概率论与数理统计结合MATLAB软件的教学探讨

黄丹，刘双花，龙法宁

（1.玉林师范学院 计算机科学与工程学院，广西 玉林；2.百色学院 数学与统计学院，广西 百色）

一 引言

《概率论与数理统计》是研究和揭示随机现象统计规律的基础学科，本课程包含两大部分，一部分是理论基础的概率论部分，另一部分是数理统计方面的实际应用。它的应用十分广泛，包括工程技术、社会科学、自然科学、工农业生产等技术领域。得益于计算机学科的发展以及相关的统计、数学软件的开发，《概率论与数理统计》也得以迅速发展，其应用范围也在不断扩大。《概率论与数理统计》这门课程传统的教学方式主要是口授笔演，如果教师依然采用传统的教学方式，学生被动地学习，参与度低，不能引起学生的兴趣，从而缺乏互动性和操作性，使得抽象的内容学生难以理解，课堂教学质量达到事倍功半的效果，还会使学生的知识、能力与时代脱节。因此，这就需要教师们改变传统的教学方式，结合实验教学，改革教学方法，探索教学新路径。通过让学生自我思考、自我分析，自主动手实验操作，从而促进学生综合应用能力的发展，教师才能真正提高教学质量[1-2]。

Matlab程序中包含了功能强大的库函数，内置调用预定义函数和工具箱，如曲线拟合工具箱、支持向量机等，具有界面可视化、操作简单等优点，课堂上结合MATLAB软件进行案例教学是提高教学效率与质量的有力途径。本文结合案例：正态分布的概率密度函数曲线、极大似然估计法、最小二乘法等，通过Matlab软件作图与数值计算，减少学生绘制曲线时间，简化数据分析过程，从而提高课堂教学质量[3-4]。

二 MATLAB软件在《概率论与数理统计》中的应用

（一） 《概率论与数理统计》结合MATLAB软件的必要性

《概率论与数理统计》是理工科学生必修的课程之一，在新工科的背景下，我们需要培养学生学会将数学思维、方法与实际应用有效的结合，学以致用，将学生培养成创新型现代化社会所需人才。目前，大多数教师对于《概率论与数理统计》课程的授课方式还是板书演算讲解，教学手段落后，学生对于课程中蕴含的抽象概念难以理解，这容易使学生对知识点掌握不牢，课堂上教师教得“辛苦”，学生听得“痛苦”，教学效果也就不尽如人意。在传统教学理念中，存在这样的误解：让学生死记硬背公式，会灵活套用公式就是对知识点的掌握。但在《概率论与数理统计》课程中涉及的概念繁多，理论抽象，计算复杂繁琐，想让学生将全部的知识长久的记忆在脑海实非易事，并且死记硬背的教学方式必然会导致学生觉得枯燥乏味，对课程中的基本思想方法难以掌握，不利于培养学生解决实际问题和创新能力。在这种背景下，我们认为有必要将课堂教学生动形象化，借助现代化教学手段与MATLAB软件结合起来，课程教学改革的目的在于通过实验案例加深学生对相关知识点的理解、把握和应用，运用概率统计方法结合MATLAB程序语言得出数学问题的解，来提高学生的探索欲望和学习兴趣，逐步培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力与实践能力[5-6]。

（二） 正态分布概率密度函数曲线结合MATLAB的教学探讨

正态分布又称高斯分布，是一个非常重要的概率分布，也是许多数理统计方法的理论基础。在现实世界中，正态分布是最常见的一种分布，大量的随机变量都服从或近似地服从正态分布。由于正态分布应用的广泛性和普遍性，因此，理解和掌握它相关的知识点就显得尤为重要。 而传统的教师口授知识点的教学方式，不能使学生很好地理解透彻。 但如果结合MATLAB软件教学，利用MATLAB软件对正态分布的概率密度函数曲线图形可视化，将抽象难懂的知识点通过图形将其表示出来，让学生结合图形来加深对知识点的理解， 那么教学效率、效果会事半功倍。

例1 分别绘制 (µ,σ2) 为（-2, 4），（0, 0.4），（0,4），（0, 40），（2, 4）时正态分布的概率密度函数曲线，理解正态分布的图形特征。

解 在编辑窗口中输入MATLAB代码程序：

运行程序，得到效果如下图1所示：

图1 正态分布的概率密度曲线

从以上图像上可以得到以下结论：（1）密度曲线关于x=µ对称；（2）参数μ决定了曲线的位置，参数2σ决定了曲线的形状。通过图形直观表示出来，加深学生对知识点的记忆与理解。

（三） 极大似然估计法结合MATLAB的教学探讨

极大似然估计法的思想是德国数学家首次提出的，后来被英国统计学家费希尔进一步研究。其计算过程复杂且繁琐，大部分计算容易出错，通常复杂的计算会抑制思维的培养，从而使课程的教学本末倒置。因此要求学生熟练掌握一种计算软件，利用 MATLAB 软件可以将学生从复杂的运算中解救出来，节省课堂时间，将更多的精力放在对学生思维方式的培养上。

极大似然估计法一般用于区间估计，而MATLAB已经将其封装好的一些常见分布极大似然估计的MATLAB函数（如表1），供给学者调用。

表1 常见分布极大似然估计的MATLAB 函数

接下来，通过实例说明极大似然估计法结合MATLAB的实现过程，以正态分布为例。

例2 从某厂生产的批量饼干中随机地抽取15袋，称得重量（以克计）如下：

416, 528, 398, 425, 448, 506, 488, 506, 509, 498,487, 486, 502, 508, 511, 478.

设该批饼干的重量近似地服从正态分布N(µ,σ2)，且µ,σ2未知，求µ和σ2的极大似然估计以及置信水平为0.9的置信区间。

解 在编辑窗口中输入MATLAB代码程序：

其计算结果为 mu =480.8750；sigma =38.3491；muci=464.0680, 497.6820; sigmaci =29.7076，55.1193. 因此µ=480.8750,σ2=38.3491, 在置信水平为0.9下µ和σ2的置信区间为[464.0680， 497.6820]和[29.7076， 55.1193]. 这表明在误差可信程度为90%下估计该批饼干重量的均值在464.0680克与497.6820克之间，方差在29.7076与55.1193之间。

MATLAB本身内置强大的统计工具箱，可在较短的时间内检验计算结果，使数理统计分析摆脱了科学计算器落后计算工具的束缚。该教学改革方法丰富新颖，大大提高了学生学习本课程的兴趣。

（四） 最小二乘法结合MATLAB的教学探讨

最小二乘法是勒让德( A.M. Legendre)于1805年提出的一种数学优化技术，主要原理是根据理论值与观测值误差平方和达到最小，对参数进行估计。在数据的统计分析中，常常需要研究因变量是如何依赖自变量，研究其相关性是不可或缺的。通过在直角坐标系中做散点图的方式我们会发现很多统计数据近似一条直线，它们呈正相关或者负相关，这就可以采用线性最小二乘法拟合直线，将不具有确定函数关系的相关变量借助线性回归函数来表示它们之间的统计规律。

例3 为了研究某一铁制品制作过程中温度x对产品得率Y的影响，测量数据如表2所示。

表2 x 与Y 的数量关系

求Y关于x的线性回归方程。

解：由题意知，产品得率Y关于温度x的误差方程为此问题转化为根据测量数据估计出参数从而得出Y关于x线性回归方程。接下来，我们应用 MATLAB 程序进行求解。

（1）在编辑窗口中输入MATLAB代码程序：

得到散点图2。

由图2可知Y关于x存在线性关系。

图2 x 与y 的散点图

（2）编辑窗口中继续输入MATLAB代码程序：

运行结果可得返回值 b0= -2.7394, b1=0.4830. 因此，最小二乘法拟合的一元线性回归方程为

通过 MATLAB 程序实现对产品得率对温度的直线拟合，可在有限的测量数据条件下描述产品得率随温度变化的特性，为实际应用提供依据。 基于最小二乘法的一元线性回归拟合结合MATLAB软件实现方法简明、适用，可以让学生直接进行实践操作，图文并茂的教学情境增强了学生的学习体验，激发学生学习MATLAB软件的乐趣，从而调动学生学习主动性，提高课堂教学质量。

三 结语

将MATLAB软件结合《概率论与数理统计》课程教学是一种新的探索与尝试，借助MATLAB软件辅助教学，实现了数与形的结合，使学习内容更加直观，创造了一个图文并茂的生动直观的教学环境，从而进一步提高了学生的学习积极性，丰富了课堂教学的表现手法。同时，还可以通过MATLAB软件的数值计算功能简化繁琐的计算, 提高学生的数据处理能力和分析能力。这种理论教学与数学软件相结合的教学模式，能引起学生对学科知识的兴趣及探索欲望，并加深学生对理论知识的理解和记忆，能有效培养学生独立思考、实践操作各方面的能力，逐步培养大数据时代需求的创新型人才[7-8]。