如何对等腰三角形中的多解问题进行分类讨论

王元慧

分类讨论思想是数学中一种化整为零、各个击破的解题策略和思想方法.在求解等腰三角形问题时，常常由于已知条件的不确定性，需要通过分类讨论来解答.对此，笔者就解答等腰三角形问题时需分类讨论的几种情形进行了分析说明.

一、顶角与底角不确定

在等腰三角形问题中，若已知条件中没有对顶角或底角做出明确的说明，此时需要就这个已知角是顶角还是底角进行分类讨论，否则会出现漏解.

例1若等腰三角形中有一个内角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数是（ ）.

A.100° B.70° C.40° D.40°或100°

分析：对于此题，很多同学容易把40。的角看成底角，故而错选了A项.实际上，由于给出的40°的已知角并没有具体指出该角是顶角还是底角，所以在求解时需要先分为两种情形进行讨论，再利用三角形内角和求解.

解：（1）当40°的角为这个等腰三角形的顶角时，设底角的度数为x，

则2x+40 =180.

解得x= 70，

所以另外两个角的度数为70°、70°.

（2）当40°的角为这个等腰三角形的底角时，设顶角的度数为y，

贝4V+2×40= 180，

解得y= 100，

所以顶角的度数为100°，

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°，故正确答案为D项.

评注：解答本题的关键在于分类讨论40°是等腰三角形的顶角还是底角.在等腰三角形中，底角只能为锐角，不能为直角或钝角，因此若题目中指出等腰三角形的一个内角为110°，这里的110°只能作为顶角，而不能作为底角.

二、腰或底边长不确定

在求解等腰三角形问题时，若题中已知条件给出了一条边的边长，但没有确切地指出这条边是腰还是底边，此时，同学们要注意分类讨论，从而确保答案的完整性和准确性.

例2已知关于x的一元二次方程x2 -（3m+2）x +9（m一

）=0有实数根，若等腰三角形中，一条边的边长为5，另外两条边的长恰好是这个一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为____。

分析：本题是一道等腰三角形与一元二次方程相结合的综合题，欲求该等腰三角形的周长需知晓三条边长，然而已知条件只给出一条边为5，它可能是腰长为5，也可能是底边长为5，所以解答时需要分两种情况进行讨论.

解：（1）若该等腰三角形的腰长为5，那么x=5则为一元二次方程的一个根，将x=5代入该方程中，可得m=2，所以原一元二次方程为：x2 -8x+15=0，解得x1=5，x2=3，这样该等腰三角形的三边为5，5，3，所以该等腰三角形的周长为13.

（2）若该等腰三角形的底边长为5，那么由一元二次方程有实数根可知，△=0，即（3m+2）2 -4×9（m一 ）=9m2 - 24m+ 16= （3m一4）2 =0，解得m=

，所以原一元二次方程为：X2一6x+9=0，解得x1=x2=3，这样该等腰三角形的三边为3，3，5，所以该等腰三角形的周长为11.

综上所述，该等腰三角形的周长为13或11.

评注：当确定了等腰三角形三边后，一定要运用三角形的三边关系进行检验，看它们能否组成三角形.一般已知等腰三角形的两边长，若较短边大于较长边的一半时，有两种情况;若较短边不大于较长边的一半时，则只剩“短边为底，长边为腰”这种情况.

三、高的位置不确定

在等腰三角形中，当顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形的内部;而当顶角是钝角时，腰上的高则在等腰三角形的外部.所以，在求解有关等腰三角形问题时，若高的位置不确定，此时应根据内高和外高这两种情况进行分类讨论.

例3已知在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则该等腰三角形的顶角为____.

分析：此题中由于等腰三角形的形状不明确，它可能为等腰锐角三角形，也可能为等腰钝角三角形，这就导致高的位置出现了不确定性，所以该等腰三角形頂角的度数也不确定，需要进行分类讨论.

解：（1）当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在△ABC内部，如图1所示.

因为腰上的高与另一腰的夹角为35°，即∠CAD= 35°.

所以可以得出∠C=180°-90°-35°=55°.

（2）当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在腰的延长线上，也就是△ABC外部，如图2所示.

因为腰上的高与另一腰的夹角为35°，即∠DAC= 35°.

故可知顶角的补角∠DCA= 55°，所以可以得出∠ACB= 180°- 55°=125°.

综上所述，该等腰三角形的顶角为55°或125°.

评注：三角形高的位置，往往取决于三角形的形状.当题目中腰上的高关联到等腰三角形的形状时，要注意从高在三角形内部和外部两方面入手，分类考虑问题.

总之，分类讨论思想在解等腰三角形问题中有着广泛应用.在平时的学习中，同学们要结合具体问题，灵活应用分类讨沦思想，从而有效规避漏解和错解.