师范教育中组合数学教学改革探索

乔智

【摘要】组合数学是数学中的交叉学科，其内容丰富，应用广泛.本文先从教学内容不明确、教学目标不清晰、教学方法陈旧三方面分析了组合数学的教学现状.随后从紧扣培养目标、强调数学思维、介绍数学软件、注重实际应用等四方面对组合数学课程的教学改革进行了探讨.

【关键词】组合数学;师范教育;交叉学科

【基金项目】本文系四川师范大学校级教改项目（项目编号：2018JWC093、JWC202082050、JWC202082088）.

师范专业的目标是培养优秀的教师，保证我国教育事业的顺利发展.组合数学是数学中的交叉学科，其内容十分丰富，包括计数组合学、图论、区组设计、极值组合、代数组合等.组合数学的应用也十分广泛，它在计算机科学、生物学、化学等学科中都有着广泛的应用.

一般的组合数学课程主要讲授计数组合学，讲解基本的计数原理及其应用.以成为优秀教师为目标，通过组合数学课程的学习，学生应掌握组合数学的基本思想，明白组合数学与数学各个分支的联系，了解组合数学在其他学科中的应用.在组合数学课程教学改革中，我们要发现问题、解决问题，从而更好地进行组合数学的课程教学.

一、组合数学教学现状的分析

在过去的几十年中，随着现代数学的蓬勃发展，组合数学本身产生了巨大的变化，其自身的广度与深度都与过去不可同日而语.与此同时，随着计算机科学的发展，组合数学与算法、编程、建模等相关内容都产生了紧密的联系.师范专业的目标是培养优秀的教师，教学内容与方法更需要与时俱进，不能默守成规、一味地坚持传统教学的内容与方式.

（一）课程内容不明确

组合数学的内容主要分为三类：纯粹的数学，例如，容斥原理、Mbius反演公式;现实生活与生产中的问题，例如，关于地图染色的四色问题、关于网络流量的最大流最小割定理;科研与工程中产生的问题，例如，电路中基本的基尔霍夫定理、网络的可靠性问题.

传统的组合数学课程主要讲授计数组合学.国内组合数学教材，主要包含鸽巢原理、生成函数、递推关系、容斥原理、Mbius反演公式、Pólya计数定理等内容.其教学重点主要在于讲解组合数学本身的各种理论，教学目标是让学生熟悉与掌握经典的组合数学工具，具备解决组合数学问题的基本能力，对理论的讲解与例题的选择，更侧重于其内在的组合意义，而非与其他学科的联系.

随着数学研究的不断发展，组合数学中各种新的内容与方法不断产生.目前组合数学的研究出现在许多不同领域.而在具体的教学过程中，教师也经常会讲授组合数学在抽象代数、初等数论等其他数学课程中的应用.随着组合数学在计算机科学等其他学科中的应用越来越频繁，图论在组合数学中的意义也日益重要.一般的组合数学课程教学通常不涉及图论的内容，因而学生所能了解的组合数学的应用只局限于数学本身.

在具体课程内容的选材时教师会很困扰，一方面，由于组合数学内容十分广泛，一门课程无法覆盖组合数学的所有课题;另一方面，组合数学的经典理论与组合数学的各种应用也让教师难以取舍.因此，组合数学课程的教学内容并不明确.

（二）课程定位不清晰

组合数学是一门交叉学科，学生学习组合数学的意义主要有以下几个方面：从普及数学教育的角度看，组合数学是一门常识性课程，每个数学专业的学生都应该当对其有基本的了解;从传授知识的角度看，组合数学可以让学生理解组合思想、掌握组合技巧;作为与数学不同分支联系紧密的学科，组合数学可以让学生更好地认识到数学是一个整体;作为在科学领域和工程领域有广泛应用的学科，组合数学可以让学生了解数学的具体应用.

在师范教育中，数学专业的目标是培养未来的数学教师.那么具体到组合数学的课程教学中，本课程的教学目标必须明确.因为针对不同的培养目标，教师需要选取不同的教学内容，采用不同的教学方式.

在传统的组合数学课程教学中，许多课时被用来向学生讲授各种组合数学的技巧，例如，讲解各种特殊计数序列.从数学科普的角度讲，特殊计数序列这类内容属于组合数学的经典结论，作为常识每个数学专业的学生都应当有所了解.与此同时，也有很多课时被用来将组合数学的各类定理推广到一般形式，例如，偏序集上的Mbius反演公式、带权形式的Pólya计数定理.从数学艺术的角度讲，偏序集上的Mbius反演公式、带权形式的Pólya计数定理作为对应定理在一般形式上的推广，其结论本身充满美感.教师采用这种讲解方式的优势在于使得学生对某些经典的组合专题有较为系统、深入的了解.但这种教学方式对结构图论、代数图论、概率模式等内容完全不涉及，理论与实际脱轨，使得学生很难使用组合数学的工具与思想去解决具体的问题.

在组合数学这样内容丰富的课程教学中，教师需要对经典专题与前沿专题进行取舍，对专题涵盖的深度与广度也需要仔细斟酌.在师范教育的过程中，组合数学课程應该有着更加重要的角色.

（三）教学方法陈旧

随着信息技术的不断发展，数学与计算机的结合越来越紧密.不论是在工程中对数学的具体应用，还是在数学研究与科学研究的具体操作中，都离不开与计算机专业相关的数学软件.但在组合数学的实际教学中，几乎不包含对组合数学相关的数学软件的讲解.通常在数学实验、数学建模等专业课程中教师才会对具体的数学软件进行介绍.在组合数学的教学中，教师一般采用经典的数学课程教学方法，先介绍定义，随后证明定理、命题，课堂的大部分时间都用在讲解定义与证明定理.这种课程安排方法，把理论课程与应用课程分割开了.

事实上，理论与应用是数学的两面，理论是应用的支撑，应用是理论的实践.对于数学分析、线性代数这类入门课程或实变函数、泛函分析这类理论课程而言，教师进行这样的讲解当然是没有问题的.但是对于组合数学这样一门应用如此广泛，与计算机结合得如此紧密的学科，教师依然采用传统的教学方法，只讲解理论与证明，无法让学生明白组合数学在实践中的具体应用，也无法让学生了解组合数学的全貌，更无法激发学生学习组合数学的动力.因此，教师在组合数学课程教学中，可以尝试引入新的教学方法，将理论与应用结合起来讲授.

二、组合数学教学改革的思考

教师进行组合数学的课程教学，一方面应当尽量让学生了解组合数学本身的各个专题;另一方面，也应当发挥组合数学的桥梁作用，让学生进一步理解数学内部各个分支的联系，了解数学在不同学科中的应用，掌握基本的数学实践能力.

（一）紧扣培养目标

组合数学课程的培养目标应该是让学生明确组合数学作为交叉学科的优势，教师通过讲解组合数学在不同数学分支中的应用和组合数学在不同学科中的应用，让师范专业的学生了解数学的全貌以及组合数学与其他学科的联系，从而让他们未来成为更好的数学教师.在具体的教学中，教师不应在讲解组合数学的某些专题时太过深入，而应当多介绍组合数学的不同专题，重点强调其与不同领域的联系.

在过去的五十年中，数学的研究成果呈指数级增长，其后果之一就是人们无法对所有的新成果都有所了解.然而數学各个领域的教科书的数量也大大增加，例如，Springer出版社著名的UTM与GTM系列.在实际的教学中，教师要考虑到学生已掌握的有限知识，选择讲解课程所在领域的一小部分内容，尽量避免与其他课程产生联系，以免增加学生的学习难度.与此同时，为了充实课程内容，增强学生对内容的理解，教师一般会选择对具体的定理、命题进行深入讲解，如一般化推广、讲解大量的例子.

在许多数学课程中，教师采用这种方法是没有问题的.但组合数学有其自身的特点，一方面，组合数学因其易接受性而广为人知.换句话说，许多组合数学的问题，其讲解过程中主要涉及精妙的组合技巧，而不需要大量的数学背景知识.另一方面，组合数学在许多不同领域中都有较为直接的应用，即教师在讲解过程中只需要对相关领域的应用背景有基本的了解.因此，教师在组合数学的教学中，讲解大量精妙的组合技巧和相对初等的例子意义并不大.对于组合数学这样的学科，我们应重点讲授方法与应用.例如，最基本的二项式定理，一方面，它可以推广到交换环上，也可以推广为关于函数乘积的高阶导数的莱布尼兹公式;另一方面，它也可以根据其得到多项式定理和多元函数的莱布尼兹公式.因为组合数学揭示的是数学中的基本技巧与原理，将组合数学作为线索，把数学的各个分支联系起来.

因而在具体教学中，我们应当在适当的地方强调数学不同分支之间的联系，这样可以使学生更好地了解数学的全貌，也可多讲解组合数学在不同学科中的应用，使学生更好地了解数学在工程和科学领域的作用.

（二）强调数学思维

一方面，组合数学的问题来源十分广泛，每个问题都有自己独特的精妙解法.另一方面，许多组合数学的基本结论，都可以进行一般性的推广.在具体的教学中，我们应当弱化数学技巧，减少组合数学结论的一般性推广，而重点向学生讲授数学思维.

组合数学中的许多内容，大都有大量初等数学的应用，例如，特殊计数序列、鸽巢原理、容斥原理等.对于这部分相对基础的组合原理，讲解大量初等应用的好处在于向学生展示不同问题的精妙解法.许多组合数学的基本结论，都可以进行一般性的推广，例如，偏序集上的Mbius函数、带权形式的Pólya计数定理.通常，这种一般性的推广都会得到比原本定理更为广泛的应用，其推广过程通常篇幅较长，但方法上的创新较少，其应用的推广也通常是在同一类问题上进行的.组合数学在不同领域的应用十分广泛，例如，数论、图论、编码、区组设计、算法.在授课过程中，教师有必要选择其中有代表性的内容进行讲解，多介绍组合数学的各种典型方法，而不应在某一部分具体内容上，追求一般性与理论体系的完美融合.因此，在组合数学的课程讲解中，教师应当重点讲授数学思维，选择一些典型的方法进行讲解，对相同的数学技巧、一般性推广的讲解可以适当减少.

教师在课堂中应重点讲授数学思维，对于组合数学中那些精妙的应用和定理的一般性推广，可以将其中的一些作为课后作业与课外阅读.这种方式显然不同于传统的教师讲授、学生接受的教学模式.学习数学最终还是为了解决问题，教师在课堂上把握住课程的核心脉络，学生在课下阅读一些额外的内容，尝试解决一些经典的题目，不仅可以让学生把握住课程的主题脉络，还可以培养学生自学与独立思考的能力.

（三）介绍数学软件

传统的基础数学课程的重点在于讲解数学理论.而组合数学与计算机科学的联系十分紧密.因而在课程中，教师除了介绍组合数学理论之外，也可以适当补充相关数学软件的介绍.

现代数学的理论越来越复杂，数学论文动辄上百页，完全靠人工计算是低效的且没有必要的.十七、十八世纪的数学家们，喜欢手算各种数值计算，以此来展示他们对理论的实际应用.对于现代数学教育来说，教师让学生了解与掌握基本的计算方法与计算原理是有必要的，但不必执着于让学生进行手算.

组合数学的具体问题一般计算量都较大.学生掌握数学软件基本的使用方法，就可以避免大量重复的劳动，把更多精力用在理解数学思想上.而与此同时，在现代的工程和科研领域中，编程是一项必备技能，因而本课程中对数学软件的学习也并没有额外增加学生的学习任务，反而可以将计算机课程中的编程知识与数学理论的学习和具体数学问题的解决联系起来.例如，Mathematica软件中的求序列函数FindSequenceFunction，只需输入数列的前几项，该函数就会找到满足条件的通项公式;而StirlingS1、StirlingS2、CatalanNumber函数则可以生成对应的Stirling数与卡特兰数.

教师在组合数学课程中介绍数学软件一些基本的组合函数的用法，在解决实际问题时，学生可以通过理论分析得到具体的算法，根据算法只需要调用数学软件对应的内部函数即可，省了大量的工作量.而算法的复杂度也是组合数学关注的内容，同学们自主设计算法解决实际问题，更好地体现了学以致用的思想.因此，教师在组合数学课程中介绍数学软件的使用，是很有益处的.

（四）注重实际应用

在一般数学课程的教学中，我们主要关注的是数学理论的构建与解决对应的数学问题.组合数学课程与具体的应用联系十分紧密.因此，在组合数学课程中，教师应当多介绍组合数学在计算机科学等其他领域的应用，这样更能激发学生的学习兴趣.

在传统的组合数学的教学中，教师主要关注的是各类计数问题，涉及的学科基本都是数学的不同分支，例如，数学分析、近世代数、初等數论等.数学的优美理论自然有其内在的价值，但数学的各种应用更充分地体现了数学是自然科学的纽带.例如，组合数学中的最大流最小割定理，就是用来研究两地之间公路运量的基本工具;基尔霍夫定律是电路中电流和电压所遵循的基本定律，它也可以用组合数学理论给出直接的证明;计算机科学中的网络可靠性也经常用图论中的连通度进行描述.

而在具体问题的分析中，我们可以选择与现实联系紧密的问题.例如，组合数学在密码学中的相关问题;交通网络的运量分配问题;工厂生产中的最优化问题等.教师选择这些实际问题进行举例，可以让学生了解组合数学的应用，激发学生学习组合数学的动力.

教师讲解数学理论，可以让学生了解数学理论的优美;而讲解数学的具体应用，可以让学生了解数学的具体用处与用法.对数学理论与数学应用两方面进行了解，学生会更清楚学习数学的意义.

三、总结

组合数学是数学中的交叉学科，其内容丰富，应用广泛.在师范教育的组合数学课程教学中，教师应当紧扣培养目标、强调数学思维、介绍数学软件、注重实际应用，从而得到更好的教学效果.

【参考文献】

[1]Alon N，Spencer J H.The Probabilistic Method （4th edition） [M].John Wiley and Sons Ltd，2016.

[2]Bondy.Graph Theory [M].Springer London.2008.

[3]L Lovász.Trends in mathematics： How they could change Education[J].Future of Mathematics Education in Europe，2014，1（2），525-533.

[4]潘永亮，徐俊明.组合数学[M].北京：科学出版社，2006.

[5]Stanley.Algebraic Combinatorics[M].Springer Bedin Heidelberg，2018.

[6]张大坤，史一苇，任淑霞.组合数学课程教学改革与实践[J].软件，2018，39（6），205-208.