函数图像在高中数学解题中的应用

卓柳珊

[摘 要]函数在高中数学中占有重要的地位。函数图像可以把立体空间与数量关系进行巧妙结合，学生通过观察思考函数图像常可获得解决问题的方法。文章对函数图像在高中数学解题中的具体应用进行探究，以期为一线教师的实际教学提供参考。

[关键词]函数图像;高中数学;解题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）08-0032-03

数学解题和函数图像之间有着微妙的联系，多数情况下，函数图像可以把立体空间与数量关系进行巧妙结合，而学生在观察思考函数图像的过程中常可获得解决问题的方法。在高中数学教学中，教师需教会学生应用函数图像，借此提升学生的解题效率和解题能力。本文主要对函数图像在高中数学解题中的具体应用进行探究。

一、函数图像简述

函数是高考数学的必考点。函数涉及单调性、奇偶性、最值、零点、图像等内容，函数图像是函数学习的基础，应用函数图像可以对函数的单调性、奇偶性、值域等问题进行研究，所以学生应当深入学习，全面掌握函数的图像与性质。对于函数图像的绘制，可先看是否是基本初等函数，如果是，就可以直接绘制图像;若非基本初等函数，则要看是否可以对函数进行一系列变换，比如翻折变换、对称变换、伸缩变换、平移变换等，若可以，就可根据变换规律作出图像。若无法进行变换，此类函数通常不作图像绘制要求，相关题目大多是选择题，只需计算得数，从选项中选择答案即可。

二、基础函数图像分析

高中数学函数知识大多是以螺旋上升的形式呈现的，学生在学习时可由简入繁、由浅入深，为此教师首先要让学生掌握基础的函数图像。对于基础函数图像，学生若可以深刻记忆，则能够有效促进函数图像相关知识的学习，对解题也大有裨益。教师在日常教学中可以将一些基础函数图像或特殊组合函数图像进行归类总结（如表1），并以图片、表格的形式呈现，方便学生记忆，避免学生产生混淆。

表1列举的只是一部分基础函数图像，而高中数学中的基础函数图像有几十种，为了使学生在记忆时避免产生混淆，教师在归纳整理时既要凸显出各个函数图像的特点，又要注意方式、方法的趣味性，使学生对函数图像及相关知识印象深刻。

除此之外，教师还可以将各个函数图像的变换方式录制成视频，并上传至校园网，让学生随时随地可以下载学习。

三、函数图像的重要性

函数[f]的图形（或图像）指的是数学中所有有序对[（x， f（x））]组成的集合，它是学生重点学习的内容。函数图像大多以曲线的形式体现在平面直角坐标系内，对学生解决函数问题有很大的帮助。初中数学知识分类较为明晰，代数、几何知识的体现形式也比较直观，但高中代数与几何知识的分界不够明晰，有时同一知识点既涉及代数，又涉及几何。这不论是对教师的教学，还是对学生的学习都增加了难度。高考数学的分数分布比较细致，函数、导数知识占比30%，立体几何占比12%，解析几何占比15%，概率统计占比12%，而平面向量、三角函数、数列等知识，既自成体系又相互关联，也是学生的得分所在。基于此，合理应用函数图像，不仅可以帮助学生有效解题，还能帮助学生在考试中拿到更多的分数。由此可见，函数图像的重要性不言而喻。

四、函数图像在高中数学解题中的应用

（一）解答不等式及不等式组问题

不等式与函数存在紧密关联，一般来说，在求解不等式类问题时，经常会用到函数图像。函数图像可以使问题直观化，有助于学生解决问题。

[例1]求不等式[16-x2+8x-x2>4]的解集。

解：对原不等式进行变形，可得[16-x2>4-8x-x2]，再令[y1=16-x2]，[y2=4-8x-x2]，二次變形以上不等式，可得[x2+y21=] [16（y1≥0）]，[（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）]。

通过观察，可以看出两个函数的图像全都是半圆，可以在同一直角坐标系中将其表示出来（如图1）。由图1可直观、清晰地看到两个半圆之间形成的交集，即原不等式对应的解集，也就是[x0<x<4]。

（二）指定区间判断方程根的实根个数

方程与函数也存在紧密关联，对于求方程实根个数类问题，可以先将方程转化成相应函数，然后画出函数的图像，这样可以直观获得问题答案。

[例2]方程[x13=2sinx]有          个实根。

解：已知函数[y=x13]与函数[y=2sinx]都是奇函数，并且函数[y=x13]为增函数。

当[x=0]时，两函数值都为0;

当[x=18]时，[1813=12>2×18>2sin18];

当[x=5π2]时，[2sin5π2=2]，[5π213<813=2];

当[x>8]时，[x13>2≥2sinx]。

由此，可画出函数[y=x13]与函数[y=2sinx]在[x∈0， 3π]上的图像，如图2所示。

由图2可知，函数[y=x13]与函数[y=2sinx]在[0， 3π]内的交点个数为4。因为函数[y=x13]与函数[y=2sinx]都是奇函数，所以在[-3π， 0]上也有4个交点，再加上原点，所以方程[x13=2sinx]的实数根的个数是9。

（三）解答复数问题

通过复平面上两点之间对应的距离公式以及直线、圆、圆锥曲线等图像，再借助复数的几何意义对问题进行求解，远比单纯的代数运算要简捷得多。

[例3]复数[z]满足[z+i+z-i=2]，那么[z+i+1]的最小值是（ ）。

A. 1       B. [2]       C. 2        D. [5]

解：复平面内满足[z+i+z-i=2]的点[z]的轨迹为[AB]线段，而[z+i+1]表示点[z]到点[P（-1，-1）]间的距离，如图3所示。由图知[z+i+1]的最小值是1，答案选A。

（四）解答解析几何综合类问题

在解答解析几何综合类问题时，经常会涉及函数图像。这类问题的综合性非常强，学生需结合函数图像对问题展开分析，这样才能有效解决问题。

[例4]已知曲线[y=1+4-x2]与直线[y=k（x-2）+4]存在两个不同交点，求[k]的取值范围。

解：将曲线[y=1+4-x2]适当变形，可得[x2+（y-1）2=4（1≤y≤3）]，这样可以知道曲线[y=1+4-x2]是以[A（0， 1）]为圆心，以2为半径的圆。但是题设当中存在一个隐含条件，即[y≥1]，所以图像只有上半圆（如图4）。

而直线[y=k（x-2）+4]是过点[B（2， 4）]的，当直线[y=k（x-2）+4]绕着点[B]进行顺时针旋转时，直线和圆相交的点保持在弧线[MT]上（点[T]除外）即可满足题设要求。

又因为交点[M]位于直线[y=1]之上，所以能够得到点[M]的坐标[（-2， 1）]。

而直线[BM]的斜率能够用斜率公式求得，即[kMB=34]，而[M]点到点[A]的距离与圆的半径相等，可以列出等式[1+2k-41+k2=2]，解得[kBT=512]，所以可得[512<k≤34]。

高中数学与初中数学不同，难度更大，涉及面更广，对学生的要求也更高。不仅要求学生要具备逻辑思维，还要有较强的空间思维能力，并可以将所学的知识相互关联，实现知识的整合。数学在高考中分数占比很大，学生只有具备较强的解题能力，才能确保在高考中获得更多的分数。在日常教学中，教师除了帮助学生积累基础知识，还应当强化学生的解题能力，同時帮助学生掌握有效的解题方法。

在高中数学解题当中函数图像有着广泛的应用，通过函数图像的应用可以有效提高学生的解题效率和解题能力。为此，数学教师在教学中需引导学生深入了解函数图像，并且传授给学生函数图像的应用方法，让学生掌握各类函数的基本性质，充分理解一些函数模型，从而有效提升学生的解题效率和解题能力。

[   参   考   文   献   ]

[1]  王洪民.辅助函数法及其在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化（学习研究），2019（6）：16-17.

[2]  许福生.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].家长，2019（11）：148，150.

[3]  李帅.由一道试题谈函数模型在高中数学解题中的应用：浅谈“对勾函数”的性质[J].中学生数理化（学习研究），2019（4）：14.

（责任编辑 黄春香）