立足概念教学，培育核心素养

李艾

【摘要】核心素养的发展打破了传统的教育理念与课堂模式，数学核心素养包含以下六大方面：邏辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。在高中数学概念教学中，尤其需要重视对学生的核心素养的培养。本文以《三角函数的概念》为例，借助课堂实录，以问题串的形式阐述了如何设计合理的教学方案，把握教学内容的本质，逐渐渗透数学素养。

【关键词】高中数学;核心素养;概念教学;三角函数的概念;教学设计

数学教育基本理念是“以学生的发展为本，立德树人、提升学生的核心素养，培养学生的科学精神和创新意识，实现不同学生的不同发展，培养具有终身学习能力、适应社会需要的人才”，数学的本质实际上是数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼以及数学理性精神的体验，教师通过问题的驱动引导学生在课堂中通过活动探究分析、解决问题，学生在活动的探究过程中，通过体验数学知识的形成过程，体会数学原理的理性精神和科学精神，并在知识的探索过程中逐步摸索其中包含的数学思想方法、数学研究工具，掌握和理解数学的本质，提高学生学习的能力，最终实现学生发展。因此，在数学课堂中通过问题的驱动，使学生在知识自然生成中掌握数学的本质是有效而合理的教学方法，这个教学模式也可以为现在的数学教育改革找到新的方向。

笔者实录了“三角函数的概念（人教A版2019） ”一课，对教学进行分析评价，加深学生对“三角函数的概念”的理解，培养学生的学习能力，从而实现学生的素养的发展。

一、课堂实录（节选片段）

1.在活动中完成数学抽象

创设情境，提出问题1：深圳美丽的“湾区之光”，坐落在深圳的前海湾之畔，半径约56米，转动一圈约36分钟。当摩天轮一圈又一圈重复转动时，上面的轿厢就在做周而复始，循环往复的运动。现已知某游客乘坐在客舱P，从距离地面最近的位置A出发，转盘逆时针方向匀速旋转。如何刻画（描述）摩天轮中客舱P的位置变化？

师生活动：在教师的引导下得出摩天轮上座舱P的运动可以近似看做质点在做圆周运动。

设计意图：通过自然而真实的问题让学生感受三角函数的实际背景。引导学生从数学建模的角度研究运动、变化规律，学会用数学的角度看世界，体现三角函数概念引入的必要性，为抽象三角函数做准备。

2.在活动中建成数学模型

问题2：如下图所示，圆O上的点P以A为起点，做逆时针方向旋转。用哪些变量刻画（描述）点P的位置变化？

师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，得出描述点P的变量有圆的半径，圆的位置，角速度、时间、角a的终边位置、点P的坐标等。

追问：当确定圆心和半径后，P点的位置是否由角a的终边唯一确定呢？

设计意图：通过逐步引导学生筛查变量，最终确定刻画点P的变量为角a、点P的坐标，让学生在此活动中体验数学建模过程中寻找变量——筛查变量环节。

问题3：单位圆O上的点P以A为起点，做逆时针方向旋转。能否建立一个函数模型刻画（描述）点P的位置变化？

追问1：什么是函数？

追问2：根据圆的对称性该如何建系呢？

问题4：如何把角a与点P（x，y）的坐标的对应关系转化到数集到数集的对应关系呢？

师生活动：对于R中的任意一个角a，它的终边OP与单位圆交点为p（x，y），无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的。这里有两个对应关系：f ：实数a（弧度）对应于点P的纵坐标y;g ：实数a（弧度）对应于点P的纵坐标x。

设计意图：通过问题链引导学生逐步寻找到合适的变量来刻画“周而复始”的匀速圆周运动，体会数形结合思想方法，学习用数学的思维思考世界。

3.在已有的数学现实上构建概念

例1：根据“点P的纵坐标y，横坐标x都是角a的函数”的关系，求f（a）、g（a）.

设计意图：通过实例运算，帮助学生进一步理解“角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角a（弧度）的函数”，并引出三角函数的定义。

问题5：任意角三角函数与初中所学锐角三角函数的区别与联系是什么？

设计意图：找到锐角三角函数与任意角三角函数的区别与联系，使学生体会两个定义的相融性。

4.在计算中进一步深化概念

例2：已知角a终边上的点，求角a的正弦、余弦和正切值。

师生活动：提问学生，教师再总结出从定义出发求三角函数值的步骤，并得出最终答案。

设计意图：通过对三角函数概念的简单应用，理解用定义求三角函数值的基本步骤，进一步深化定义的内涵。

问题6：已知角终边上的任意一点，如何求它的三角函数值？

变式1：已知角a的终边经过点p（-12，5），求角a的正弦、余弦和正切值。

变式2：已知角a的终边经过点p（x，y），求角a的正弦、余弦和正切值。

师生活动：1.教师引导学生根据定义作图表示sina、cosa、tana;2.学生观察所做的图形，找出点P的横纵坐标与sina、cosa、tana的关系，并写出相应答案。由变式1的特殊情况引导学生观察分别表示什么，并找到它们与任意角a之间的关系。3.学生给出相应的证明。

设计意图：通过分析题目，引导学生找到两个三角形，并利用它们的相似关系，通过三角形的定义来证明，深化学生对定义的理解，让学生从另一个角度来理解三角函数的定义，培养学生的直观想象和逻辑推理素养。

5.在小结提升中，形成结构

师生活动：学生回答下列问题：三角函数的概念是什么？三角函数是用来刻画“周期运动”的函数模型，你能从定义中体会到这一点吗？知道角终边上的点如何求三角函数值？在建构三角函数的概念过程中，我们采用了怎样的探究过程与方法？5FD3B7F4-E4D7-438E-ABC8-CB991A41398C

设计意图：学生通过回顾本节课构建的知识和应用的方法，积累研究数学问题的方法与活动经验，学会学数学。

二、感悟结语

本节课的指导思想是从发展学生的核心素养出发，将任意角三角函数的概念课作为载体，使数学抽象的三个阶段真正落实在课堂教学中。以“如何描述周期现象”为出发点，让学生体验“周期现象——圆周运动——单位圆上质点的旋转运动”，明确研究对象，形成第一次抽象;分析变量，锁定变量，找出变量的对应关系，形成第二次抽象;最后给出定义，用数学的符号语言加以表达，完成第三次抽象。

在学习三角函数概念之前，学生已经对函数的一般概念、幂函数、指数函数及对数函数有一定的认知和研究。这些认知准备对分析“周而复始”运动变化中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到引导作用。但是，之前学习的基本初等函数，涉及的变量比较少，解析式都有明确的运算定义，在三角函數中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不是代数运算关系，是“a与x，y 直接对应”，是不需要计算的。虽然角a，x，y都是实数，实际上是“几何元素之间的对应关系”。因此，三角函数中的这种对应关系，与学生的已有经验认知相差较大，由此产生了一大难点就是理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的位置的变量筛查和对三角函数的对应关系的理解。

为了突出重点，突破难点，在本节课的教学中，笔者设定了这样的逻辑主线：1.情境铺垫出来的第一步就是研究在圆周运动中，点P位置的刻画;2.模型构建过程的因素分析，通过变量筛查和分析，锁定角度和坐标刻画点P;3.怎样建立角度与坐标的函数关系。

通过本节课，笔者认为，数学的本质是数学学习的核心，在数学教学中教师应瞄准学生如何“学习”，而不是把知识直接呈现给学生，让学生参与到课堂，唤醒学生的思考能力，让学生在探究思考的过程中能够理解知识的生成过程，体会到数学学习的方法、工具，从而培养学生的学习能力。

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准（ 2017年版2020年修订）[S].人民教育出版社，2020.

[2]郑梦华.促进自然生成 凸显数学本质——以“三角函数的概念”教学为例[J].中学教学研究，2021（11）.

[3]宋扣兰.基于发展学生核心素养的高中数学核心概念教学设计研究[J].数理化解题研究，2021（33）.

责任编辑  钟春雪5FD3B7F4-E4D7-438E-ABC8-CB991A41398C