一道质检题的探究与启示

中国科学技术大学附属中学(230000)鲍瑞华

1 考题呈现

2 思考历程

评注反函数在教材与高考中早已淡化,但对数学有更高要求的同学还是要进一步了解原函数与反函数的关系,会用反函数解决相关的方程与不等式问题.这种方法与同构法在知识与能力上的要求是相同的,关键点还是如何构造.此思路源于人教版选修2-2 第40 页B 组第1 题:利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:lnx ＜x ＜ex,x ＞0.

3 出自高考

分析(2)因为m≤2,所以只需证明ex-ln(x+2)＞0,即证ex ＞ln(x+2).

此题构造不了“反函数式”,但是通过图象观察,容易发现ex≥x+1,且x+1 ≥ln(x+2).

由于等号不同时取得,易得ex ＞ln(x+2).

评注找“中间量”是证明不等式中常见的方法,这种方法在比较大小,数列的放缩,数学归纳法证明中都有应用.反函数法只是找“中间量”的一种渠道.我们可以通过对原式进行整理、变形、两边同乘、同除一个式子、换元、借助图象等方式寻找“中间量”.

4 源于教材

教材题目1(人教版选修2-2 第40 页B 组第1 题第(4)题)利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:lnx ＜x ＜ex,x ＞0.

教材题目2(2019 人教A 版高中数学选择性必修第二册第104 页复习参考题第18 题)

已知函数f(x)= ex -ln(x+m).当m≤2 时,求证f(x)＞0.

问“题”那得清如许,唯有源头活水来,可以看出合肥市2022年高三第一次教学质量检测第12 题和2020 新高考全国Ⅰ卷第21 题等高考题的“母题”来源于教材,只是将原题进行适当的改编而已.立足教材,选编教材原题,生成教材变题,是高考命题的一个不争的事实,这体现了高考命题的公平性和基础性原则.

5 结束语

罗增儒教授语:教材是课程的载体,因此高考命题最具体、最方便的依据其实是教材.数学高考试题“源于教材,高于教材”,高三复习要对教材二次开发,结合高考命题实际,对教材中的某些内容要进行补充、变式、拓展.教材中的结论主要以公式,定理,法则的形式直接呈现.事实上,教材中隐藏的一些结论需要开发,这些结论往往是高考命题的重要取材,是解答高考试题的重要工具.如人教版选修2-2 第40 页B 组第1 题第(3)题:利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:ex ＞x+1,x ̸=0.正如前苏联数学教育家奥加涅曾所说“很多习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性……”,该习题既有教学价值,也有应用价值.