一个与Wallis不等式有关的单调增加数列

杨天虎

(酒泉职业技术学院新能源工程系，甘肃酒泉735000)

1 引 言

2 预备知识

2.1 基本公式[4]

(1)

(2)

当n≥2时，由(1)和(2)式得

(3)

2.2 引理

设有函数

f(x)

(4)

则当x>2时，f(x)∈(1，+∞)为严格单调减少函数.

3 证明定理

3.1 数列{pn}的极限

由(1)和(2)式得

(5)

代入(5)式得

即

同理可得

所以

由此可得

(6)

3.2 数列{pn}的单调性

因

(n-1)2(256n4+64n3+848n2+200n+105)[256(n-2)4-64(n-2)3+848(n-2)2-200(n-2)+105]

=65536n10-655360n9+3084288n8-8945664n7+18165504n6-27793920n5+30402272n4-19415936n3

+5603265n2-1403010n+893025.

n(n-2)(256n4-64n3+848n2-200n+105)[256(n-2)4+64(n-2)3+848(n-2)2+200(n-2)+105]

=65536n10-655360n9+3084288n8-8945664n7+18165504n6-27793920n5+30402272n4-19415936n3

+5603265n2-1403010n.

所以

其中n≥3，由(4)式得

(7)

所以，{Jn}为严格单调减少数列.

由(6)式得

p2n-1

(8)

所以，{Kn}也为严格单调减少数列.

p2n

(9)

由(8)和(9)式得

p2n-1

(10)

3.3 改进的双边不等式

由定理的结论(i)，可得

则

(11)

同时

(12)

则

(13)

由(11)和(13)式得

(14)

定理的结论(ii)得证，定理证毕.

4 误差分析与计算

设

因

UnSn=(256n4-64n3+848n2-200n+105)(n+1)(256n4+960n3+2192n2+2328n+945)

=65536n9+294912n8+946176n7+1935360n6+3005184n5+3362688n4+2141984n3

+621360n2+154665n+99225，

VnRn=n(256n4+64n3+848n2+200n+105)(256n4+1088n3+2576n2+3112n+1473)

=65536n9+294912n8+946176n7+1935360n6+3005184n5+3362688n4+2141984n3

+621360n2+154665n.

所以，(14)式的估值误差为

(15)

文献[1]给出的不等式为

(16)

文献[2]给出的不等式为

(17)

文献[3]给出的不等式为

(18)

比较(16)和(18)式，可得

可以看出，(18)式优于(16)式.

比较(14)和(17)式，可得

可以看出，(14)式优于(17)式.

从估值误差上看，显然(14)式均优于(16)-(18)式.

5 Wallis不等式

由(1)和(14)式得

(19)

显然，(19)式优于由(1)式与(16)-(18)式得出的Wallis不等式，同时也优于文献[5-7]给出的Wallis不等式，具体分析讨论见文献[3]，这里不再赘述.

由(2)和(14)式得

(20)

6 结 论

注 在Mathematica软件下计算的部分结果

In[1]∶=Expand[(x-1)2(256x4+64x3+848x2+200x+105)(256(x-2)4-64(x-2)3

+848(x-2)2-200(x-2)+105)]

Out[1]=893025-1403010x+5603265x2-19415936x3+30402272x4-27793920x5+18165504x6

-8945664x7+3084288x8-655360x9+65536x10

In[2]∶=Expand[x*(x-2)(256x4-64x3+848x2-200x+105)(256(x-2)4+64(x-2)3

+848(x-2)2+200(x-2)+105)]

Out[2]=-1403010x+5603265x2-19415936x3+30402272x4-27793920x5+18165504x6

-8945664x7+3084288x8-655360x9+65536x10

In[3]∶=Expand[256(x+1)4+64(x+1)3+848(x+1)2+200(x+1)+105]

Out[3]=1473+3112x+2576x2+1088x3+256x4

In[4]∶=Expand[256(x+1)4-64(x+1)3+848(x+1)2-200(x+1)+105]

Out[4]=945+2328x+2192x2+960x3+256x4

In[5]∶=Expand[(256x4-64x3+848x2-200x+105)(x+1)(256x4+960x3+2192x2+2328x+945)]

Out[5]=99225+154665x+621360x2+2141984x3+3362688x4+3005184x5+1935360x6

+946176x7+294912x8+65536x9

In[6]∶=Expand[x*(256x4+64x3+848x2+200x+105)(256x4+1088x3+2576x2+3112x+1473)]

Out[6]=154665x+621360x2+2141984x3+3362688x4+3005184x5+1935360x6

+946176x7+294912x8+65536x9

In[11]∶=Expand[256(2x)4-64(2x)3+848(2x)2-200(2x)+105]

Out[11]=105-400x+3392x2-512x3+4096x4

In[12]∶=Expand[256(2x)4+64(2x)3+848(2x)2+200(2x)+105]

Out[12]=105+400x+3392x2+512x3+4096x4

In[13]∶=Expand[256(2x)4+1088(2x)3+2576(2x)2+3112(2x)+1473]

Out[13]=1473+6224x+10304x2+8704x3+4096x4

In[14]∶=Expand[256(2x)4+960(2x)3+2192(2x)2+2328(2x)+945]

Out[14]=945+4656x+8768x2+7680x3+4096x4

In[15]∶=Expand[256(2x+1)4-64(2x+1)3+848(2x+1)2-200(2x+1)+105]

Out[15]=945+4656x+8768x2+7680x3+4096x4

In[16]∶=Expand[256(2x+1)4+64(2x+1)3+848(2x+1)2+200(2x+1)+105]

Out[16]=1473+6224x+10304x2+8704x3+4096x4

In[17]∶=Expand[256(2x+1)4+1088(2x+1)3+2576(2x+1)2+3112(2x+1)+1473]

Out[17]=8505+25104x+29504x2+16896x3+4096x4

In[18]∶=Expand[256(2x+1)4+960(2x+1)3+2192(2x+1)2+2328(2x+1)+945]

Out[18]=6681+21232x+26432x2+15872x3+4096x4

致谢在此感谢审稿老师给本文的宝贵意见.