高中数学教学中利用导数讨论含参函数单调性的策略

马志芳

【摘要】导数是研究函数的重要工具，而利用导数来判断函数的单调性也是高考重点考查的内容之一。但当函数含有参数时，问题往往会变得复杂，运算也会变得繁琐。含参函数的单调性的讨论考查学生的分类讨论思想、数形结合思想和转化与化归等数学思想方法，以及学生分析问题和解决问题的能力。

【关键词】高中数学;导数;参数;单调性;分类讨论;方程的根

一、利用导数求含参函数单调性的实质

导数是高中数学新增内容，给高中数学注入了新的活力。利用导数方法往往会比传统的初等方法显得更简便、更易行、更有效。特别是在研究函数的单调性方面，对于不含参数的函数用导数来判断函数的单调性，其一般步骤为：1.确定函数y=f（x）的定义域;2.求导函数 f'（x）;3.在函数f（x）的定义域范围内解不等式f'（x）>0 或f'（x）<0，很容易写出函数的单调区间。但是当函数中含有参数时，往往需要讨论，讨论含参函数的单调性过程中，如何确定分类的标准，分类时怎样做到不重不漏，是学生学习的重点，也是难点。在研究如何分类之前，我们应该问学生两个问题：

1.在求单调性时遇见参数一定要分类讨论吗？

2.求含参函数的单调性需要讨论时，讨论的关键点是什么呢？

例如，求f（x）=lnx -ax2（a>0）的单调性，f'（x）=-2ax，令f'（x）=0，因为a>0，x>0，解得x= ，则可以得到f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减。此函数含有参数，但求导后却没讨论，是因为f'（x）=0的根是确定的。利用导数研究含参函数的单调性，需要讨论是因为方程f'（x）=0的根不确定，参数影响f'（x）=0有没有根？有几个根？根在不在定义域内？有两个以上的根的时候，根的大小？讨论参数的目的是要化不确定为确定，通过对参数的分类使得刚才的问题能确定下来，从而写出函数的单调区间。这就是通过导数研究含参函数单调性的本质，从而我们得到用导数求含参函数单调性的步骤：

1.求函数的定义域;

2.求导函数f'（通分化为乘除式，便于正负讨论）;

3.找f'（x）=0的根（有没有根？有几个根？根在不在定义域内？根的大小？）;

4.标数轴，判正负;

5.结合图像定增减。

二、导数为一次函数或类一次函数型的函数单调性讨论

导数为含参的一次函数型，将求解不等式ax+b>0（<0）①a=0时单独讨论②讨论a>0和a<0时，还要注意单调区间必须包含在定义域内。

例如：已知f（x）=ax+lnx（a∈R） ，讨论f（x）单调性。

f'（x）=a+=，令ax+1=0，此方程的根的情况由a的正负和是否为0来决定，所以分三类：①a=0时，无根，同时f'（x）>0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单增;②a>0时，有负根，不在定义域内，此时，情况同①;③当a<0时，方程有正根- ，画出一次函数的图像，结合图像很容易得出，f（x）在（0，-）单增，在（-，+∞）单减。

导数为一次函数的讨论相对比较简单，根据定义域转化为方程根的分布问题;根在定义域的左右两边（左中右）几种情况研究;习惯画出导函数图像，数形结合判断原函数单调性。同时，还有一些导数是类一次函数型的单调函数，如，ex+a，aex+1，讨论的方法同一次函数型类似。

三、导数为二次函数或类二次函数型的函数单调性讨论

导数为含参的二次函数型，转化为二次函数的图像分析，当二次项系数含参不确定时，结合定义域对其分类讨论;然后根据其对称轴、判别式、特殊点等情况结合其图像来分类讨论。当二次函数能分解因式，则应优先考虑分解因式求出函数零点，即f'（x）=0的根，当零点大小不确定时，结合定义域对零点的大小进行分类讨论。

例如：已知函数f（x）=a2x2-ax-lnx，讨论f（x）的单调性。

解：定义域：（0，+∞）

f'（x）=2a2x-a-==

.

①当a=0时，f'（x）=<0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减;

②当a>0时，- <0<，x>0令f'（x）>0，即>0，解得a>;令f'（x）<0，即<0，解得0

∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增;

当a<0时，<0<-，x>0，

令f'（x）>0即>0解得x>-，

令f'（x）<0，即<0，解得0

∴f（x）在（0，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增。

综上，当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减;

当a>0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增;

当a<0时，f（x）在（0，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增。

导数为二次函数时，一定要先考虑能否分解因式，若不能，则要先求出△，讨论二次函数的判别式△，先考虑△≤0的情况，再考虑△>0，因为当△≤0 时，往往恒为正（负），此时，f'（x）的符号就可以较为容易判断出来，先将这一部分问题解决后，再解决△>0时的部分;当△>0 时，对应方程=0有两个不同的根，需要进一步讨论x1，x2。这一块主要讨论两点：①x1，x2 之间的大小关系;②x1，x2 是否在定义域或题目条件指定的区域中。这一部分运算往往比较繁琐，讨论容易出现混乱，解答时思路要清晰，同时还要有耐心。解答这类问题时，要严格按照上面的步骤和要求，有序进行，解答的过程才能更加全面和彻底，不会有遗漏，如，讨论函数f（x）=ax2-x+lnx的单调性。此外，导函数有两个根的函数，可以类比二次函数来研究。可能出现的类型，一般是一次函数与指数、对数函数，三角函数的组合：（x-1）（lnx+a），（x-a）（lnx+1），（x-1）（ex+a）（ex-1）（ex+a）（ex-1）（aex+1），（x-）（cosx -）.

例如：已知函数f（x）=aexx-2aex-x2+x，求函数f（x）的单调区间。

解：f'（x）=（x-1）（aex-1）.

①當a=0时，f'（x）=-（x-1），

若x>1，则f'（x）<0，f（x）单调递减，

若x<1，则f'（x）>0，f（x）单调递增。

②当a<0时，若x>1，

则f'（x）<0，f（x）单调递减;

若x<1，则f'（x）>0，f（x）单调递增.

③当a>0时，

若00即为（x-1）（x-ln）>0，

可得x<1或x>ln;

f'（x）<0，即为（x-1）（x-ln）<0，

若a=，则f'（x）=（x-1）·（ex-1-1），f（x）在R上单调递增。

若，则f'（x）>0，即为（x-1）（x-ln）>0，可得x>1或x

f'（x）<0，即为（x-1）（x-ln）<0，可得ln

综上可得：

当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（1，+∞）;

当a=时，f（x）的单调递增区间为R;

当a>时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），（-∞，ln），单调递减区间为（ln，1）;

当0

在我们用导数研究函数单调性时，会碰到各种形式的含参导数，面对这一类型的题目时，我们要鼓励学生不要轻易放弃。只要我们抓住利用导数研究含参函数单调性的本质是从导函数的变号零点在定义域中存在的问题入手，关注定义域的限制，遵循先特殊后一般的原则;以f'（x）=0的根的个数及大小关系为线索分类讨论，按照上述的步骤和要求依次执行，很多问题都会柳暗花明。正所谓，“高中导数作用大，函数单调多亏它，遇到参数不可怕，寻根来问分类答”。

责任编辑  温铁雄