高一数学测试

2022-06-22

高中数学教与学 2022年9期

关键词：虚数大题摩天轮

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，计40分)

1. 已知复数z=(1-i)(1-2i),其中i是虚数单位,则z的虚部为( )

(A)-3 (B)3 (C)-3i (D)3i

2. 已知向量a=(1,2),b=(-4,m),若a与b垂直,则实数m=( )

(A)2 (B)-2 (C)-8 (D)8

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(A)30° (B)60°

6. 明朝早期,郑和在七下西洋过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海,形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位,其采用的主要工具为牵星板.由12块正方形木板组成,最小的一块边长约为2厘米(称一指).观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂垂直,眼睛到木板的距离大约为72厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下边缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,与其相切,依高低不同替换调整木板,木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为九指板,则tan 2α=( )

8. 已知向量a=(cos 20°,cos 70°),b=(sin 10°,sin 80°),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为( )

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,计20分)

9. 已知复数z在复平面上对应的点为Z(3,-1),i为虚数单位,则下列正确的是( )

(A)z=-1+3i (B)|z|=10

10. 已知m,n是实数,a,b,c为向量,则下列运算中正确的有( )

(A)(m-n)a=ma-na

(B)若ma=mb,则a=b

(C)(a·b)·c=a·(b·c)

(D)(a+b)·c=a·c+b·c

(A)最大值为2

(B)是偶函数

(B)∆ABC三个内角A,C,B满足关系A+B=2C

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,计20分)

14. 若平面向量m,n满足|m|=2,|n|=3,且|3m-2n|=6,则m与n夹角的大小为______.

四、解答题(本大题共6小题,计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知复数z1=a+3i,z2=2-ai(a∈R,i虚数单位).

(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值.

(1)求AM的长;

(2)求∆ABC外接圆半径.

20.(本小题满分12分)亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是聊城的地标建筑,也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P距地面的高度,选取了与点P在地面上的射影A在同一水平面内的两个测量基点B,C(如图所示);现测得∠ABC=∠ACB=∠ACP=30°,B,C两点间的距离是390米.

(1)求最高点P距地面的高度PA;

(2)若摩天轮最低点Q距地面的距离QA=20米,开启后按逆时针方向匀速旋转,转动一周需要20分钟，从游客进入摩天轮位于最低点Q处的轿厢开始计时,转动t分钟后距离地面的高度为h米.若在摩天轮所在的平面内,以PQ的中点为坐标原点,PO所在直线为y轴建立平面直角坐标系,求在转动一周的过程中,h(单位:米)关于t(单位:分钟)的函数解析式.