综合除法在求解矩阵多项式的逆矩阵中的应用

摘要：综合除法是代数学中一种常用于解决多项式除以多项式，或多项式的因式分解等问题的简便算法，结合教学实践，本文将综合除法应用于除式为一次矩阵多项式和二次矩阵多项式情形下的求解其逆矩阵的实例中来，进行了例题验证，进而培养学生多角度、多思路创新融合知识点解决数学问题的能力和兴趣。

关键词：矩阵多项式;逆矩阵;综合除法

1.引言

若 为 阶方阵， 是关于方阵 的矩阵多项式，且满足 ，同时给定矩阵多项式 ，且，其次数不高于 的次数，若存在多项式 ，使得 ，则称 和 互为逆矩阵。

而综合除法是代数学中一种常用于解决多项式除以多项式，或多项式的因式分解等问题的简便算法[2]。所以在满足 的条件下，求解给定矩阵多项式 的逆矩阵时，可引入综合除法进行求解，具体算法如下：

（1）将被除式 按 的降幂次序进行排列（如有缺项以“0”补充），将各项的系数依次取出排列在综合除法算式的第一行（如图1所示）;

（2）（以除式 为一次矩阵多项式为例）将 改写为 ，则 即为综合除法算式左侧的除数;

由此可见， 是关于方阵 的三次多项式， 是关于方阵 的二次多项式，关于 的逆矩阵求解依然可通过综合除法得以实现。

2.结论

本文主要是针对于整系数矩阵多项式，在多项式除法的理论基础性上，采用综合除法对一次矩阵多项式和二次矩阵多项式求解逆矩阵进行了例题验证，说明了综合除法在矩阵多项式求解逆矩阵方面的可行性。进而培养学生多角度、多思路创新融合知识点去解决数学问题的能力，培养学生的数学学习兴趣。至于矩阵多项式的可逆性判别，尤其是高次矩阵多项式的逆矩阵是否存在及存在条件，本文将不再进行详尽讨论。

参考文献：

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作者简介：高铭，男，河南济源，汉族，1991.10，助教，硕士研究生，昆明城市学院，研究方向：应用数学。