炭黑填充橡胶复合材料定子衬套力学特性分析

史金旺，叶俊杰，徐永和，王 涛

(1.西安电子科技大学 机电工程学院，西安 710071;2.盐城市新永佳石油机械制造有限公司，江苏 盐城 224043)

螺杆马达是一种容积式马达，也被称为定排量马达(PositiveDisplacement Motor，PDM)，由于其工作平稳、转矩大，被广泛应用于石油钻井作业[1]。其工作原理是，动力液进入转子和定子相互啮合形成的空腔中，利用压力差驱动转子绕定子做行星运动，再通过与转子相连的万向联轴节将动力传给钻头，从而实现压力能向机械能的转化[2]。

螺杆马达在工作过程中，橡胶衬套与转子不断啮合，衬套容易失效[3]。为了提高螺杆马达的使用寿命和工作稳定性，定子的橡胶衬套的设计和选材一直是螺杆马达优化和改进的重点。刘立江[4]分析了等壁厚螺杆马达定子橡胶的受力特点，并对其厚度进行优化，提出了等应力的定子橡胶衬套，使工作应力降低，提高了螺杆马达定子橡胶的使用寿命。黄晓霞[1]建立了三头螺杆马达的分析模型，并进行了流-固耦合的仿真分析，实现了流体密封腔的动态形成与释放。柳欢欢[3]建立了五头螺杆马达的分析模型，研究了在不同结构和工作条件下螺杆马达定子的橡胶衬套的工作应力和螺杆马达的输出功率，分析了不同参数对螺杆马达工作性能的影响。单永平[5]通过三维动态仿真，研究了压力油黏度、进出口压差、工作阻力矩对螺杆马达输出功率的影响。邵增元[6]针对定子的橡胶衬套在工作过程中热聚集导致性能下降，甚至失效的问题，提出了一种等壁厚橡胶衬套，改善了受力情况，减少了工况下的发热，提高了定子衬套的使用寿命。以上分析主要从螺杆马达的结构和工况入手，并没有从橡胶的材料方面进行突破。因此，提升定子橡胶衬套的材料属性，将是一个新的改进方向。

纯橡胶由于其本身的强度与耐磨性较差，通常添加填料或者助剂对其进行补强与性能优化，例如炭黑颗粒，矿物填料海泡石，纳米填料碳纳米管、石墨烯、蒙脱土等[7]。其中，炭黑颗粒由于其良好的补强与耐候性能，一直以来是橡胶工业中最重要、使用最广泛的补强填料，对橡胶的力学性能有较大提升[8]。胡小玲[9]采用随机序列吸附算法(RSA)模拟炭黑填充橡胶的力学性能，取得了较高的预测精度。安林[10]采用试验验证与数值分析相结合的方法，研究了炭黑填充橡胶的静动态力学性能，对橡胶在压缩过程中的发热现象进行了拟合分析。彭俊彪[11]研究了炭黑质量分数对天然橡胶/顺丁橡胶并用胶拉伸强度、耐磨性、压缩生热等性能的影响。以上研究都集中于炭黑填充橡胶的力学性能分析，没有对炭黑填充橡胶在螺杆马达的定子衬套上的工作性能做出探索。本文结合细观力学和有限元分析方法，研究由炭黑颗粒增强橡胶制成的定子衬套的工作特性，为螺杆马达产品的改进提供新的思路。

炭黑颗粒增强橡胶复合材料有效力学性能的预测是一个难题，需要从微观角度出发。本文采用Aboudi[12]提出的细观高精度通用单胞模型(High-Field generalized method of cells， HFGMC)，建立了炭黑颗粒填充橡胶的三维细观RVE模型，以炭黑含量为体积分数25%的复合橡胶为研究对象，预测炭黑颗粒增强橡胶复合材料的力学性能。将该预测结果赋予螺杆马达的定子衬套，对衬套做静力学分析和流固耦合分析，观察炭黑颗粒对定子的橡胶衬套的增强作用，及其工作性能。

1 HFGMC理论介绍

高精度广义子胞法(HFGMC)是基于渐进均匀化理论分析多相复合材料的一种有效方法。该理论将多相复合材料分为基体相和增强相，增强相位于RVE单元的中心，基体相位于RVE单元的四周。为不同组分赋予不同材料属性，对RVE单元划分网格后，采用有限元计算的方式获得RVE单元的整体力学性能，进而得到复合材料的力学性能[13]。具有周期性微观结构的多相复合材料如图1所示。HFGMC方法不关注复合材料内部各组分的具体分布，而只需要各组分的体积分数、材料属性、相互作用关系，采用统计平均的思想得到整体的力学参数，不仅计算方便，而且具有很高的求解精度，可以满足工程需要[14]。

对于在三维空间中周期分布的复合材料，其位移可以渐进展开为如下形式：

ui(X)=u0i(X，Y)+δu1i(X，Y)+… ,i=1,2,3

(1)

式中：X=(X1，X2，X3)，是全局坐标系；Y=(Y1，Y2，Y3)，是局部坐标系；ui是u在第i个方向的分量；δ是单胞尺寸的微观尺度参数。

由于单胞尺寸远小于材料尺寸，所以全局坐标和局部坐标之间的关系为：

(2)

图1 具有周期性微观结构的多相复合材料示意

(3)

由于复合材料微观分布的不均匀性，其位移场写成宏观位移与微观波动位移的叠加。对于第(α，β，γ)个子胞，其波动局部位移可以用局部位移的二阶勒让德展开式近似表示。因此，子胞中的位移可以写为：

(4)

第(α，β，γ)个子胞的变形梯度张量为全局变形梯度和波动变形梯度的叠加：

(5)

由变形梯度F和有效刚度张量R可得第一Piola-Kirchhoff应力张量T：

T=R(Y)F

(6)

式中：T是第一Piola-Kirchhoff应力张量；R是有效刚度张量；F是变形梯度。

有效刚度张量R是四阶瞬时力学切张量，表示为如下形式：

(7)

在无体力的情况下，重复单胞中的拉格朗日平衡方程为：

(8)

将所求得的应力张量T代入拉格朗日平衡方程中可得全局平衡方程组：

KU=f

(9)

式中：K为全局刚度矩阵；U为位移向量；f为牵引力向量。

2 炭黑颗粒增强橡胶复合材料力学性能分析

橡胶为超弹性材料，通常基于应变能函数表示其变形大小。为了简化计算，在本研究中将其视为线弹性材料，满足胡克定律。橡胶的体积模量远大于其弹性模量，因此将其近似为不可压缩材料[15]，泊松比设为μ=0.49。由于炭黑颗粒在橡胶基体中随机分布，所以炭黑填充橡胶复合材料在宏观上表现为各向同性，在此建立代表体积单元RVE模型为正方体，增强相炭黑为球体位于RVE单元的正中心，基体相橡胶位于RVE单元的四周，网格划分方法如图2所示。

图2 HFGMC建立的RVE示意图

通过HFGMC方法在RVE单元的X3方向施加位移边界条件，计算不同体积分数炭黑含量下复合材料的力学性能，计算结果如表1所示。复合橡胶的材料属性变化情况如图3所示。

表1 不同体积分数炭黑含量的橡胶复合材料HFGMC计算结果

由HFGMC计算结果可以看出，随着炭黑体积分数的增加，炭黑填充橡胶的弹性模量逐渐增大，泊松比逐渐减小。当炭黑体积分数为25%时，炭黑填充橡胶的弹性模量为15.62 MPa，即，比纯橡胶的弹性模量增加2倍。

图3 材料属性随炭黑体积含量的变化

3 螺杆马达定子衬套仿真分析

3.1 静力学分析

螺杆马达是将动力流的压力能转化为转子的机械能的一种机构。为简化分析计算，将定子的橡胶衬套(以下简称定子衬套)与转子在动力液作用下的相互啮合过程等效为动力液对定子衬套内壁的恒定压力作用过程。在Creo中建立7/8头老式4400型螺杆马达上定子衬套的三维等效模型，横截面形状如图4所示，轴向厚度为50 mm。将该模型转化为中间格式IGS导入有限元分析软件Ansys中，对其做静力学分析。将流体对壁面的压力分别设定为0.5、1.0、2.0 MPa，计算定子内壁的应力与变形。静力学仿真结果如图5所示。

图4 定子衬套等效模型

图5 不同压力下定子的橡胶衬套的变形与等效应力

由图5可知，在不同工作压力下，定子衬套的总变形随工作压力的增加呈线性变化，最大形变发生在转子与定子衬套啮合位置的两端。最大等效应力产生在定子内齿的齿顶部分。由于材料、加工工艺等原因，实际变形和应力会大于这个值。在转子和流体压力的循环作用下，衬套的形状不断在较大范围内变化，容易发生疲劳失效。同时，一部分变形能转化为热能，橡胶由于导热性较差而在内部区域产生热量聚集区，可能在壁厚较大处产生热失效[6]。

将填充体积分数为25%炭黑的橡胶复合材料的等效弹性模量E和泊松比μ代入ANSYS软件，重新设置材料属性，分析添加增强相的橡胶在工况下的应力和变形情况，炭黑颗粒填充橡胶定子衬套在工况下的仿真结果如图6所示。

图6 不同压力下炭黑颗粒增强橡胶定子衬套的变形与等效应力

由图6可知，使用炭黑颗粒填充橡胶的定子衬套，在内压力为1 MPa时，最大变形减小了1.80 mm，定子钢与定子橡胶的接触区域的最大应力减小了0.737 MPa。这是由于弹性模量提高后，复合橡胶可以在较小的形变范围内承受更大变形能，极大改善了定子衬套的受力与变形情况。添加炭黑颗粒后，橡胶的力学性能得到很大提升，受压后变形减小，因此定子衬套的发热量减小，寿命将会增加；同时，添加炭黑颗粒可以增加橡胶的耐磨性，这也有利于螺杆马达在更长时间内保持高效率输出。

3.2 流固耦合分析

对添加炭黑颗粒增强相的橡胶定子衬套做实际工况下的流固耦合分析，研究在具体的流场作用下，定子衬套的受力、变形状况。在进口压力为2 MPa的情况下，螺杆马达内部的流场压力情况如图7所示，可以看出，工作液压力沿流动方向不断减小，这符合螺杆马达实际的工作情况，也证明了本模型的合理性。

图7 流体的压力云图

流固耦合情况下，定子衬套的变形和等效应力如图8所示。对比静力分析和流固耦合分析发现，流固耦合情况下，定子衬套产生的最大变形比平均工作压力下减小了0.179 8 mm，最大应力减小了0.139 MPa。这是由于动力液进入螺杆钻具中后，定子衬套与转子的耦合接触会降低钻井液的速度与压力，压力能转化为马达定子的转矩输出。最大变形仍然产生在定子转子啮合位置的四周，因此在设计制造螺杆马达定子衬套的过程中，要重视橡胶衬套的性能及定子衬套与转子交界面处材料的质量，从而提高螺杆马达的工作性能与效率。

图8 定子衬套流固耦合分析结果

4 结语

本文采用HFGMC方法，预测了炭黑颗粒填充橡胶复合材料的有效材料属性，获得了较高的计算精度，这为多相复合材料的性能预测提供了新的思路和方法。建立螺杆马达定子的橡胶衬套有限元模型，并进行静力学和流固耦合仿真分析。与传统橡胶材料的定子衬套的仿真结果进行对比分析表明：使用添加炭黑颗粒的橡胶，定子衬套在工作压力下的变形较之前减小，应力集中现象也有所改善，这将有效提高定子衬套的使用寿命。为定子衬套的材料选择提供了新的思路，也对新一代螺杆马达的产品研发有借鉴意义。