高阶复线性微分方程整函数解的Borel 方向

李静静， 黄志刚

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

1 引言与主要结果

在文中，假定读者熟知角域中的Nevanlinna 理论，以及复方程理论中的标准记号和基本内容[1-3]，如Nevanlinna 特征函数T（r，f），平均值函数m（r，f）和亏值函数δ（a，f）。

假设0＜α＜β＜2π，记

f 在角域Ω（α，β）中的级定义为

如果f（z）在C 中解析，则f 的级ρ（f）满足ρ（f）≥ρα，β（f）。

f 在角域上、径向上的级分别定义为

相似地，f 在角域上、径向上的零点收敛指数分别定义为

其中n（Ω（θ-ε，θ+ε，r），f=0）代表了f 在角域Ω（θ-ε，θ+ε，r）中零点的个数，且记重数。

1919 年，Julia 在已知皮卡定理的基础上介绍了Julia 方向， 然后开始对亚纯函数奇异方向进行研究，得到了每一个超越整函数至少有一条Julia 方向的结论。 Valiron 根据Borel 定理给出了Borel 方向的定义。

定义1设f（z）是ρ 级超越亚纯函数，射线arg z=θ 称为f 的Borel 方向，若对任意的ε＞0，λθ，ε（f-a）=ρ 成立，至多有两个例外值a∈C∪{∞}。

亚纯函数奇异方向的研究在亚纯函数值分布理论中是一个非常重要的一个模块。其中包括很多个方向，如Hayman 方向、T 方向、Julia 方向、Hayman-T 方向、Borel 方向[4-8]等。 2005 年，伍胜健[9]首次研究了二阶线性微分方程解的Borel 方向，此二阶线性微分方程有如下形式

其中A（z），B（z）和F（z）是整函数。1988 年，Gundersen 研究了二阶线性微分方程解的复振荡理论[10－11]，他考虑B（z）＝F（z）＝0，在这个基础之上，他发现了零点收敛指数与Borel 方向的关系。 2015 年，黄志刚等人[12]研究了关于二阶线性微分方程解的Borel 方向的相关问题，得到了下面的结果。

定理A[12]设A(z)是有限级超越整函数，f1，f2是方程f″+A(z)f=0 的两个线性无关解。令E=f1f2，0≤θ≤2π。假设E 的零点收敛指数λ（E）＝∞，则射线arg z=θ 是E 的Borel 方向当且仅当λθ（E）＝∞。

定理B[12]设A（z），B（z）是有限级整函数，F（z）是超越整函数，且满足如下关系

假设f（z）是方程（1）的一个解，如果arg z=θ 是F（z）的Borel 方向，则对任意一个包含射线arg z=θ 的角域Ω（α，β）都存在f 的Borel 方向，其中β－α＞π/ρ。

下面考虑高阶微分方程

将定理B 推广到一般的情形：

定理1设A0（z），A1（z），…，An-1（z）是有限级整函数，F（z）是超越整函数，且满足

假设f（z）是方程（2）的解，若arg z=θ 是F（z）的Borel 方向，则对任意一个包含射线arg z=θ 的角域Ω（α，β）都存在f 的Borel 方向，其中β－α＞π/ρ。

定理C[12]设0＜c＜1，则方程

的每一个非零解f 一定有mesI（f）≥π，其中I（f）={θ∈[0，2π）:ρθ（f）＝∞}。

下面考虑高阶微分方程

将定理C 推广到一般的情形：

定理2设cs是常数（s=1，2，…，n-1）且满足c1+c2+…+cn-1＜1，其中c0=1，则方程（4）的每一个非零解一定有mesM（f）≥π，其中M（f）为f 的Borel 方向测度集。

2 预备知识

在证明定理之前，需要熟知角域中的Nevanlinna 理论。

其中bv＝|bv|eiβv（v=1，2，…）是函数f（z）在角域Ω（α，β）中的极点，且记重数。 对任意有限的复数a∈C，记

对任意的0＜ε＜π/2k

用σα，β（f）表示Sα，β（r，f）的级，即

引理1[13]设函数f（z）是整函数且0＜ρ（f）=ρ＜∞，则f′（z）的ρ 级Borel 方向也是f（z）的ρ 级Borel 方向。

引理2假设函数f（z）超越整函数，且0＜ρ（f）=ρ＜∞，Ω（α，β）是一个角域，其中β－α＞π/ρ。 如果函数f（z）在角域Ω（α，β）中没有ρ 级Borel 方向，则ρα，β（f）＜ρ。

引理3[14]设z=rexp（iψ），r0+1＜r 且α≤ψ≤β，其中0＜β－α≤2π。 假设n（≥2）是整数，函数f（z）在角域Ω（r0，α，β）中解析且σα，β（f）＜∞，则对任意的，在零线性测度集合之外，存在只依赖于f，ε1，ε2，…，εn-1和Ω（αn-1，βn-1）以及不依赖于z 的正数K、M，使得

对于零测度集合之外的所有z∈Ω（αn-1，βn-1）的点均成立，其中

引理4设函数f（z）是有限下级超越亚纯函数，μ（f）＝μ，且有一个亏值a。 Λ（r）是实函数且当r→∞时，Λ（r）=o（T（r，f）），则对任意固定的μ 级Polya 峰序列{rn}，有

其中DΛ（r，a）被定义为DΛ（r，∞）={θ∈[-π，π）:|f（reiθ）|＞eΛ（r）T（r，f）}，并且对有限的复数a，

引理5[5，15]假设函数f(z)在有限平面上是有限级亚纯函数，其级为λ(0＜λ＜∞)，如果B:arg z=θ0，0≤θ0＜2π是函数f（z）的Borel 方向，则存在一个圆盘序列

引理6[16]假设函数f（z）在角域Ω（α，β）中解析，0＜α＜β＜2π，则有

引理7[17]假设函数f（z）是角域Ω（α，β）中的非常数亚纯函数，其中0＜β－α≤2π，则对于∀aj∈C∞（C∞为扩充复平面），有

其中E 是一个线性测度有限的集合。

3 定理1 的证明

假设arg z=θ∈[0，2π）是F（z）的ρ 级Borel 方向，根据引理5 可知存在一个圆盘序列Γj={z:|z-zj|＜εj|zj|}（j=1，2，…），其中对于整函数来说，∞一定是其皮卡例外值，因此，∞存在于引理5 中的两个球面圆盘中的其中一个。 记z1，z2的球面距离为|z1，z2|，并且可以找到一个点bj∈Dj使得

成立。 因为|bj|=（1+o（1））|zj|，对任意给定的ε＞0，

假设在角域Ω（α，β）中不存在f 的Borel 方向，由定理A 可看出方程（2）的每一个解f 一定满足0＜ρ（f）=ρ＜∞。根据引理1，角域Ω（α，β）中不存在f（k）（k=1，2，…，n）的任何一个Borel 方向，将f（k）应用到引理2 有

成立。因为max{ρ(A0)，ρ(A1)，…，ρ(An-1)}＜ρ（F），将式（5）和式（6）代入方程（2）可得出矛盾，因此，在角域Ω（α，β）中至少存在一条f 的Borel 方向。

4 定理2 的证明

成立，即对任意的i=1，2，…，k，ραi，βi＜+∞。由Sαi，βi（r，f）的定义知，σαi，βi（f）＜∞。由引理3 可知对于充分小的ε＞0，存在两个常数M＞0，K＞0 使得对于一个去掉零测度集H 之外的所有点

成立。 将函数ez应用到引理4，则存在一个1 级的Polya 峰序列{rn}使得rn∉{|z|，z∈H}且当n 充分大时，有

成立，其中Λ（r）=（logr）-1。 不失一般性，假设式（8）对于所有的n 均成立，令D（rn）=DΛ（rn，∞）。 相似地，存在一个开区间使得对于无穷多个j，mes（D（rj）∩（α，β））＞ζ/2k 且

其中Fj=D（rj）∩（α+2ε，β-2ε），Fj+=Fj∩T+，Fj-=Fj∩T-。

情形1当j→∞时mes（Fj-）→0，则

运用式（7）重新写方程（4），根据多项式函数的定义可得

显然可知mes（Fj+）＞ζ/2k-4ε，取充分小的ε＞0，

因为c1+c2+…+cn-1＜1，所以从式（9）和式（10）得出矛盾。

情形2当j→∞时由D（rn）的定义知

运用式（7）再次书写方程（4），得

即

由于c1+c2+…+cn-1＜1，可以看出当j→∞时mes（Fj-）→0，与假设矛盾。

故一定有

下证若ρθ（f）＝∞，则arg z=θ 是f 的Borel 方向[18]。

设arg z=θ 不是f 的Borel 方向，则根据Borel 方向的定义，至少存在三个点a1，a2，a3使得对于任意的ε＞0，λ＜∞有

即

根据不等式Cθ，ε（r，1/（f-aj））≤2n（r，Ω（θ-ε，θ+ε），f=aj），有

再根据引理7，有

因此arg z=θ 是f 的Borel 方向。 设M（f）为f 的Borel 方向集，显然对于任意给定的θ∈I（f），有θ∈M（f），由式（11）可知mesM（f）≥π。

5 结语

线性微分方程的解的Borel 方向是线性微分方程复振荡理论中重要的一个研究课题。 笔者在前人研究的基础之上，对线性微分方程的解的Borel 方向和自由项的Borel 方向之间的关系进行了推广和改进，并且证明了高阶齐次指数系数线性微分方程的整数解的Borel 方向集具有下界。 但是随着Borel 方向在微分方程复振荡中的进一步发展，仍有许多方向值得继续研究。