基于压缩感知的旋转声源多普勒效应消除方法

张小正， 李银龙， 张永斌， 毕传兴

(合肥工业大学 噪声振动工程研究所， 合肥 230009)

在工业生产领域中，零部件工作状态下的噪声通常作为设备故障监测与运行维护的重要指标。但是直接采集处于旋转运动状态下的零部件(如螺旋桨、鼓风机和风扇等)所产生的声信号，往往会得到错误的分析结果。该错误结果产生的根本原因在于静止测点与旋转零部件之间存在由相对运动引起的多普勒效应，该效应会造成所采集声信号的幅值畸变和频散现象。因此，消除旋转声源的多普勒效应是对旋转机械设备进行工作状态有效监测与噪声源准确定位的前提。当前用于消除旋转声源多普勒效应的方法大致分为频域方法与时域方法两类，Lowis等[1-5]采用频域旋转框架技术消除旋转声源的多普勒效应，该技术通过对环形静止传声器阵列所采集的声压频谱进行旋转模态分解，求解出与声源同步旋转的虚拟旋转传声器位置处的声压频谱，因为旋转声源同虚拟旋转传声器之间无相对运动，由此完成了多普勒效应的消除，之后即可通过频域波束形成等技术直接进行旋转声源识别。在时域处理方面，Dougherty等[6]和Herold等[7]提出了时域插值方法，该方法使环形传声器阵列虚拟地和声源同步旋转，之后计算各个时刻下虚拟旋转传声器所处的位置，借助于与虚拟旋转传声器相邻的真实静止传声器所测得的声压信号进行线性插值，求解出虚拟旋转传声器的声压信号，在时域内实现多普勒效应的消除。Ma等[8-9]对上述两种多普勒效应消除方法的理论进行了对比，提出频域旋转框架技术本质上是傅里叶插值方法，而时域插值法为线性插值方法。

在上述消除旋转声源多普勒效应的方法中，频域旋转框架技术在周向均匀布置的传声器个数是所分析最高周向模态阶数的两倍，即应当满足采样定理；时域插值方法的处理效果依赖于周向均布传声器的数量，在传声器数量较少时往往存在较大的误差。因此，现有的两种方法都需要在周向布置较多的传声器才能获得理想的多普勒效应消除效果，这不仅会导致测量经济成本的提升，还会大大增加测量工作量。

针对现有消除旋转声源多普勒效应方法的不足，本文提出了一种基于压缩感知理论的旋转声源多普勒效应消除方法，该方法通过引入压缩感知理论，突破了采样定理的限制，因此该方法可以减少传声器的使用数量，且不要求传声器必须均匀分布，同时该方法还可以保证精度较高的多普勒效应消除结果。

1 基于压缩感知的旋转声源多普勒效应消除理论

图1 测量阵列与旋转声源在柱坐标系下的示意图Fig.1 Sketch of the microphone array and rotating sound source in cylindrical coordinates

假定两坐标系在t=0时刻重合，则第n个测点在两坐标系下的坐标对应关系为

(1)

将静止柱坐标系下各测点在t时刻所接收到的含有多普勒效应的声压信号写成列向量Ps(rs,φs,zs,t)，对其进行周向模态展开得到

Ps(rs,φs,zs,t)=ΨsAm(t)=

(2)

式中：Ψs为静止柱坐标系下N×N阶空间变换矩阵；Am(t)为t时刻下周向模态幅值；j是虚数单位；φn(n=1,2,…,N)表示第n个测点的周向角度；mn(n=1,2,…,N)代表第n个周向模态阶数。根据Shannon-Nyquist采样定理，周向模态阶数mn应当满足下式

-|1-N|/2≤mn≤N/2

(3)

从N个测点中随机选取H个安装传声器，通过随机1-0矩阵来构建H×N阶压缩感知测量矩阵B

(4)

则H个传声器所测得的声压信号可以写为

PH(rs,φs,zs,t)=BPs(rs,φs,zs,t)=

BΨsAm(t)

(5)

按照压缩感知理论[10-12]，BΨs只有满足约束等距特性，才能确保Am(t)得到精确重构。Candes等[13-14]提出，若BΨs大概率满足约束等距特性，则测量矩阵B的行数H满足

H≥CKlg(N/K)

(6)

式中：K为信号稀疏度；C为感知常数。Huang[15]针对感知常数的取值与重构成功率进行了数值仿真，结果表明感知常数取3已经有较高重构成功率，且随着数值的增大，重构成功率越高。肖志成等[16]同样根据数值试验结果对C的取值进行评定，在信号稀疏度一定的情况下，感知常数超过3.5时，重构的成功率大于90%。

基于等式(5)，通过迭代加权方法求解如下l1-范数最小化问题

(7)

(1) 设置最大迭代次数gmax，输入PH(rs,φs,zs,t)与BΨs；

(4) 将加权系数矩阵中第n个对角线元素更新为

(8)

式中引入δ>0是为了避免出现所求模态幅值为0的情况；

(5) 更新迭代次数g=g+1，如果迭代次数g达到所设置的最大迭代次数，则停止迭代，否则返回至步骤(3)继续迭代。最终输出结果是Am(t)。

基于旋转柱坐标系和静止柱坐标系之间的关系，以及重构出的周向模态幅值，可以求解出虚拟传声器采集到的声压信号

Pu(rs,φs,zs,t)=

(9)

由于虚拟传声器与声源同步旋转，因此其采集到的声压信号不包含多普勒效应，因而实现了多普勒效应的消除。

2 数值仿真

为了验证文中所提方法的有效性，下面进行数值仿真探讨。在仿真中使用一个单极子声源作为旋转声源，声源的起始位置在如图1所示的静止柱坐标系下为(0.2 m, 0 rad, 0.05 m)，旋转角速度Ω=120 π rad/s，声源辐射信号的表达式写为

Q(t)=sin(2πft)

(10)

式中，声源频率f为500 Hz。周向均匀分布的36个测点组成环形测量阵列，阵列位于zs=0的平面上，阵列的中心即为静止柱坐标系的原心，阵列的半径设置为0.3 m，阵列与声源旋转面之间的间距设置为0.05 m。从36个测点中随机选取15个测点布置传声器，基于所提方法完成多普勒效应的消除。时域信号的采样频率设置为12.8 kHz。

通常情况下，为了获得声压信号的各阶周向模态幅值，应遵循Shannon-Nyquist采样定理在周向均匀布置传声器。然而基于压缩感知的理论，可以突破采样定律，通过随机布置较少的传声器来重构各个模态阶数所对应的模态幅值。如图2所示，按照Shannon-Nyquist采样定理周向均匀布置36个测点和基于压缩感知的原理随机设置15个测点，在0.78 ms时各模态阶数所对应的模态幅值，由图中可以得知，基于压缩感知原理可以在较少测点的条件下，精准识别主要模态阶数，同时重构出各模态阶数的幅值。

图2 均布36个测点与随机选取15个测点模态幅值对比Fig.2 Comparison of mode amplitude between 36 measurement points uniformly distributed and 15 measurement points randomly selected

此次数值仿真选取测点1(0.3 m, 4 π/9 rad, 0 m)和测点2(0.3 m, 13 π/9 rad, 0 m)对声压信号进行比较。图3(a)和图3(b)分别是测点1和测点2处的声压时域信号对比图。从图中可以看出，直接测量得到的声压信号在时域内存在由多普勒效应导致的幅值畸变现象，基于压缩感知的原理随机选取15个测点同遵循Shannon-Nyquist采样定理均布36个测点在消除多普勒效应的效果上基本一致，都能够修正信号在时域内的幅值畸变现象。

(a) 测点1

(b) 测点2图3 两测点处声压时域信号对比Fig.3 Comparison of sound pressure signals at two measurement points

图4(a)和图4(b)分别为测点1和测点2处的声压频谱对比图。从图中可以看出，直接测量得到的声压频谱存在因多普勒效应导致的频散与幅值畸变现象，基于压缩感知的原理随机选取15个测点同遵循Shannon-Nyquist采样定理均布36个测点都能够实现较为理想的多普勒效应消除效果，可以修正声压频谱的频散和幅值畸变现象。

(a) 测点1

(b) 测点2图4 两测点处声压频谱对比Fig.4 Comparison of sound pressure spectra at two measurement points

在测点布置方式相同的情况下，将本文的方法同现有的时域插值方法进行信号恢复对比，选取测点1处的信号进行分析。图5(a)为两种方法的时域信号比较，从中可看出，时域插值法相较于本文所提方法在幅值恢复上同理论信号有较大偏差，从图5(b)的信号频谱对比结果中也能直接得出，时域插值法无法较好地消除多普勒效应引起的频散现象，并且500 Hz对应的幅值和理论信号相比有明显失真，而本文所提方法可有效解决因多普勒效应导致的信号幅值畸变和频散问题。

(a) 时域声压信号

(b) 声压信号频谱图5 基于压缩感知的多普勒效应消除方法和时域插值法的信号恢复对比Fig.5 Comparison of recovered signals between time-domain interpolation method and Doppler effect elimination method based on the compressed sensing

为了进一步探讨本文所提方法的抗噪声能力，在不同信噪比条件下，对此次仿真所使用单频信号在500 Hz时对应的幅值恢复误差进行评定，恢复误差Er计算公式为

(11)

式中：pt是声源静止时理论信号的幅值；pc为恢复后的信号幅值。如图6所示，在信噪比范围为20～35 dB的仿真条件下，测点1位置处的信号幅值恢复误差始终维持在较低水平，这表明所提方法具有一定的抗噪声能力。

图6 不同信噪比下信号的恢复误差Fig.6 Signal recovering errors under different signal-to- noise ratios

从数值仿真的效果来看，本文所提方法在使用较少传声器且随机布置的条件下可以完成多普勒效应的消除，同遵循Shannon-Nyquist采样定理周向均匀布置传声器的方法对比有基本相同的处理效果。并且和时域插值法比较可知，本文的方法能更好地消除多普勒效应带来的信号幅值畸变和频散问题。同时，此方法在不同信噪比条件下仍能维持较小的恢复误差，证明所提方法具备一定的抗噪声能力。

3 试验研究

为了进一步验证本文所提方法的有效性，采用两个旋转音箱进行试验研究。此次试验在半消声室内进行，两个音箱固定在电机上作为旋转声源，声源旋转半径为0.16 m，电机旋转角速度是8.8 π rad/s，两声源辐射的声信号都设置为500 Hz的正弦信号。试验所使用是北京声望MPA416系列的1/4英寸传声器，此传声器的频率响应是20 Hz～20 kHz。如图7(a)所示，测量阵列为一个环形阵列，周向均匀布置36个传声器，阵列半径是0.4 m，阵列同声源旋转面之间的间距为0.05 m，具体的试验布置场景如图7(b)。试验的采样频率设定为25.6 kHz，本次试验从均匀布置的36个传声器中随机选取15个进行分析，基于15个传声器所采集的数据完成多普勒效应的消除。

(a) 测量阵列

(b) 试验情景图7 试验布置图Fig.7 Test setup

图8展示了试验中均布36个传声器与随机选取其中15个传声器在0.025 s时得到的各模态阶数对应的模态幅值，从图中可以看出，基于压缩感知的方法随机选取15个传声器可以重构出主要模态阶数的幅值。

图8 均布36个传声器与随机选取15个传声器模态幅值对比Fig.8 Comparison of mode amplitude between 36 microphones uniformly distributed and 15 microphones randomlyselected

此次试验选取传声器1(0.4 m, π/2 rad, 0 m)和传声器2(0.4 m, 17 π/18 rad, 0 m)对声压信号进行对比。图9(a)和图9(b)分别是传声器1和传声器2处的声压时域信号对比图。由图可知，直接测得的声压信号在时域内表现出明显的幅值畸变现象，随机选取15个传声器和均布36个传声器均能消除多普勒效应引起的幅值畸变，且二者有基本相同的修正效果。

(a) 传声器1

(b) 传声器2图9 两传声器声压时域信号对比Fig.9 Comparison of sound pressure signals at two microphones

图10(a)和图10(b)分别为传声器1和传声器2的声压频谱对比图。从频谱对比可知，直接测量获取的声压频谱有明显的频散和幅值畸变现象，采用本文提出的方法能有效修正上述现象，且同周向均布36个传声器的方法有相似的处理效果。

(a) 传声器1

(b) 传声器2图10 两传声器声压频谱对比Fig.10 Comparison of sound pressure spectra at two microphones

为了进一步证明本方法的信号恢复优势，采用15个传声器在相同布置的条件下，比较本文方法和时域插值方法在传声器1处的信号恢复结果。从图11(a)可知，使用时域插值方法所恢复的时域信号同理论信号相比有很大误差，而本文方法恢复出的信号更接近理论值。由图11(b)的信号频谱比较可得，时域插值方法无法准确重建出真实的幅值，而本文所提方法能有效消除多普勒效应的影响，得到的信号与理论信号几乎一致。

(a) 时域声压信号

(b) 声压信号频谱图11 时域插值法和基于压缩感知的多普勒效应消除方法的信号重建对比Fig.11 Comparison of recovered signals between time-domain interpolation method and Doppler effect elimination method based on the compressed sensing

此次试验结果进一步验证了本文所提方法的正确性，在实际应用中能够基于压缩感知的理论使用较少传声器完成多普勒效应的消除。

4 结 论

本文对消除旋转声源多普勒效应的方法进行研究，提出了一种基于压缩感知理论的多普勒效应消除方法。该方法采用少量且随机分布的传声器准确重构出信号的各阶模态幅值，之后借助于静止柱坐标系和旋转柱坐标系之间的运动关系，求解获得旋转框架下不含多普勒效应的声信号。文中通过数值仿真和试验研究对所提方法的有效性进行验证，结果表明采用较少传声器随机布置的方法同基于采样定理均匀布置传声器的方法在消除多普勒效应的效果上基本一致。因此本文所提方法可以在保证多普勒效应消除效果的同时，降低测量成本和测量工作量。