激起兴趣 引发思考 掌握方法

[摘  要] 教师在教学中要注重引导学生用自己学过的知识寻找解决问题的方法. 研究者以“二元一次方程组的应用”的教学为例，让学生对比体会方程（组）的优越性，从问题的“启”到学生的“悟”，教学中注重引导与铺垫、转化与类比，使教学难点得到突破，学生思维能力得到提升、兴趣得到激发，让学生知晓问题中所蕴含的数学思想和方法，最终掌握通过寻找等量关系列出二元一次方程组解决问题的方法.

[关键词] 数学文化;方程;数学思维;数学素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经明确提出，课程实施要以不断发展学生的核心素养为宗旨. 课程目标已经从学科体系走向课程育人，教学目标已经从知识记忆走向知识应用[1]. 数学课堂作为数学教学主阵地，应提供合适的学习素材作为载体将学科知识与社会生产生活相联系，在教学中给学生提供更多贴近其生活的真实生活场景和问题情境，讓学生意识到数学真实、数学有用、数学好玩，引导学生从解题走向解决问题！笔者在执教“二元一次方程组的应用”一课时，以“激起兴趣、引发思考、掌握方法”为教学目标展开教学，使教学难点得到有效突破，学生的思维能力得到有效提升.

备课思考

（一）学情分析

学生在本节课之前学习了一元一次方程的解法与应用，由于刚从小学升入初中，长期受到小学列算式解应用题的固化解题方式的影响，不少同学不习惯利用方程来解决应用题，觉得“麻烦”（一是书写麻烦，二是计算麻烦），觉得将实际问题数量关系转化为方程问题是“多此一举”. 实际上，学生从“算术”到“方程”需要经历一个适应过程，课本在前一章安排的内容是“用字母代替数”，本章是进一步提升学生符号意识. 本节课作为“二元一次方程组的应用”第1课时将是一个教育契机，利用具体问题让学生通过探究、分析、对比等过程，感悟“现实原型”可以抽象为“数学模型”——方程模型，逐步理解方程这一数学模型对解决数量关系具有直观、易懂且不易忘记等优点. 通过学习，学生不断积累解决和分析问题的基本经验，并将这些经验迁移运用到后续学习中去（如函数、不等式等），逐步达到理解和掌握.

（二）教材分析

教材在本章章前部分给出了一道选自《孙子算经》中的历史名题——雉（鸡）兔同笼问题. 教师备课时应充分发挥教材在教学和学习中的潜在功能，教材是文化传播的重要载体，教材的编者也将数学文化渗透在整套教材中，让学生感悟数学的应用价值，促进学生主动学习，真正把提升数学素养作为教学目标. 这道有趣的数学问题学生早已熟悉，考虑到不同学段学生认知不同这一特点，安排在这里一方面是说明数学在生活中的应用，另一方面也是想让学生了解数学在人类文明发展中的重要作用，激起学生学习数学的兴趣. 更重要的是让学生在小学知识的基础上再思考，进一步发展学生的应用意识和创新意识，通过思考、对比促进学生思维更深层次、更高质量的发展，不断积累知识、方法、策略，进行新、旧知识比较，从而更好地掌握解决问题的方法.

教学过程

（一）抛出考题，激起兴趣

出示一组安徽近几年中考真题（如表1）.

提出问题：为什么中考要考这些问题？

一是考查文本阅读能力，将生活情境数学化提炼;二是考查数学建模意识，也就是应用能力. 通过情境的“数学化”提炼并解决，考查学生数学核心素养;三是对中国传统文化的宣传具有重要的教育意义，能激发学生的民族自豪感.

（二）回归课本，感受史话

回到“鸡兔同笼”这一历史名题：今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94足，雉兔分别有几只？

介绍问题背景：选自1500年前《孙子算经》下卷第31题.

提出问题：同学们还能记得小学的做法吗？

此时有许多学生表示忘记了，笔者找了一位还记得的同学分享解法思路，运用的解题策略是假设法：假设全为鸡，因为鸡有2只足，则共有70只足，而问题说共有94只足，说明不可能都是鸡，因为每只兔子比每只鸡多2只足，要多出94-70=24只足，则说明一共有12只兔子，从而有23只鸡.

算式如下：94÷2-35=12，35-12=23.

笔者引导学生思考，小学熟悉的问题为什么会忘记了？有的学生回答“靠记忆和模仿”，有的学生回答“不好推导”，有的学生回答“逆向思维不好理解”……

笔者发现《孙子算经》给出的解法是这样的：让金鸡独立，兔子站立，则一共有47只足，这样1只鸡（头）1只足，1只兔子（头）2只足，35个头47只足，从而得出兔子12只，鸡23只. 和学生表述的方法类似，这种解法是借助表格分析头和足的变化关系，进而梳理出数量关系，这就需要学生充分读懂题意（分析鸡、兔子头与足的变化关系），把问题聚焦在足的变化分析上，经历先直观再抽象的分析过程.

问：我们刚学了一元一次方程，能不能用一元一次方程来解决这个问题呢？

若设鸡有x只，则兔子有（35-x），根据足的关系得出方程2x+4（35-x）=94.

解得x=23，从而鸡有23只，兔有12只.

能不能用二元一次方程组解决呢？本题有鸡和兔子两个未知量，有什么关系呢？

列出表格（如表2）：

从而鸡有23只，兔有12只.

其实二元一次方程组用加减消元法将第二个方程两边除以2再减去第一个方程得出y=12，与列算式方法本质上是一样的. 另外算术法、方程法思维起点也是一致的，算式通过假设数值，得出变化关系;方程直接假设未知量.

问：你更喜欢哪一种解法呢？

设计意图  通过回忆小学做法，结合新学内容，培养学生面对问题的决断力和谋划力，增加了趣味性，能引发学生的思考，体验数学问题不同处理策略的优缺点，感受数学的魅力，体会学习的动力源泉——学以致用. 但是由于“鸡兔同笼”问题学生太过于熟悉，有些同学“不认可”利用方程组解决问题的优越性.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D

順势抛出下一个问题：

《九章算术》记载：以绳测井. 若将绳三折测之，绳多五尺;若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？

让同学们根据自己的喜好自由选择方法来解决，可以用算式，也可以用一元一次方程、二元一次方程组，并讨论各自的方法.

三种方法分别让一名学生说明所写式子的含义，并分析比较各自方法的特点与好处.

算式：需要找出数据之间隐含的关系，往往需要结合图形辅助分析，较为抽象和晦涩，一旦算式列好计算较为简单，而且步骤少、计算少，虽简约但不简单！

方程（组）：只需要设出未知数，寻找未知数之间的数量关系，最好是直接的关系，这样就直接“翻译”出等式，进而计算即可，往往看起来书写的内容多，但是直观、思维含量低.

教师总结：算术法——思维是逆向思考，隐含关系难发现，需要借助综合分析方能得出结果.

方程法——通过设未知数，把未知数当成已知量，只需要列出问题中的相关代数式并建立数量关系即可. 在思维上顺向，更直观和方便，具有很大优越，特别是有些问题很难发现数量之间的算式关系，但用方程法却很简单. 方程具有更广泛的应用性、普及性.

再次让学生们辨析三种方法的优劣，感受方程的魅力——普遍性、直观性、优越性！列算式需要反复转译数量运算关系，从一种运算转译成其逆运算，有时较为抽象，思维较为复杂，而列方程则可以直接将数量关系翻译出来，较为直接和简便.

最后引导学生审视列方程的过程，总结出列方程组解决实际问题的步骤：

寻找等量关系、设未知数、列出方程、最后解和答，让学生经历“模仿”，当问题所求有两个未知量时，必须找到两个等量关系，组成二元一次方程组求解.

例题讲解：

李先生从家到公司去上班要先经过一段平路再过一段下坡路. 他走平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家到公司需要10分钟，从公司到家需要14分钟，求李先生家离公司有多少米？

提示：尝试画出示意图（如图1），可帮助找到等量关系.

课后思考  有人说：“凡可用二元一次方程组解决的问题，都可用一元一次方程来解决. 因此，在学过一元一次方程后没有必要再学二元一次方程组了.”对此，谈谈你的看法[2].

设计意图  通过例题让学生再次思考解决问题的过程，从中归纳解题步骤，形成解题策略并深刻理解，真正发展解题思维. 对于问题中未知量之间有和、差、倍、分或者有明确的数量关系的情况下，用一元一次方程或者二元一次方程组都可以，遵循简洁为主. 体会方程的一般性、概括性，是刻画现实生活一个有效的数学模型.

教后反思

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确要求将数学文化融入课程内容，从而使数学文化从学术形态进入课程形态. 数学文化要发挥育人功能，需要教师不失时机地在课堂中介绍、展示以及解读，对考题中出现的数学文化考查进行必要的加工，确保生动有趣而又体现数学应用，充分发挥数学文化的人文价值，引导学生发现数学与生活的联系.

本节课在学生刚学完一元一次方程及其应用和二元一次方程组解法的基础上，通过章前“鸡兔同笼”图的使用，引导学生寻找解决问题的策略，让学生用自己已学过的知识尝试解决，不仅让学生了解到习题背后的文化内涵，更让学生知晓问题中所蕴含的数学思想和方法，掌握解决这一类问题的策略. 而且通过引入能激发学生兴趣，利用几个问题的解决强化方程模型思想，感受运用对比体会方程（组）的优越性以及将问题简单化（列表或画示意图）的转化思想. 这既是一元一次方程组解应用题的巩固，也为后面三元一次方程组应用做好了铺垫.

通过教师的问题“启”到学生的“悟”，教学中注重引导与铺垫、转化与类比，使教学难点得到有效突破，学生的思维能力得到有效提升. 学生在问题引领下兴趣得到激发，充分参与数学活动，形成数学思考[3]，最终掌握了通过寻找等量关系列出二元一次方程组解决问题的方法.

在数学素养培养中学生除了应具备坚实的数学基础知识和熟练的数学基本技能，还应掌握一些探究数学问题的经验和方法. 初等教育阶段学生的经验和方法主要来自于学生自己的观察和对老师的模仿，教师的课堂设计就显得尤为重要. 教师要让学生进行有效的思考与探究活动，让学生经历思维发生过程，问题解决的探索过程，新旧问题的转化过程，问题的发现、提出和解决过程，潜移默化地帮助学生积累数学活动经验.

作为教师应精心创设问题情境，以学生为中心，以问题为思维载体，适时点拨，让学生体验成功，让学生“动”起来，激发学生的学习欲望，引发学生的思考，促进学生主动学习、自觉迁移，从而真正提升数学能力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]新时代数学编写组. 数学教师用书（七年级上册）[M]. 上海：上海科学技术出版社，2014.

[3]武前炜. 问题引领让课堂焕发活力[J]. 中学数学教学，2020（02）：35-38.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D