中考数学应用题的类型与解题策略探寻

余杰

[摘 要]应用题是中考数学的必考题型，文章对中考数学的应用题进行分类探析，寻求其解题策略，以提高学生的阅读理解能力、分析问题与解决问题的能力。

[关键词]应用题;中考数学;策略

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）08-0007-03

应用题是中考数学的必考题型，主要考查考生的阅读理解能力、分析问题与解决问题的能力。解答应用题必须先读懂题意，再建模，进而解决问题。应用题有哪些基本类型呢？我们应该采取何种解题策略呢？

一、方程（组）与不等式（组）模型

方程（组）和不等式（组）是初中数学的核心内容，其不仅是中考核心考点，而且也是解决代数、几何及实际问题的重要工具。在中考中，这类问题主要涉及工程问题、行程问题、打折促销问题、增长率问题等。

[例1]振华中学初一（3）班去某一农业生态园参加社会实践活动，该生态园有块空地种植苹果和橘子两种水果，活动结束后，吴斌编写了一道数学题：在某一生态园中，经营者是甲、乙两户果农，其种植面积与卖水果总收入见下表。（假设不同种植户种植的同种水果每亩产值相等）

（1）苹果与橘子的每亩收入分别是多少？

（2）甲、乙两户果农计划合租30亩农田来种植苹果与橘子。经过市场调查，要求苹果的种植面积大于橘子的种植面积（两种水果的种植面积都是整数亩）。当地政府对种植苹果的果农给予补贴，种植苹果的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元;超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元;超过20亩的部分每亩补贴300元。为了让总收入不低于[127 500]元，他们应如何确定方案？

分析：（1）设苹果每亩的平均收入为[x]元，橘子每亩的平均收入为[y]元，

由题意得[5x+3y=33 500，3x+7y=43 500，]解得[x=4 000，y=4 500。]

（2）设种植苹果[m]亩，那么种植橘子[（30-m）]亩，于是[m>30-m]，即 [m>15]。

当[15

[w=4 000m+4 500×（30-m）+15×100+（m-15）×200≥127 500 ]，解得[15

当[m>20]时，他们的总收入为

[w=4 000m+4500×（30-m）+15×100+5×200+ （m-20）×300≥127 500]。

由此解得[m≤20]，不合题意。

综上所述，种植方案如下：

点评：这类问题一般有两问，第一问只需根据题意列出方程或方程组，然后解方程即可得到答案，而第二问一般与不等式有关，建立不等式后还要注意自变量的取值范围。这类问题一般出现在方案设计和最优方案选择型的问题中，难度一般。

二、函数、方程与不等式模型

函数、方程和不等式在数学中是密不可分的。在函数类应用题中，通常考查函数、方程和不等式的综合应用。对于这类应用题，一般可先建立方程或不等式，再建立函数关系，最后确立自变量的取值范围。建立方程或不等式是解决这类应用题的基础，而确定自变量的范围则是解题的关键。

[例2]有一种成本价为50元的商品在一大型商场试销，规定在试销期间单价不低于成本价，且利润不得高于40%。在销售几天后有人发现，这种商品的销售量[y]与销售单价[x]之间存在着一次函数关系（如图1所示）。

（1）请求出销售量[y]（个）关于销售单价[x]（元）的解析式。

（2）如果该商场销售这种商品的利润是[Q]元，那么利润[Q]（元）与销售单价[x] （元）之间有怎样的关系？试用函数式表达;当[x]为何值时，该商场获利最大？最大利润是多少？

（3）如果该商场试销该商品所获利润不低于600元，请求出销售单价[x]的取值范围。

分析：（1）设[y=kx+b]，由题意得[55k+b=65，60k+b=60，] [?k=-1，b=120，]

故所求函数的解析式是[y=-x+120]。

（2）由题意知，利润[Q]与销售单价[x]的函数解析式为[Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6 000]，

[Q=-x2+170x-6 000=- （x-85）2+1 225]。

又[x≥50，               x-5050≤40%，]即[50≤x≤70]。

因为[a=-1<0]，故对称轴左边的[y]的值随着[x]值的增大而增大，所以[x=70]时，这个商店获利最大，获得的最大利润是[Q=1 000]元。

（3）由题意知，[Q=- （x-85）2+1 225≥600]，解得[60≤x≤110]。

由获利不得高于[40%]得[x-5050≤40%]，解得[x≤70]，故[x]的取值范围是[60≤x≤70]。

点评：本题虽然考查知识点较多，但解决问题的重点还是在于根据题意列式。

三、函数模型

函数模型主要包括一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型。利用函數模型可以解决许多问题，如最值问题、决策问题等。函数类应用题的解题应明确两点：一是如何建模，二是如何根据自变量的实际意义和函数的性质做出正确决策。5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

[例3]人民商场为某残疾人福利厂代销一种新产品，当该新产品每件售价定为260元时，每月销售了45件。该商场为了获得更高的利润，计划以降价形式搞促销。商场领导走访市场并分析发现：月销售量与售价成一次函数关系，且满足下表所示的对应关系。综合考虑各种因素，每售出一件新产品，共需支付厂家及其他费用100元。设当每件定价为[x]元时，该商场的月利润为[y]元。

[售价 250元 240元 销售量 52.5件 60件 ]

（1）当每件定价为220元时，试计算此时的月销售量;

（2）请求出[y]与[x]之间的函数表达式;

（3）人民商场要获取最大月利润，新产品的单价应定为多少？

（4）王湾说：“如果月商场利润最大，那么月销售额也最大。”这种说法正确吗？请说出你的观点。

分析：（1）月销售量与售价成一次函数关系，设销售量为[p=kx+b]，將（250，52.5）和（240，60）代入，就可算得[k=-0.75]，[b=240]，所以[p=-0.75x+240]。于是当[x=220]时，[p=-0.75×220+240=75]，所以当每件售价是220元时，此时的月销售量为75件。

（2）由题意得[y=（x-100）（-0.75x+240）]，即[y=-34x2+315x-24 000]。

（3）[y=-34x2+315x-24 000=-34（x-210）2+9 075]。

因为[x>100]，所以该店要获得的月利润最大，该新产品的单价应定价为210元。

（4）王湾说得不正确。原因是当月利润最大时，[x]等于210元，而对于月销售额[W=x45+（260-x）÷10×7.5=–34（x–160）2+19 200]来说，因为[x>100]，所以当[x]等于160元时，月销售额[W]最大。因为当[x]等于210元时，月销售额[W]不是最大，所以王湾的说法不正确。

点评：本题考查一次函数与二次函数的实际应用。确立函数关系式一般有两种方法，一种是待定系数法，如第（1）问;另一种是直接根据题意写出函数关系式，如第（2）问。对于最值问题，建立二次函数模型后，可利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围来求。

四、直角三角形模型

对于生活中的一些测量问题，一般可通过建立直角三角形模型来求解，在求解过程中经常会用到几何知识，如三角形全等、三角形相似等。

（一）仰角俯角问题

仰角俯角主要在测量大型建筑物的高度时应用，因为大型建筑物的顶部一般不易到达，但是在地面某个位置可以看到它，利用测角仪测出此时的仰角，以及它与建筑物的水平距离，就可以求得它的高度，这里一般应用正切函数。无论是仰角还是俯角，都是指视线与水平线的夹角。

[例4]如图2，一旗杆[EF]位于楼[AB]与楼[CD]之间，从[AB]顶部[A]点处经过旗杆顶部[E]点恰好看到楼[CD]的底部[D]点，且俯角为45°，从楼[CD]顶部[C]点处经过旗杆顶部[E]点恰好看到楼[AB]的[G]点，BG =1米，且俯角为30°，若楼[AB]高为20米，请求出旗杆[EF]的高度。（[3≈1.73]，计算结果精确到1米）

分析：过点[G]作[GP⊥CD]于点[P]，与[EF]相交于点[H]。设[EF=x]米，则依据题意可知，[FH=GB=] 1米，[EH=EF-FH=（x-1）]米。又因为[∠BAD=∠ADB=45]°，所以[FD=EF=x]米，[AB=BD=20]米， 在[Rt△GEH]中，[∠EGH=30]°，于是[tan∠EGH=EHGH]，即[33=x-120-x]，解得[x=193-172≈8] 米。故旗杆[EF]的高度大约是8米。

点评：在这类问题中，往往图中没有出现直角三角形，这时应先考虑添加辅助线，作有关线段的垂线，将斜三角形问题转化为直角三角形问题。解答这类问题一般用到勾股定理、三角函数的定义以及平面几何的相关知识。

（二）坡度坡角问题

斜坡有一定的倾斜度，这个倾斜度就叫作坡度。如何从数值区分两个坡面的倾斜度呢？我们用坡面的铅直高度与水平宽度的比，作为坡面的坡度，同时把坡面与水平面的夹角，叫作坡角。斜坡的坡面距离是可以测量的，但是求小山的铅直高度需要用到坡角，或者当已知斜坡的坡度时，也可以算出坡角，从而算出其他相关的量。

[例5]2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务。受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动。如图3，该数学小组从地面[A]处出发，沿坡角为53°的山坡[AB]直线上行350米到达[B]处，再沿着坡角为22°的山坡[BC]直线上行600米到达[C]处，求小山的高度[CD]及该数学小组行进的水平距离[AD]（结果精确到1米）。（参考数据：[sin22°≈0.37]，[cos22°≈0.93]，[sin53°≈0.8]，[cos53°≈0.6]）

分析：如图4所示，过点[B]作[CD]的垂线[BE]，作[AD]的垂线[BH]，垂足分别是点[E]、[H]，根据三个角是直角的四边形是矩形，得四边形[BEDH]是矩形，所以[DE=BH]，[BE=DH]，在直角[△BCE]中，[BC=600]米，[∠CBE=22°]，根据正弦定义，得[CE=BC·sin22°≈600×0.37=222]（米），根据余弦定义得[BE=BC·cos22°≈600×0.93=558]（米），所以[DH=BE=558]（米）。

因为[AB=350]米，所以在[Rt△ABH]中，[∠BAH=53°]，由正弦定义得[BH=AB·sin53°≈350×0.8=280]（米），由余弦定义，得[AH=AB·cos53°≈350×0.6=210 ]（米），所以[CD=CE+DE=CE+BH=222+280=502 ]（米），[AD=AH+DH=210+558=768 ]（米）。

点评：本题相当于把四边形[ABCD]切分为一个矩形和两个直角三角形，然后分别解两个直角三角形。在每个直角三角形中，利用正弦或余弦定义，求得对应线段的长，从而求得总长度。

从以上的实例分析可以看出，解应用题，首先应找准数学模型，建立数学模型，解出有关数据，再将其还原成实际问题，最后得出结论，回答问题。

[   参   考   文   献   ]

[1]  唐蓉. 初中数学应用题分析与教学策略研究[D].重庆：西南大学，2020.

[2]  涂凤宁.核心素养立意下的中考应用题发展[J].初中数学教与学，2019（10）：38-39.

[3]  李林.中考数学应用题探究[J].课程教材教学研究（中教研究），2019（Z2）：61-64.

[4]  陈巧未.关于解答初中数学应用题的几点思考[J].数学教学通讯，2019（8）：56-57.

（责任编辑 黄桂坚）5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88