波经分光棱镜合束后在CCD面干涉形成全息图。M1和M2均为反射镜。

图3 预放大数字全息系统的光路Fig.3 Optical path of off-axis transmission digital holographic microscopy

以微孔阵列和相位台阶为样本，获得如图4所示的全息图及其频谱图。其中，微孔阵列的孔直径为15μm、孔中心距为80μm、微孔深度为564 nm；相位台阶的长为105μm、宽为30μm、深度为360 nm。对微孔阵列和相位台阶的全息频谱相位求最大值，得到两样本的频谱相位最大值点，如图4（b）中星形符标注，坐标分别为（172，78）和（185，175），如图4（c）所示。在频谱相位中找到的最大值点，即对应频谱振幅中的正一级频谱的中心位置，如图4（c）的星形符号所示。

为验证所定位的正一级频谱的准确性，以常用自适应频谱滤波方法［13］中的区域分割方法为例，进行区域分割之后，再利用频谱相位最大值来定位和提取正一级频谱，并进行数值重构。首先，利用全局阈值分步迭代法［13］将微孔阵列和相位台阶的全息频谱振幅分割为3个独立的区域，如图5（a）所示。利用式（11）可获得图4（c）中的正一级频谱中心点坐标与图5（a）中的3个区域重心的距离，如表1所示。利用最小距离对应区域的边界实现正一级频谱区域的提取，如图5（b）所示。在表1中，R1，R2和R3区域的重心坐标C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3），C3（x3，y3）与Pmp的距离分别为D1，D2和D3。

由表1可知，微孔阵列和相位台阶的两个区域重心与频谱相位最大值点的最小距离分别为0.5和7.2，均对应其频谱的R3区域，也就是说微孔阵列的R3区域和相位台阶的R3区域为正一级频谱。因此，可利用R3区域的轮廓提取正一级频谱，之后采用角谱法进行数值重构，并利用泽尼克拟合方法消除相位误差，最终得到微孔阵列和相位台阶的三维重构，如图5（c）所示。

为了分析三维重构像的尺寸精度，取图5（c）的一个横截面如图6所示。由图6可知，微孔阵列的孔直径为14.2μm、孔中心距为80.3μm、孔深度为554.9 nm、相应的高度标准差为8.6 nm。由此表明，本文方法测量微孔阵列的横向误差在1μm以内、高度标准偏差仅为1.5%；相位台阶长108.7μm、宽30.9μm、深353.3 nm，相应的高度标准差为15.1 nm。该方法测量相位台阶的横向误差为3.7μm、高度标准偏差为4.2%。从上述两组实验结果可知，利用本文方法定位正一级频谱是准确的。最重要的是，利用该方法定位正一级频谱区域后，自适应频谱滤波方法不再依赖先验模板滤波窗或参考光波倾斜角度等先验条件，提高了频谱滤波的自适应性。

图5 频谱滤波及三维重构像Fig.5 Spatial filtering and 3D reconstruction profiles

图6 重构像的轮廓Fig.6 Reconstruction profile

进一步地，为了分析本文所提方法对测量分辨率的影响，以USAF1951分辨率板为样本，比较了本文方法与先验模板滤波窗［13］截取正一级频谱法获得的全息重构图像。图3中的显微物镜放大率为10倍、数值孔径为0.2，本文实验系统的横向分辨率为1.54μm（Δx=0.61nmλ/N A），实验结果如图7所示（彩图见期刊电子版）。图7（a）记录了分辨率板第6～9组的全息图。图7（b）中红色滤波窗（Auto）为本文所提方法获得的滤波窗、蓝色圆形滤波窗（MB）为先验模板滤波窗。对以上两种滤波窗截取的正一级频谱进行数值重构，获得的重构图像如图7（c）和7（d）所示。从图中可知，分辨率板的第6和7组靶线清晰，能被分辨出来。在图7（c）中，第8组第2单元靶线，即线宽为1.74μm能被分辨，如图7（e）所示。而在图7（d）中，第8组第2单元靶线却不能被分辨，如图7（f）所示。为了更清晰地比较重构图像的质量，图8给出了分辨率板重构图像中第8组第2单元的靶线轮廓图。实验结果表明，本文方法的分辨率达到1.74μm，而利用先验模板滤波窗仅能分辨第8组第1单元的靶线，线宽为1.95μm。本文方法获得的重构像的分辨率更逼近实验系统的分辨率（1.54μm）。需要说明的是，由于先验模板滤波窗不同，获得的重构结果也会不同。综上所述，本文方法有效地避免了人为干扰因素的影响，能够自适应地获得全息重构图像，且重构图像的分辨率逼近实验系统。

图7 USAF1951分辨率板的重构结果：（a）全息图；（b）本文方法和先验模板滤波窗，Auto代表本文所提的自适应滤波窗，MB代表先验模板滤波窗；（c）自适应频谱滤波窗获得的三维重构图像；（d）先验模板滤波窗获得的三维重构图像；（e）（c）图的部分放大图；（f）（d）图的部分放大图Fig.7 Reconstruction images of USAF 1951 resolution chart：（a）Hologram；（b）Filtering windows，MB and Auto represent filtering windows of the prior template filtering and adaptive spatial filtering of this paper，respectively；（c）and（d）are the reconstructed intensity images of adaptive spatial filtering and the prior template filtering，respectively；（e）Enlarged region labeled in（c）；（f）Enlarged region labeled in（d）

图8 分辨率板第8组第2单元重构靶线的一维轮廓Fig.8 One-dimensional intensity profiles of element 2 of group 8 in reconstructed intensity images

5 结 论

本文对全息频谱进行了理论分析，通过全息的频谱相位的理论分析及其频谱相位和频谱振幅的分布特点，提出了利用频谱相位的最大值定位正一级频谱区域的方法。通过微孔阵列和相位台阶的重构实验，得到了微孔阵列的高度标准偏差仅为1.5%；相位台阶的高度标准偏差为4.2%，证明了本文方法能够精确地定位正一级频谱区域。此外，通过USAF1951分辨率板的重构实验，论证了本文方法获得的重构图像比基于先验模板滤波窗获得的重构图像的质量更好，分辨率达到1.74μm。本文方法解决了自适应频谱滤波区域定位时依赖先验模板滤波窗或者参考光波倾斜角的问题，避免了人为因素带来的误差影响，为全息自适应频谱滤波及自适应测量等提供了方法和数据支撑。