基于教材内容的数学拓展课开发与实施

摘 要 基于教材内容的数学拓展课的开发重在对教材中拓展点的挖掘，可以通过梳理知识体系、凝练思想方法、引入数学文化、分析学生学情等方法挖掘拓展点。在实施数学拓展课教学时，可以借助教学主线将一个或几个拓展点整合成一个有机的整体。常见的策略有：以“萌发—生长—丰盈”为教学主线，经历知识的形成过程;以“心理认同—模仿内化—创造发展”为教学主线，经历能力的提升过程;以“求真—求通—存异”为教学主线，经历智慧的生长过程。

关  键  词 数学拓展课 教材内容 知识体系 思想方法 数学文化

引用格式 王卫东.基于教材内容的数学拓展课开发与实施[J].教学与管理，2022（17）：40-43.

数学拓展课是学校或教师自主开发设计的一种以非教材例题为学习内容的教学课型，其教学资源来源宽泛、体量庞大、内容丰富，包括教材知识延伸、生活问题解决、数学实验探究、数学文化介绍、数学游戏互动等。不同的知识领域，有着不同的教学定位，也有着不同的拓展需求[1]。由于受教学时间等因素的限制，某些知识内容、思想方法、数学文化等在教材中难以得到充分的延伸与拓展，这给数学拓展课的开发与实施提供了空间。数学拓展课是对现行教材的有效补充，但与教材不同的是，它既没有现成的教学内容，也没有成熟的教材体系，因此，在开展数学拓展课教学时，教师不但要解决“怎么教”的问题，还要解决“教什么”的问题，为此，教学内容的开发与实施便成为数学拓展课教学的两个重要任务。下面以苏教版《数学》六年级上册“长方体与正方体”单元为例，谈谈基于教材内容的数学拓展课的开发方法与实施策略。

一、基于教材内容的数学拓展课的开发方法

数学拓展课重在拓展，拓展点是数学拓展课中重要的设计要素。基于教材内容的数学拓展课的开发重在对教材中拓展点的挖掘，常用的开发方法有以下几种。

1.梳理知识体系，在教材留白处挖掘拓展点

结构化教学对知识学习具有重要作用，当知识以一种结构化的方式进行储存时，便可以大大提高知识应用时的检索效率。因此，我们需要在教材留白处寻求突破，帮助学生完善知识网络，实现知识的结构化与体系化。

苏教版小学数学教材在编写教学内容“长方体与正方体的体积”时，以水为媒介广泛运用了转化思想，如在建构体积概念时，借助倒水的操作实验，让学生感悟到桃子体积的存在;在拓展体积意义时，通过对量杯的观察实验，引导学生发现马铃薯的体积就等于水上升部分的体积……学生由此积累了“等（体）积变化”经验。然而，这里的经验是狭隘的，因为上述素材都有一个共同之处——物体被完全浸没在水里，而部分浸没的现象却没有涉及，显然这里的认知是不全面的，我们不妨以此为拓展点，从物体完全被浸没延伸至物体部分被浸没，带领学生体验不同状态下“等（体）积变化”思想的巧妙运用，以此帮助他们拓展认知视野、完善知识结构。

2.凝练思想方法，在求同求通中挖掘拓展点

数学是理性的，其中蕴藏着至真至通的智慧[2]。教师要引导学生跳出繁杂事物的表象，在迷乱中逼近本质、在无序中寻找有序、在冗长中寻求简洁，让他们在转化与通达间感悟数学的智慧，在探究与实践中享受创造的乐趣。

探究表面积的计算方法是学习“长方体与正方体”的重要内容，苏教版小学数学教材这样编排：例4旨在探究长方体表面积的计算方法，“试一试”旨在探究特殊长方体（正方体）表面积的计算方法，练习二的“思考题”旨在探究不规则物体表面积的计算方法。三种物体，形状不一样，表面积的计算方法也不一样，但这些计算方法之间存在相通之处：它们都可以从前面、右面、上面三个角度来计算不同面的面积，进而乘以2后得出表面积。可惜教材没有将对此进行比较与勾连，因此，我们不妨以此为拓展点（如图1），带领学生探究不同计算方法之间的共同之处，在化繁为简中感悟思想方法的融通与和谐。

3.引入数学文化，在溯本求源中挖掘拓展点

在数学课堂中，我们要重视数学文化的教育价值，在数学文化中溯本求源、生长智慧。

关于长方体（或正方体）体积的计算方法，苏教版小学数学教材带领学生重点探究的是“长方体的体积=长×宽×高”“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”以及“长方体（或正方体）的体积=底面积×高”。然而体积的计算方法是多样的，我们可以收集与体积测量有关的数学文化知识，并以此为拓展点引入不同的体积测量方法，如在天平的两边，在材质一样的情况下，用1立方厘米的立方体“称”出未知物体的体积（如图2）。在思辨中聚焦方法本质、在转化中发展创新精神。

4.重视学情分析，在盲区误区中挖掘拓展点

学情是指与学生生活、学习相关的一切因素，包括学生的学习态度、学习基础、学习习惯、学习能力、兴趣爱好、家庭环境、年龄特点、心理特点等因素。在数学教学过程中重视学情分析，可以帮助教师及时地调整教学方向，有的放矢地查漏补缺，当然也可以适时地进行拓展延伸，从而引领学生走出学习的盲区与误区。

在教学“长方体（或正方体）的展开图”时，教师安排了这样的前测问卷：“想一想，为什么要学习长方体（或正方体）的展开图？”学生的反馈情况如下：回答“帮助我们更深刻地理解长方体和正方体”的学生占58.3%，回答“帮助我们学习表面积”的学生占31.3%，回答“不清楚”的学生占10.4%。由此可见，学生对“为什么学习展开图”的认识较为狭隘，他们大都仅局限于知识技能的学习。针对以上的情况，教师跳出知识层面的局限，开发了这样的拓展点：将展开图的学习定位为一种研究方法的探究，把它与“拆”“切”“拼”等研究方法有机融合，带领学生从立体到平面、从平面到立体，感悟研究事物方法的多样性、研究角度的全面性、研究结果的深刻性。

二、基于教材内容的数学拓展课的实施策略

拓展点是数学拓展课中最为基础的组成部分。在数学拓展课教学时，我们可以从一个或几个拓展点出发，寻求它们之间的内在联系，并借助教學主线将拓展点串成线，连成片，形成块，进而整合成一个有机的整体。数学拓展课的实施离不开教学主线的提纲挈领。

1.以“萌发—生长—丰盈”为教学主线，经历知识的形成过程

对学生来说，学习的过程就是认识新事物的过程。数学教学不是科学数学的重现，而是学科数学的再造，因此，在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，学生的学习体验才会更为深刻。在“长方体与正方体”的编排中，物体完全被浸没在水中的情况较为常见，但对部分被浸没在水中的情况却鲜有涉及，可是在一些相关练习中却常常遇到。面对这一情况，我们有必要以此为拓展点开展一些衔接铺垫工作，意在丰富学生的认知、拓展学生的思维。

案例1：拓展课“两个容器，哪个容积更大”

选择题：甲、乙两个容器都装满水，把两个体积相同的铁块分别放入甲、乙两个容器中。如果甲容器溢出的水比乙容器溢出的水多，那么甲、乙两个容器，哪个容积大？（ ）

A.甲容器容积大;B.乙容器容积大;C.一样大;D.无法确定。

面对此题，学生很疑惑：把两个体积相同的铁块放入水中后，水上升部分的体积是一样大的，溢出的水自然也应该是一样多的，可为什么甲容器溢出的水会比乙容器溢出的水多呢？是不是题目出错了？面对这些的矛盾，很多学生百思不得其解，他们无奈地选择了D选项“无法确定”。但当教师出示示意图（如图3）之后，他们惊奇地发现铁块放入水中，居然可以有两种不同的状态：完全浸没和部分浸没，于是他们得出了新的结论——乙的容积较大。此时，新的认知正在悄然萌发。

借助核心问题“在甲容器比乙容器溢出的水多的前提下，甲、乙两个容器的容积大小还有其他可能吗？”学生展开新的思考。得益于前面的启发，学生冲破了原有认知的束缚，知识在生长、经验在生长、思维在生长。接着，学生讨论、交流其他不同情况（如图4、图5）：

此时，学生的认知得以丰盈与完善，虽然最终的答案仍然是“无法确定”，但与当初的“无法确定”相比，已经截然不同：当初的“无法确定”是一种无奈、一种迷茫，而现在的“无法确定”则是一种笃定、一种理性。

2.以“心理认同—模仿内化—创造发展”为教学主线，经历能力的提升过程

在教学过程中，学生能力的提升总是和教学活动联系在一起的：一方面，在教学活动中学生的能力水平能得到充分体现与外显;另一方面，活动本身就是很好的载体，它为学生能力的发展提供了舞台。对数学学科来说，学生的核心能力包括抽象能力、推理能力、建模能力等等，它们的发展都有一个螺旋式的生长过程。

在“长方体和正方体”单元中，涉及三种物体表面积的计算：长方体、正方体以及不规则物体（形如教材第9页“思考题”中的物体）。其中，不规则物体表面积的计算难度最大。为了突破难点，教材先引导学生画出从前面、上面和右面看到的形状，然后再计算不规则物体的表面积，但学生对“求不规则物体表面积之前为什么要先画图？不规则物体的表面积计算方法与正方体、长方体的表面积计算方法有怎样的联系？”却不甚明了，为此，教师以“心理认同—模仿内化—创造发展”为教学主线，带领学生经历了能力的提升过程。

案例2：拓展课“巧算表面积”

学生从长方体与正方体的表面积计算公式中寻找两者之间的联系：它们都是从6个方向来观察、计算表面积的。出示教材第9页的“思考题”，追问“为什么计算表面积之前需要先画图？”引导学生认识到“计算不规则物体的表面积与计算长方体、正方体的表面积一样，也可以从6个方向来考虑”，从而将三种方法进行概括与统整，即：表面积=（前面面积+右面面积+上面面积）×2，引发了学生的认同与共鸣，为能力的提升奠定基础。

模仿是一种能力，也是培养其他能力的基础，有了前面的情感认同与经验迁移，教师设计了以下教学活动：分别求下面物体的表面积（每个小正方体棱长均为1厘米）。

“为什么第2个物体与第1个物体的表面积一样大？”“第3个物体，凹进去一块，还能用刚才的方法解决吗？”借助以上问题引发学生思考，从单一到复杂、从一般到特殊、从生涩到熟练，学生在模仿与内化中实现了能力的持续发展。

创造能力的养成是能力高品质提升的重要标志。为了激发学生的创造能力，教师开展了如下的开放活动：在一个棱长为3厘米正方体木块中，挖走一个长、宽、高分别为是3、2、1厘米的长方体，现在的表面积是多少？有几种可能？你能创造出几个表面积相等的不规则物体？借助以上问题，学生在多维思考与动手实践中提升思维品质、发展创造能力。

3.以“求真—求通—存异”为教学主线，经历智慧的生长过程

在数学拓展课的教学中，我们的拓展不能止步于知识的延伸，还应凸显知识背后蕴藏的数学方法与数学思想，带给学生可以受用终生的理性精神与创新能力。“等（体）积变化”实则是一种转化思想，在苏教版小学数学教材中，这样的数学思想有很多体现，诸如铁块的锻压、沙堆的摆放、橡皮泥的变形等等。但在教学过程中，我们发现很多教学活动仅仅停留在知识的掌握、方法的操练层面上，对“等（体）积变化”中蕴藏的智慧因子的发掘不够到位。于是教师以此为拓展点，以“求真—求通—存异”为教学主线，借助一道题目的三次变化，引领学生经历智慧的生长过程。

案例3：拓展课“翻滚吧，水箱！”

一个封闭的长方体水箱，从里面测量，长30厘米、宽20厘米、高10厘米。水箱里有一些水，水深8厘米。如果把这个水箱向后推倒（即以后面为底面放置容器），那么现在水深是多少厘米？

第一次改编：把原题中“长是30厘米”这一条件去掉，现在水深还是16厘米吗？

学生得出等量关系“长×20×8=长×10×现在水深”，根据等式性质同时消去等号两边的“长”，从而得出结论：现在水深仍然是16厘米。接着，教师又追问“为什么去掉一个条件后，水深还是16厘米呢？”引导学生在题目的变化中寻求不变：水箱翻滚前后，水的体积没有发生改变，而且水的体积都与“长”这个条件有关，更重要的是“长”的大小也没有发生改变。在此基础上，教师引领学生认识到：面对繁杂的信息，要学会透过表象看本质。

第二次改编：把第一次改编题中“向后推倒”变为“向右推倒”，现在水深还是16厘米吗？

学生在探究中发现：本题与上一题有所不同，这里的等式“长×20×8=10×20×现在水深”中的“长”没法直接抵消掉，但是却可以得到两者之间的关系，即现在水深是现在水箱高度的4/5。借助问题“上述三题中，都存在4/5的关系吗？为什么都会存在4/5的关系呢？”引导学生归纳总结：当底面积一定时，长方体的体积与高之间存在正比例关系。至此，学生跳出了题目之间的差异，在贯通方法、融通思想中生长智慧。

在第二变化的基础上进行了第三次改编：加一条件“向右推倒N次（N为大于0的自然数）”，现在水深是多少厘米？

学生进行分类思考：当水箱向右推倒奇数次时，水的深度不能确定，但它与水箱高度的关系是可以确定的，始终存在着4/5的关系;当水箱向右推倒偶数次时，水的深度永远为8厘米。学生由此认识到现实世界中，问题解决的方法是多样的、结果是多元的，在求同存异间，他们体悟到了数学的和谐之美。

基于教材内容的数学拓展课的开发与实施，离不开对教材的深刻解读，离不开对学情的精准分析。唯有在拓展中实践、在实践中创新，才能充分体现基于教材内容的数学拓展课的教学价值——激发学习兴趣、巩固课本知识、完善认知结构、丰富探究经验、培养创新精神。

参考文献

[1] 王卫东.数学拓展课的结构化教学研究[J].教学与管理，2021（35）：43-46.

[2] 陈士文.数学是一种智慧[J].江苏教育，2011（10）：1.

[责任编辑：陳国庆]

*该文为江苏省教育科学“十四五”重点规划课题“小学数学拓展课的结构化教学研究”（B/2021/02/182）的研究成果